какие силы действуют на тело при вращении

Вращательное движение

Ранее рассматривались характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение. Их аналогами при вращательном движении являются: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение.

1. Равномерное вращательное движение

Во время равномерного вращательного движения тело совершает движение по окружности с одинаковой скоростью, но с изменяющимся направлением. Например, такое движение совершают стрелки часов по циферблату.

Допустим, шар равномерно вращается на нити длиной 1 метр. При этом он будет описывать окружность с радиусом 1 метр. Длина такой окружности: C = 2πR = 6,28 м

Чтобы вычислить линейную скорость шара, необходимо разделить перемещение на время, т.е. длину окружности на период вращения:

Если наш шар будет делать один оборот за 1 секунду (период вращения = 1с), то его линейная скорость:
V = 6,28/1 = 6,28 м/с

2. Центробежное ускорение

В любой точке вращательного движения шара вектор его линейной скорости направлен перпендикулярно радиусу. Нетрудно догадаться, что при таком вращении по окружности, вектор линейной скорости шара постоянно меняет свое направление. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центробежным (центростремительным) ускорением.

Центробежное ускорение можно вычислить по формуле: a_ц = V 2 /R

Чем больше линейная скорость тела и меньше радиус вращения, тем центробежное ускорение больше.

3. Центробежная сила

Из прямолинейного движения мы знаем, что сила равна произведению массы тела на его ускорение.

При равномерном вращательном движении на вращающееся тело действует центробежная сила:

Если наш шарик весит 1 кг, то для удержания его на окружности понадобится центробежная сила:

F_ц = 1·6,28 2 /1 = 39,4 Н

С центробежной силой мы сталкиваемся в повседневной жизни при любом повороте.

Задача №1: расчитать, какую максимальную скорость может развить тело в повороте с радиусом 30 метров при коэффициенте трения 0,9, чтобы «вписаться» в этот поворот.

Сила трения должна уравновесить центробежную силу:

V = √μmgR/m = √μgR = √0,9·9,8·30 = 16,3 м/с = 58,5 км/ч

Ответ: 58,5 км/ч

Обратите внимание, что скорость в повороте не зависит от массы тела!

Наверняка вы обращали внимание, что некоторые повороты на шоссе имеют некоторый наклон внутрь поворота. Такие повороты «легче» проходить, вернее, можно проходить с бОльшей скоростью. Рассмотрим какие силы действуют на автомобиль в таком повороте с наклоном. При этом силу трения учитывать не будем, а центробежное ускорение будет компенсироваться только горизонтальной составляющей силы тяжести:

В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести F_g = mg, которая уравновешивается вертикальной составляющей нормальной силы F_нcosα:

Подставляем значение нормальной силы в исходную формулу:

F_ц = F_нsinα = (mg/cosα)sinα = mg·sinα/cosα = mg·tgα

Т.о., угол наклона дорожного полотна:

α = arctg(F_ц/mg) = arctg(mV 2 /mgR) = arctg(V 2 /gR)

Опять обратите внимание, что в расчетах не участвует масса тела!

Задача №2: на некотором участке шоссе имеется поворот с радиусом 100 метров. Средняя скорость прохождения этого участка дороги автомобилями 108 км/ч (30 м/с). Каким должен быть безопасный угол наклона полотна дороги на этом участке, чтобы автомобиль «не вылетел» (трением пренебречь)?

α = arctg(V 2 /gR) = arctg(30 2 /9,8·100) = 0,91 = 42°

Ответ: 42°. Довольно приличный угол. Но, не забывайте, что в наших расчетах мы не принимаем во внимание силу трения дорожного полотна.

4. Градусы и радианы

Многие путаются в понимании угловых величин.

При вращательном движении основной единицей измерения углового перемещения является радиан.

Чтобы перевести градусы в радианы, необходимо значение угла разделить на 360° и умножить на 2π. Например:

Ниже в таблице представлены основные формулы прямолинейного и вращательного движения.

Если вам понравился сайт, будем благодарны за его популяризацию 🙂 Расскажите о нас друзьям на форуме, в блоге, сообществе. Это наша кнопочка:

Код кнопки:
Политика конфиденциальности Об авторе

Источник

О физических силах, возникающих при вращении тел вокруг центра вращения

О физических силах, возникающих

при вращении тел вокруг центра вращения

Когда мы вращаем вокруг себя прикреплённое к тяжу тело, например, небольшое ядро, то ощущаем, что тяж находится в натянутом состоянии. И чем быстрее вращается ядро, то с большей силой натягивается тяж. Следовательно, сила, производящая натяжение тяжа, возникает в результате вращения ядра вокруг центра вращения. Это также означает, что возникающая во время вращения ядра сила, приложена к ядру и направлена наружу относительно центра вращения ядра. Эту силу мы называем центробежной. Центробежная сила компенсируется, равной ей удерживающей силой, направленной к центру вращения. В результате, вращающееся по окружности ядро под одновременным действием обеих сил, находится в равновесии относительно своего положения на окружности. Если произвести мгновенное отсоединение ядра от тяжа, то ядро продолжит своё движение по прямой, касательной к точке окружности, в которой произошло его освобождение от тяжа. Это является доказательством того, что центробежная и удерживающая силы равны по величине и исчезают одновременно с прекращением действия удерживающей силы. Все эти факты нам известны и не должны вызывать сомнения.

Но что за причина вызывает появление центробежной силы? Понятно, что её появление является следствием вращения ядра вместе со жгутом, относительно центра вращения. С момента начала движения ядра по окружности, ядро стремится к движению по прямой, касательной к окружности. И только удерживающее влияние тяжа заставляет ядро вращаться вокруг центра вращения. Стремление ядра двигаться по прямой, касательной к дуге окружности в каждой её точке, возникает одновременно с появлением силы, направленной на отрыв ядра от кривизны окружности, то есть, стремление освободиться от удерживающей силы.

В момент отсоединения ядра от тяжа центробежная сила и сила удерживающая прекращают своё действие, и ядро движется только по прямой, касательной к той точке окружности, в которой произошло освобождение ядра.

Таким образом, при вращении ядра вокруг центра вращения, происходит одновременное появление центробежной силы и равной ей, силы удерживающей. Удерживающая сила, в данном примере, не является центростремительной силой. Центростремительная сила может быть только самостоятельной, направленной в сторону центра вращения, но такой фактор не имеет места в приведённом примере; вращательное движение не создаёт центростремительной силы, центростремительной скорости и центростремительного ускорения. Что касается возникновения центростремительного фактора, то он возникает только при свободном падении тел, находящихся на определённой высоте над космическим телом, но носит только гравитационный характер действия.

Следует также обратить внимание на то, что вращение ядра вокруг центра вращения обеспечивается тремя силами: центробежной, удерживающей и силой, направленной по касательной к окружности в точке приложения тела. Стремление тела двигаться по касательной прямой относительно точки приложения тела – это природное свойство тел стремиться к инерционному движению, если на тела не будут оказывать влияние иные силы, не совпадающие с направлением движения тела.

В изложенном примере, рассмотрено вращение физического тела вокруг центра вращения без учёта гравитации. Если рассматривать обращение планеты вокруг центрального тела (звезды) по круговой орбите, то событие, связанное с появлением удерживающих сил, можно представить подобным рассмотренному событию. Роль удерживающего тяжа между звездой и планетой выполняет гравитационный жгут, которым является уплотнённое, или сжато-растянутое пространство, или пространственный канал. Причём, удерживающая сила находится в центре масс системы из двух тел. Такое понимание удерживающей силы, связано с гравитационным взаимодействием тел, изложенным в моей работе «Пространственная среда – единая основа взаимодействий в природе материального мира», в главе «Гравитация».

Планета удерживается на орбите только потому, что силе гравитационного влияния противостоит центробежная сила. Но можно ли в этом случае считать, что имеет место центростремительная сила. Если по какой-то причине исчезло бы гравитационное влияние на планету, то она сорвалась бы с орбиты по касательной к ней. Но исчезновения гравитации в природе быть не может, поэтому обращение планеты вокруг звезды принципиально аналогично рассмотренному вращению ядра вокруг центра вращения.

Этим примером не исчерпывается рассмотрение взаимодействия между центральным телом и связанным с ним другим телом, находящимся на некотором расстоянии от него. Представим, что над планетой на некоторой высоте помещено тело, например, ядро, рассмотренное в первом примере. Ядро не вращается вокруг планеты, а находится в состоянии покоя. В связи с тем, что ядро не вращается вокруг планеты, центробежная сила отсутствует. Если ядро начинает свободное падение, то это происходит под действием гравитации; других сил, действующих на ядро нет. Можно ли считать, что свободное падение ядра происходит под действием центростремительной силы. Думаю, что такое определение силы, можно считать только условно, так как обычно принято считать, что центростремительная сила – это результат вращательного движения тела вокруг центра вращения. Но поскольку установлено на предыдущих примерах отсутствие центростремительных сил, то и в этом случае естественней называть силу, приводящую к свободному падению ядра не центростремительной, а гравитационной, носящей только при внешнем наблюдении характер центростремительной силы, но связанной с перемещением центра масс двух взаимодействующих тел.

Более полно такое понимание изложено в рассмотрении причины гравитации в упомянутой выше главе «Гравитация», где показано, что тела не притягиваются друг к другу, а стягиваются к центру тяжести системы из двух тел, например, Земля-Луна, с перемещением центра масс по мере сближения взаимодействующих тел.

Таким образом, из представленных примеров следует, что центростремительной силы в природе не существует, но существуют центробежная и удерживающая силы.

Ко всему сказанному следует добавить ещё один фактор, связанный с вращением тел относительно друг друга. Если представить, что космические тела не вращаются относительно друг друга, при сохранении гравитационной взаимозависимости, то это должно было бы привести к повсеместному стягиванию всех материальных тел Вселенной в единую массу. В результате этого образовалась бы громадная концентрация материальной массы, которая привела бы массу в критическое энергетическое состояние. В результате этого должен был бы начаться глобальный термоядерный процесс с образованием плазменного состояния материи и с последующим Большим Взрывом. Концентрация материи в единую массу не могла быть равномерной, а это должно было бы привести совокупную массу к вращению вокруг своей оси. Поэтому, все образовавшиеся в результате Большого Взрыва материальные образования, должны были бы вращаться вокруг центра тяжести своих масс и в связи с гравитационным фактором, привести к вращению меньших масс вокруг больших масс.

Таким образом, вращательное движение тел относительно друг друга, следствие гравитационного воздействия, и связанное с этим появление центробежной силы, является основой существования структуры материальной Вселенной и её стабильности.

В заключение завершу изложенное тем, что сказал греческий философ Гераклит: «Из Единого всё происходит, из всего – Единое». В этом высказывании заключён смысл бесконечно повторяющегося эволюционного процесса образования и распада материальной Вселенной, или круговорот материи во Вселенной.

Источник

Вращение твердого тела

Углы выражаются в радианах. За положительное направление вращения принимается направление против часовой стрелки.

Когда твердое тело вращается относительно неподвижной оси, все точки этого тела перемещаются с одинаковыми угловыми скоростями и ускорениями.

Если угловое перемещение Δ φ мало, то модуль вектора линейного перемещения ∆ s → некоторого элемента массы Δ m вращающегося твердого тела можно выразить соотношением:

Между модулями угловой и линейной скоростей можно установить связь посредством равенства

Модули линейного и углового ускорения также взаимосвязаны:

Также нам необходимо учесть возникновение нормального или центростремительного ускорения, которое всегда возникает при движении тел по окружности.

Модуль ускорения выражается формулой:

Физическая величина ∑ i ∆ m i r i 2 носит название момента инерции I тела относительно оси вращения. Она зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения:

Если для динамики поступательного движения основную роль играет масса тела, то в динамике вращательного движения имеет значение момент инерции. Но если масса – это свойство рассматриваемого твердого тела, которое не зависит от скорости движения и других факторов, то момент инерции зависит от того, вокруг какой оси вращается тело. Для одного и того же тела момент инерции будет определяться различными осями вращения.

В большинстве задач считается, что ось вращения твердого тела проходит через центр его массы.

Рисунок 2. Центр масс C системы из двух частиц.

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор r C → центра масс определяется выражением

Если мы имеем дело с твердым телом, состоящим из одной части, то в приведенном выражении суммы для r C → необходимо заменить интегралами.

Центр масс в однородном поле тяготения совпадает с центром тяжести. Это значит, что если мы возьмем тело сложной формы и подвесим его за центр масс, то в однородном поле тяготения это тело будет находиться в равновесии. Отсюда следует способ определения центра масс сложного тела на практике: его необходимо последовательно подвесить за несколько точек, одновременно отмечая по отвесу вертикальные линии.

На рисунке мы видим тело, которое подвешено за центр масс. Оно находится в состоянии безразличного равновесия. В однородном поле тяготения равнодействующая сил тяжести приложена к центру масс.

Мы можем представить любое движение твердого тела как сумму двух движений. Первое поступательное, которое производится со скоростью центра масс тела. Второе – это вращение относительно оси, которая проходит через центр масс.

Предположим. Что у нас есть колесо, которое катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Все точки колеса во время движения перемещаются параллельно одной плоскости. Такое движение мы можем обозначить как плоское.

Теорема о движении центра масс

Кинестетическая энергия вращающегося твердого тела при плоском движении будет равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, которая проведена через центр масс и располагается перпендикулярно плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, I C – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

В механике используется теорема о движении центра масс.

Любое тело или несколько взаимодействующих тел, которые представляют собой единую систему, обладают центром масс. Этот центр масс под воздействием внешних сил перемещается в пространстве как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

На рисунке мы изобразили движение твердого тела, на которое действуют силы тяжести. Центр масс тела движется по траектории, которая близка к параболе, тогда как траектория остальных точек тела является более сложной.

Рисунок 5. Движение твердого тела под действием силы тяжести.

Теорема Штейнера о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим случай, когда твердое тело движется вокруг некоторой неподвижной оси. Момент инерции этого тела инерции I можно выразить через момент инерции I C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рисунок 6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения.

По определению момента инерции:

Выражение для I P можно переписать в виде:

Два последних члена уравнения обращаются в нуль, так как начало координат в нашем случае совпадает с центром масс тела.

Так мы пришли к формуле теоремы Штейнера о параллельном переносе оси вращения.

Для тела, которое вращается относительно произвольной неподвижной оси, момент инерции, согласно теореме Штейнера, равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

где m – полная масса тела.

Рисунок 7. Модель момента инерции.

На рисунке ниже изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 8. Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рисунок 9. Касательная F i τ → и радиальная F i r → составляющие силы F i → действующей на элемент Δ m i твердого тела.

где ε = a i τ r i – угловое ускорение всех точек твердого тела.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими.

Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса вращающегося тела – это физическая величина, которая равняется произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения.

Так мы пришли к закону сохранения момента импульса.

В качестве примера приведем рисунок, на котором изображено неупругое вращательное столкновение дисков, которые насажены на общую для них ось.

Мы имеем дело с замкнутой системой. Для любой замкнутой системы закон сохранения момента импульса будет справедливым. Он выполняется и в условиях экспериментов по механике, и в условиях космоса, когда планеты движутся по своим орбитам вокруг звезды.

Мы можем записать уравнение динамики вращательного движения как для неподвижной оси, так и для оси, которая перемещается равномерно или с ускорением. Вид уравнения не изменится и в том случае, если ось движется ускоренно. Для этого должно выполняться два условия: ось должна проходить через центр массы тела, а ее направление в пространстве остается неизменным.

Предположим, что у нас есть тело (шар или цилиндр), которое катится по наклонной плоскости с некоторым трением.

Рисунок 11. Качение симметричного тела по наклонной плоскости.

Уравнение вращательного движения:

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

Источник

Вращательное движение твердого тела: уравнение, формулы

В природе и технике мы часто сталкиваемся с проявлением вращательного движения твердых тел, например, валов и шестерен. Как в физике описывают этот тип движения, какие формулы и уравнения для этого применяются, эти и другие вопросы освещаются в данной статье.

Что такое вращение?

Вам будет интересно: Афронт — это ситуация, в которой не хочется оказаться

Чтобы вращение происходило, должно существовать центростремительное ускорение, которое возникает за счет центростремительной силы. Эта сила направлена от центра масс тела к оси вращения. Природа центростремительной силы может быть самой разной. Так, в космическом масштабе ее роль выполняет гравитация, если тело закреплено нитью, то сила натяжения последней будет центростремительной. Когда тело вращается вокруг собственной оси, роль центростремительной силы играет внутреннее электрохимическое взаимодействие между составляющими тело элементами (молекулами, атомами).

Вам будет интересно: Декабрист Оболенский Евгений Петрович: биография. Декабристские организации

Необходимо понимать, что без присутствия центростремительной силы тело будет двигаться прямолинейно.

Описывающие вращение физические величины

Во-первых, это динамические характеристики. К ним относятся:

Во-вторых, это кинематические характеристики. Перечислим их:

Кратко опишем каждую из названных величин.

Момент импульса определяется по формуле:

Момент инерции материальной точки рассчитывается с помощью выражения:

Для любого тела сложной формы величина I рассчитывается, как интегральная сумма моментов инерции материальных точек.

Момент силы M вычисляется так:

Физический смысл всех величин, в названии которых присутствует слово «момент», аналогично смыслу соответствующих линейных величин. Например, момент силы показывает возможность приложенной силы сообщить угловое ускорение системе вращающихся тел.

Кинематические характеристики математически определяются следующими формулами:

Как видно из этих выражений, угловые характеристики аналогичны по своему смыслу линейным (скорости v и ускорению a), только они применимы для круговой траектории.

Динамика вращения

В физике изучение вращательного движения твердого тела осуществляется с помощью двух разделов механики: динамики и кинематики. Начнем с динамики.

Динамика изучает внешние силы, действующие на систему вращающихся тел. Сразу запишем уравнение вращательного движения твердого тела, а затем, разберем его составные части. Итак, это уравнение имеет вид:

Момент силы, который действует на систему, обладающую моментом инерции I, вызывает появление углового ускорения α. Чем меньше величина I, тем легче с помощью определенного момента M раскрутить систему до больших скоростей за малые промежутки времени. Например, металлический стержень легче вращать вдоль его оси, чем перпендикулярно ей. Однако, тот же стержень легче вращать вокруг оси, перпендикулярной ему, и проходящей через центр масс, чем через его конец.

Закон сохранения величины L

Выше была введена эта величина, она называется моментом импульса. Уравнение вращательного движения твердого тела, представленное в предыдущем пункте, часто записывают в иной форме:

Если момент внешних сил M действует на систему в течение времени dt, то он вызывает изменение момента импульса системы на величину dL. Соответственно, если момент сил равен нулю, тогда L = const. Это и есть закон сохранения величины L. Для нее, используя связь между линейной и угловой скоростью, можно записать:

Таким образом, при отсутствии момента сил произведение угловой скорости и момента инерции является постоянной величиной. Этот физический закон используют фигуристы в своих выступлениях или искусственные спутники, которые необходимо повернуть вокруг собственной оси в открытом космосе.

Центростремительное ускорение

Выше, при изучении вращательного движения твердого тела, уже была описана эта величина. Также была отмечена природа центростремительных сил. Здесь лишь дополним эту информацию и приведем соответствующие формулы для расчета этого ускорения. Обозначим его ac.

Поскольку центростремительная сила направлена перпендикулярно оси и проходит через нее, то момента она не создает. То есть эта сила не оказывает совершенно никакого влияния на кинематические характеристики вращения. Тем не менее, она создает центростремительное ускорение. Приведем две формулы для его определения:

Таким образом, чем больше угловая скорость и радиус, тем большую силу следует приложить, чтобы удержать тело на круговой траектории. Ярким примером этого физического процесса является занос автомобиля во время поворота. Занос возникает, если центростремительная сила, роль которой играет сила трения, становится меньше, чем центробежная сила (инерционная характеристика).

Кинематика вращения

Три основные кинематические характеристики были перечислены выше в статье. Кинематика вращательного движения твердого тела формулами следующими описывается:

θ = ω*t => ω = const., α = 0;

θ = ω0*t + α*t2/2 => ω = ω0 + α*t, α = const.

В первой строке приведены формулы для равномерного вращения, которое предполагает отсутствие внешнего момента сил, действующего на систему. Во второй строке записаны формулы для равноускоренного движения по окружности.

Отметим, что вращение может происходить не только с положительным ускорением, но и с отрицательным. В этом случае в формулах второй строки следует перед вторым слагаемым поставить знак минус.

Пример решения задачи

На металлический вал в течение 10 секунд действовал момент силы 1000 Н*м. Зная, что момент инерции вала равен 50 кг*м2, необходимо определить угловую скорость, которую придал валу упомянутый момент силы.

Применяя основное уравнение вращения, вычислим ускорение вала:

Поскольку это угловое ускорение действовало на вал в течение времени t = 10 секунд, то для вычисления угловой скорости применяем формулу равноускоренного движения:

Здесь ω0 = 0 (вал не вращался до действия момента сил M).

Подставляем в равенство численные значения величин, получаем:

ω = 1000/50*10 = 200 рад/с.

Чтобы это число перевести в привычные обороты в секунду, необходимо его поделить на 2*pi. Выполнив это действие, получаем, что вал будет вращаться с частотой 31,8 об./с.

Источник