алгебра клиффорда что это

Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей над некоторым коммутативным кольцом (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой .

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Содержание

Формальное определение

Элементы (векторы) из , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

.

Комментарий

Если есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда — линейное пространство, а в качестве используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Примеры вещественных и комплексных алгебр

Свойства

Матричные представления алгебр Клиффорда

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Алгебра Клиффорда» в других словарях:

Алгебра (значения) — Алгебра раздел математики либо математическая структура специального вида (см. Алгебраическая система) Как раздел математики Абстрактная алгебра Алгебра логики раздел математической логики. Коммутативная алгебра Линейная алгебра… … Википедия

КЛИФФОРДА АЛГЕБРА — конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Клиффордом (W. Clifford) в 1876. Пусть К коммутативное кольцо с единицей, Е свободный K модуль, Q квадратичная форма на Е. К. а. квадратичной формы Q(или пары … Математическая энциклопедия

ЙОРДАНОВА АЛГЕБРА — алгебра, в к рой справедливы тождества 4 Такие алгебры впервые возникли в работе П. Йордана [1], посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. также [2]), а затем нашли применения в алгебре, анализе и геометрии. Пусть А ассоциативная… … Математическая энциклопедия

Тензорная алгебра — Тензорной алгеброй линейного пространства (обозначается ) называется алгебра тензоров любого ранга над с операцией тензорного умножения. Также тензорной алгеброй называется соответствующий раздел линейной алгебры (то есть раздел, занимающийся… … Википедия

Внешняя алгебра — или алгебра Грассмана алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения … Википедия

Симметрическая алгебра — В математике, симметрической алгеброй S(V) (также обозначается Sym(V)) векторного пространства V над полем K называется свободная коммутативная ассоциативная K алгебра с единицей, содержащая V. Она соответствует алгебре многочленов с переменными… … Википедия

ФИЛЬТРОВАННАЯ АЛГЕБРА — алгебра S, в к рой выделены подпространства индексированные элементами линейно упорядоченной группы А(чаще всего А аддитивная группа целых чисел ). таким образом, что при и (возрастающая фильтрация). Иногда рассматривают случай, когда при… … Математическая энциклопедия

Внешнее произведение — Внешняя алгебра или алгебра Грассмана алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Свойства … Википедия

Источник

СОДЕРЖАНИЕ

Введение и основные свойства

Если характеристика основного поля K не равна 2, то это фундаментальное тождество можно переписать в виде

Как квантование внешней алгебры

Универсальное имущество и строительство

Если характеристика поля не равна 2, это может быть заменено эквивалентным требованием,

где билинейная форма может быть дополнительно ограничена симметрией без потери общности.

Основа и размер

Из фундаментального тождества Клиффорда следует, что для ортогонального базиса

Примеры: вещественные и комплексные алгебры Клиффорда.

Вещественные числа

Всякая невырожденная квадратичная форма на конечномерном вещественном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме:

Вот несколько низкоразмерных случаев:

Комплексные числа

Можно также изучать алгебры Клиффорда на комплексных векторных пространствах. Любая невырожденная квадратичная форма на комплексном векторном пространстве размерности n эквивалентна стандартной диагональной форме

Таким образом, для каждой размерности n с точностью до изоморфизма существует только одна алгебра Клиффорда комплексного векторного пространства с невырожденной квадратичной формой. Обозначим алгебру Клиффорда на C n со стандартной квадратичной формой через Cl _n ( C ).

Для первых нескольких случаев обнаруживается, что

Примеры: построение кватернионов и двойных кватернионов

Кватернионы

В этом разделе кватернионы Гамильтона строятся как четная подалгебра алгебры Клиффорда Cl _0,3 ( R ).

Теперь введем произведение Клиффорда векторов v и w, заданное формулой

В этой формулировке используется отрицательный знак, поэтому соответствие с кватернионами легко показать.

Общий элемент алгебры Клиффорда Cl _0,3 ( R ) задается формулой

Линейная комбинация элементов четной степени в Cl _0,3 ( R ) определяет четную подалгебру Cl [0]
0,3 ( R ) с общим элементом

Чтобы увидеть это, вычислите

Двойные кватернионы

В этом разделе двойственные кватернионы строятся как четная алгебра Клиффорда реального четырехмерного пространства с вырожденной квадратичной формой.

Произведение Клиффорда векторов v и w дается выражением

Обратите внимание, что отрицательный знак введен для упрощения соответствия с кватернионами.

Это обеспечивает соответствие Cl [0]
0,3,1 ( R ) с двойственной кватернионной алгеброй.

Чтобы увидеть это, вычислите

Примеры: в малом размере

Размер 1

Размер 2

Характеристики

Отношение к внешней алгебре

естественно изоморфна внешней алгебре ⋀ ( V ). Поскольку ассоциированная градуированная алгебра фильтрованной алгебры всегда изоморфна фильтрованной алгебре как фильтрованные векторные пространства (путем выбора дополнений к F k в F k +1 для всех k ), это обеспечивает изоморфизм (хотя и не естественный) в любом характеристика, даже две.

Оценка

Далее предположим, что характеристика не равна 2.

Точно так же в комплексном случае можно показать, что четная подалгебра в Cl _n ( C ) изоморфна Cl _{n −1} ( C ).

Антиавтоморфизмы

Из двух антиавтоморфизмов транспонирование является более фундаментальным.

α ( Икс ) знак равно ± Икс Икс т знак равно ± Икс Икс ¯ знак равно ± Икс <\ displaystyle \ alpha (x) = \ pm x \ qquad x ^ <\ mathrm> = \ pm x \ qquad <\ bar > = \ pm x>

где знаки даны в следующей таблице:

Скалярное произведение Клиффорда

Q ( Икс ) знак равно ⟨ Икс т Икс ⟩ 0 <\ displaystyle Q (x) = \ left \ langle x ^ <\ mathrm> x \ right \ rangle _ <0>>

Оператор левого (соответственно правого) умножения Клиффорда на транспонирование a t элемента a является сопряженным к левому (соответственно правому) умножению Клиффорда на a относительно этого скалярного произведения. Это,

Структура алгебр Клиффорда

Группа Липшица

Группа Липшица Γ определяется как набор обратимых элементов x, которые стабилизируют набор векторов при этом действии, что означает, что для всех v в V мы имеем:

По другим полям или с неопределенными формами карта, как правило, не отображается, и сбой фиксируется спинорной нормой.

Спинорная норма

В произвольной характеристике спинорная норма Q определяется на липшицевой группе соотношением

Отметим, что в характеристике 2 группа <± 1>имеет только один элемент.

дает длинную точную последовательность на когомологиях, которая начинается

Группы Spin и Pin

В этом разделе мы предполагаем, что V конечномерно, а его билинейная форма неособа.

Группа Пина Pin _V ( K ) является подгруппой липшицевой группы Γ элементов спинорной нормы 1, и аналогично группа Spin Spin _V ( K ) является подгруппой элементов инварианта Диксона 0 в Pin _V ( K ). Когда характеристика не равна 2, это элементы определителя 1. Группа Spin обычно имеет индекс 2 в группе Pin.

Спиноры

Настоящие спиноры

Приложения

Дифференциальная геометрия

Физика

Компьютерное зрение

Обобщения

Конференции и журналы

Источник

1 Числа и алгебра Клиффорда

Создание исчисления, позволяющего оперировать геометри­ческими величинами по правилам алгебры, издавна было целью исследований многих математиков. Об этом мечтал еще Лейб­ниц, этого пытался добиться Карно. Однако первые дейст­вительно важные систематические построения такого рода были сделаны ирландцем У. Р. Гамильтоном (1805—1865), который в поисках объектов, обобщающих комплексные числа, открыл кватернионы (отказавшись при этом от свойства коммутатив­ности произведения), и немцем X. Грассманом (1809 — 1877), который около 1844 г. ввел понятия внешнего, а затем и внут­реннего произведения для мультивекторов. В 1878 г. англичани­ну У. К. Клиффорду (1845 — 1879) удалось объединить эти две разные схемы в рамках единой алгебры, охватывающей и обычное векторное исчисление в пространстве трех измере­ний, разработанное в окончательном виде американцем Дж. У. Гиббсом (1839–1903). Однако лишь в 1930 г. эта алгебра — творение, в основном, англо–саксонское — приобрела столь важные приложения в физике, что потребовалось ее ма­тематически корректное изложение.

В случае евклидовых пространств E_n размерности n ≤ 3, а также пространства–времени специальной теории относительности, можно определить произведение двух векторов как произведение двух матриц, сопоставленных векторам; при этом все аксиомы чисел Клиффорда очевидным образом выполняются. В общем случае произведения векторов, являющиеся элементами K_n , будут определены как функции по отношению к некоторому базису этого пространства. Тем самым они будут определены сразу во всех базисах, и необходимости обращаться к матричному представлению векторов не возникнут.

Множество чисел Клиффорда является абелевой группой по операции «сложение».

Множество чисел Клиффорда является телом по операциям «сложение» и «умножение».

Множество чисел Клиффорда не имеет делителей нуля при положительно определенной норме вектора базисного пространства E_n .

1.1 Алгебра Клиффорда

Все утверждения здесь и везде в этой главе даются без доказательств. Более подробно можно посмотреть в книге Г.Казанова, Векторная алгебра, 1979, М., Мир, посвященной числам Клиффорда и их применениию в физике.

1. Базой алгебры Клиффорда K_n является поле. Тогда выполняются аксиомы векторного пространства:

и если 0 — нулевой вектор этого пространства, то

Далее, для действительных чисел l и m

и, кроме того, умножение на число 1 не меняет элементы K_n . Из этих свойств следует, что если l A = 0, то либо l = 0, либо A = 0.

2. В K_n определено ассоциативное умножение, связанное со сложением условиями дистрибутивности (введена структура кольца): т. е. произведение AB также является элементом K_n и

3. Действительные числа, или скаляры, l являются элементами K_n и коммутируют со всеми элементами, т. е.

Эти три свойства чисел Клиффорда есть стандартные свойства тела. Следующее свойство вводит на этих числах частичную норму, определенную на векторах базового пространства.

4. Для любого а из E_n квадрат a 2 = aa является скаляром.

Эта мера как следствие определена на всех числах Клиффорда. Элементы пространства K_n называют тогда с–числами или числами Клиффорда.

1.2 Канонический базис

Векторы a и b называют сопряженными относительно квад­ратичной формы, если

Каноническим базисом для квадратичной формы назовем такой базис из векторов e_i что e_i 2 = 1 (или –1) при всех i Î 1, 2. n и e_ie_j + e_je_i = 0 при всех (i, j) с i ≠ j. Можно говорить, что это ортонормированный базис пространства E_n .

Базовыми элементами чисел g _p Клиффорда являются базисные векторы и произведения этих векторов друг на друга и любые линейные комбинации этой базы. Т.к. совокупность нескольких базисных векторов есть геометрический объект соответствующей размерности, то n–мерные числа Клиффорда геометрически представляют собой совокупность пространственных объемов размерности k ≤ n, натянутых на k векторах пространства.

5. Правила умножения базисных векторов:

где I_n – единичный элемент базы пространства.

6. Произведение базисных элементов есть снова базисный элемент алгебры Клиффорда. Если индексы ij … k не совпадают между собой, то

1.3 Произведения векторов и базис чисел Клиффорда

Пусть <e_i > — канонический базис E_n , а х, у. w — набор из k векторов пространства E_n . Построим произведение

принимая во внимание предыдущие аксиомы, выражающие структуру алгебры Клиффорда, и свойства канонического базиса. Получим в результате сумму всевозможных произведений вида

Множество всевозможных произведений A имеет структуру векторного пространства K_n , которое удобно определенным образом разложить на векторные подпространства. В зависи­мости от четности числа сомножителей A может иметь компо­ненты, принадлежащие следующим подпространствам:

1) ( k четно) векторное пространство размерности 1; его эле­менты, обозначаемые здесь A _S или A ₀ – скаляры, или 0–векторы;

3) ( k четно) векторное пространство бивекторов A_B или A ₂ = å l _ij g _i g _j размерности n ( n –1);

n ) Наконец, выделим одномерное векторное подпространство псевдоскаляров A_P = l _N g _N ; где g _N = g ₁ g ₂… g _n .

Поскольку р–вектор имеет C p _n составляющих, он является элементом векторного пространства K_n , а произве­дение произвольного набора р–векторов окажется, следователь­но, элементом векторного пространства, являющегося прямой суммой n + 1 своих подпространств и имеющего размерность

Элементы этого пространства, обозначаемого K_n , назы­вают числами Клиффорда.

Степень элемента тензора будет равна количеству ненулевых непарных индексов кроме нулевых. В числе Клиффорда все элементы с определенной степенью складываются с определенным знаком при них.

2) из 4*3 = 12 элементов A _{kk i} независимы только 3, что означает симметричность тензора по двум одинаковым индексам для внутренних плоскостей размерами 3*3;

3) из 27 элементов A _{0 ij} , … независимы только 3 элемента, что соответствует антисимметричности каждой внешней поверхности размерами 3*3;

4) из 27 элементов A_ijk независим только один элемент, что соответствует полностью антисимметричному внутреннему тензору.

При данных отношениях эта самосвертка тензора и числа Клиффорда оказываются изоморфными.

Другой особенностью чисел Клиффорда является то, что они, имея векторную структуру, в своем составе имеют элементы различной структуры: скаляры, векторы, бивекторы, … При этом операция сложения их не смешивает, а операция умножения их смешивает сложным образом.

Этот беглый обзор формализма векторной алгебры на числах Клиффорда позволяет понять, что она гораздо богаче, чем другие алгебры. Числа Клиффорда включают в себя как независимую часть вещественные и комплексные числа, кватернионы и бикватернионы. Значение такой алгебры для геометрии и физики проявляется в многочисленных приложе­ниях; в геометрии это описание вращений и инверсии, а в физике область применений включает электромагнетизм, в част­ности уравнения Лоренца для электрона, лоренцевы вращения в специальной теории относительности и, наконец, уравнение Дирака. В силу этого векторная алгебра Клиффорда есть нечто большее, нежели просто новая форма записи известных результатов. Не следует относиться безразлично к выбору того или иного математического метода, ибо разные методы не вполне экви­валентны с точки зрения их отношения к реальности.

Скаляры называются также 0–векторами, и вообще р–вектором называется внешнее произведение р независимых векторов a ₁, a ₂. a _р из E_n ; оно обозначается:

1.4 Внутреннее произведение двух векторов

Пусть на Е _n задана квадратичная форма, которая опреде­ляет действительный квадрат а 2 каждого вектора а, необяза­тельно положительный. На основании тождества

выводим для любых векторов а и b :

1.5 Внешнее произведение двух векторов

Тем самым можно принять такое определение внешнего, произведения двух векторов a и b :

1.6 Клиффордово произведение двух векторов

1.7 Произведение вектора на число Клиффорда

Следовательно, в общем случае для а = å g _i g _i , можно написать

Это означает, что произведения можно записать так:

(это доказательство проходит, если квадратичная форма в K_n положительно определена, т. е. внутреннее произведение векторов яв­ляется скалярным произведением), а также

1.8 Общие формулы

Пусть А – произвольный элемент векторного пространства K_n . Обозначим через Ā число Клиффорда, полученное в ре­зультате изменения на противоположное направления каждого вектора, входящего в произведения, которые задают А. Можно записать А в виде суммы четного ( A = Ā) и нечетного ( A = –Ā) чисел Клиффорда;

Тогда выражения для a ∙ A и a Ù A можно заменить наиболее общими формулами:

Заметим еще, что, основываясь на этой выкладке, можно записать Аа = А ∙ а + А Ù а. Это в свою очередь приводит к таким соотношениям для А, имеющего четность (–1) р :

Таким образом, для произвольного А получаются формулы

Для достижения общности обозначений можно условиться, что эти выражения остаются в силе и для скаляров А = A_s; при этом полагаем, что Ā_s = A_s.

Некоторые другие формулы и их свойства.

Разложение внутреннего произведения:

Эта формула определяет внешнее произведение рекуррентным образом.

Внешнее произведение изменяет знак при перестановке двух сомножителей. Это есть свойство альтернированности.

Векторное пространство K_n можно разложить в прямую сумму двух дополнительных друг другу векторных подпространств K + _n K – _n , которые определяются как множества чисел Клиффорда вида

Первые называются четными числами Клиффорда, и т.к. суммы и произведения четных чисел вновь четны, то структура кольца наследуется, и поэтому K + _n будет подалгеброй K_n . Вторые называются нечетными числами Клиффорда.

Для чисел Клиффорда с четным рангом канонического базиса пространства K _{2 n} можно определить подалгебру, состоящую только из векторов с элементами четного ранга:

Размерность этой подалгебры равна половине исходного. Если эта размерность опять четная, то в ней можно выделить еще одну подалгебру и т.д.

Для чисел Клиффорда любой размерности можно выделить две тривиальные подалгебры.

Первая подалгебра состоит из скалярных элементов чисел Клиффорда. Действительно, любая операция со скалярами снова приводит к скаляру. Это нульмерная алгебра Клиффорда и эта алгебра изоморфна вещественным числам.

Вторая алгебра состоит из скаляров и псевдоскаляров. Любая операция с ними тоже приводит к скалярному либо псевдоскалярному числу. Это одномерная алгебра Клиффорда и эта подалгебра есть либо алгебра двойных чисел, либо алгебра комплексных чисел, в зависимости от знака квадратичной формы.

2 Реализации чисел Клиффорда

2.1 0–мерная алгебра Клиффорда

2.2 1 –мерная алгебра Клиффорда

· покомпонентное сложение элементов;

· умножение на скаляр;

Посмотрим, что будет, если перемножим по Клиффорду два числа друг на друга:

где s – знак квадратичной формы. Изменим порядок сомножителей:

Мы видим, что Клиффордово произведение не зависит от порядка сомножителей: алгебра K ₁ коммутативна. А это говорит о том, что Клиффордово произведение в случае n = 1 совпадает с внутренним произведением, а внешнее произведение равно 0. Действительно, найдем внутреннее произведение этих же чисел:

Внешнее произведение тождественно равна нулю:

2.3 2 –мерная алгебра Клиффорда

· покомпонентное сложение элементов;

· умножение на скаляр;

Можно видеть, что количество различных алгебр K ₂ определяется сигнатурой параметров s_i и равно четырем: (++), (+–), (–+), (– –). Но т.к. сигнатуры (+–), (–+) дают одну и ту же алгебру, то количество различных алгебр K ₂ равно трем. При сигнатуре (– –) алгебра K ₂ соответствует антикоммутативной алгебре кватернионов, при сигнатуре (++) алгебра K ₂ соответствует алгебре гипергиперболических чисел, при сигнатуре (+-) алгебра K ₂ соответствует алгебре гиперкомплексных чисел.

Посмотрим, что будет, если перемножим по Клиффорду два числа друг на друга:

Разберем эту сумму по базе K ₂

Можно видеть, что это произведение можно записать следующим выражением (в векторной форме):

где A _v – векторные части соответствующих чисел Клиффорда K ₄: A _v = ( g ‘₁, g ‘₂, g ‘),

A’_v × A»_v – векторное произведение 3-векторов.

Рассмотрим каждую из составляющих этого произведения.

1). Первая строка есть скалярное произведение векторов с сигнатурой (1, s ₁, s ₂, –1) и состоит из произведения скаляров и произведения векторных частей чисел. Из ее сигнатуры видно, что это пространство в общем является не евклидовой в силу существования в ней элементов с разными знаками.

2). Подчеркнутые части есть площади параллелограммов, составленных на базисных плоскостях пространства K_n векторными частями этих чисел. Фактически это векторное произведение этих «неполных» чисел.

Поменяем порядок сомножителей в произведении:

Можно видеть, что это произведение можно записать следующим выражением (в векторной форме):

Источник