базисная переменная отличается тем что

Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Общее и базисное решения системы линейных алгебраических уравнений. Первая часть.

Мы завершили прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Слева от черты расположены элементы преобразованной матрицы системы, которую мы также привели к ступенчатому виду. Напомню, что если некая матрица приведена к ступенчатому виду, то её ранг равен количеству ненулевых строк.

В принципе, если вас интересует именно методика решения таких систем, то можно пропускать нижеследующее примечание и читать далее. Если вы хотите выяснить, почему можно в качестве базисных взять именно эти переменные, и нельзя ли выбрать иные – прошу раскрыть примечание.

Итак, давайте выберем минор второго порядка, элементы которого находятся на пересечении строк №1 и №2, и столбцов №1 и №2:

Осуществим вторую попытку, взяв минор второго порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2 и столбцов №3 и №4:

Сделаем и третью попытку, найдя значение минора, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №3:

Почему меняются знаки? Что вообще значит это перенесение столбцов? показать\скрыть

Если опять записать полученную систему в виде матрицы, то мы и получим матрицу с перенесёнными за черту столбцами.

А теперь продолжим решение обычным методом Гаусса. Наша цель: сделать матрицу до черты единичной. Для начала разделим вторую строку на 3, а потом продолжим преобразования обратного хода метода Гаусса:

Проверка первого уравнения увенчалась успехом; точно так же можно проверить второе и третье уравнения.

Если система является неопределённой, указать базисное решение.

Столбцы №4 и №5, которые соответствуют свободным переменным, перенесём за черту. После этого разделим третью строку на 8 и продолжим решение методом Гаусса:

Продолжение этой темы рассмотрим во второй части, где разберём ещё два примера с нахождением общего решения.

Источник

Понятие общей и основной задачи линейного программирования. Понятие базисных и свободных переменных.

Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

В системе из m уравнений с N неизвестными общее число базисных решений при N > m определяется числом сочетаний Базисное решение, в котором все xi0, i = 1,m, называется допустимым базисным решением. Таким образом, первый этап решения, используя симплекс-метод, завершается нахождением допустимого базисного решения, хотя бы и неудачного.

На втором этапе производится последовательное улучшение найденного решения. При этом осуществляется переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, чтобы значение целевой функции улучшилось. Процесс решения, используя симплекс-метод, продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто наименьшее (или наибольшее) значение функции цели. Геометрически это означает переход по ребрам из одной вершины многогранника допустимых значений в другую по направлению к той, в которой значение функции цели достигает экстремума. Симплекс-метод дает оптимальную процедуру перебора базисных решений и обеспечивает сходимость к экстремальной точке за конечное число шагов. Используя симплекс-метод, вычисления на втором этапе ведутся по следующей схеме:

1) базисные переменные и функция цели выражаются через небазисные переменные;

3) определяется, какая из базисных переменных должна быть выведена из базиса, при этом новый набор базисных переменных, образующийся на каждом шаге, отличается от предыдущего только одной переменной;

4) базисные переменные и функция цели выражаются через новые небазисные переменные, и повторяются операции 2) и 3).

Рассмотрим пример, относящийся к задачам организационно-экономического управления и помогающий уяснить содержание симплекс-метода.

Алгоритм симплекс-метода для решения общей задачи линейного программирования. Таблица.

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов, был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном, разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП — методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования, разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

24.Особые случаи в симплекс-методе: вырожденное решение, бесконечное множество решений, отсутствие решения. Примеры.

Использование метода искусственного базиса для решения общей задачи линейного программирования. Пример.

Метод искусственного базиса.

Метод искусственного базиса используется для нахождения допустимого базисного решения задачи линейного программирования, когда в условии присутствуют ограничения типа равенств. Рассмотрим задачу:

В ограничения и в функцию цели вводят так называемые «искусственные переменные» Rj следующим образом:

При введении искусственных переменных в методе искусственного базиса в функцию цели им приписывается достаточно большой коэффициент M, который имеет смысл штрафа за введение искусственных переменных. В случае минимизации искусственные переменные прибавляются к функции цели с коэффициентом M. Введение искусственных переменных допустимо в том случае, если в процессе решения задачи они последовательно обращаются в нуль.

Применим метод искусственного базиса. Введем искусственные переменные в ограничения задачи

2×1 + 3×2 + x3 + R1 = 3;

Если при устранении M-строки решение не является оптимальным, то процедура оптимизации продолжается и выполняется обычным симплекс-методом. Рассмотрим пример, в котором присутствуют ограничения всех типов:≤,=,≥

Двойственные симметричные задачи линейного программирования. Пример.

Определение двойственной задачи

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей, как мы уже знаем, в нахождении максимального значения функции при условиях

называется двойственной по отношению к задаче (32) – (34). Задачи (32) – (34) и (35) – (37) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой. Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи (32) – (34) задается на максимум, а целевая функция двойственной (35) – (37) – на минимум.

2. Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений (33) исходной задачи (32) – (34), и аналогичная матрица в двойственной задаче (35) – (37) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов – строками).

3. Число переменных в двойственной задаче (35) – (37) равно числу ограничений в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а число ограничений в системе (36) двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче.

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (35) двойственной задачи (35) – (37) являются свободные члены в системе (33) исходной задачи (32) – (34), а правыми частями в соотношениях системы (36) двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции (32) исходной задачи.

5. Если переменная xj исходной задачи (32) – (34) может принимать только лишь положительные значения, то j–е условие в системе (36) двойственной задачи (35) – (37) является неравенством вида “? ”. Если же переменная xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то 1 – соотношение в системе (54) представляет собой уравнение. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (33) исходной задачи (32) – (34) и переменными двойственной задачи (35) – (37). Если i – соотношение в системе (33) исходной задачи является неравенством, то i–я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная уj может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (33) прямой задачи и соотношения (36) двойственной задачи являются неравенствами вида “ ”. Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 1365; Нарушение авторского права страницы

Источник

Базисная переменная отличается тем что

В системе из m уравнений с N неизвестными общее число базисных решений при N > m определяется числом сочетаний

На втором этапе производится последовательное улучшение найденного решения. При этом осуществляется переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, чтобы значение целевой функции улучшилось. Процесс решения, используя симплекс-метод, продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто наименьшее (или наибольшее) значение функции цели. Геометрически это означает переход по ребрам из одной вершины многогранника допустимых значений в другую по направлению к той, в которой значение функции цели достигает экстремума. Симплекс-метод дает оптимальную процедуру перебора базисных решений и обеспечивает сходимость к экстремальной точке за конечное число шагов. Используя симплекс-метод, вычисления на втором этапе ведутся по следующей схеме:

1) базисные переменные и функция цели выражаются через небазисные переменные;

3) определяется, какая из базисных переменных должна быть выведена из базиса, при этом новый набор базисных переменных, образующийся на каждом шаге, отличается от предыдущего только одной переменной;

4) базисные переменные и функция цели выражаются через новые небазисные переменные, и повторяются операции 2) и 3).

Рассмотрим пример, относящийся к задачам организационно-экономического управления и помогающий уяснить содержание симплекс-метода.

Обозначим неизвестное количество оборудования первого и второго видов соответственно через x₁ и x₂. Функция цели может быть записана следующим образом: F(x) = 8x₁ + 4x₂(max). Ограничения по площади: 6x₁ +12x₂≤72; ограничения по стоимости: 5x₁ + 2x₂≤20 ; ограничения на знак переменных x₁≥0 ; x₂≥0.

Разделим коэффициенты первого из ограничений на 6 и приведем ограничения к виду равенств, вводя дополнительные переменные x₃ и x₄:

Таким образом, ограничения задачи при решение симплекс-методом, приведены к системе из двух алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными. Процедура решения задачи следующая:

1-й шаг. Для решения симплекс-методом выберем в качестве базисных переменных (БП) x₂ и x₄, так как определитель, составленный из коэффициентов при этих переменных в ограничениях задачи отличен от нуля.

Тогда x₁ и x₃ будут небазисными переменными (НП). Выразим базисные переменные и F(x) через небазисные.

На каждом шаге решения задачи симплекс-методом НП приравниваются к нулю, следовательно, БП и F(x) будут равны свободным членам в соответствующих выражениях:

Это решение соответствует координатам вершины A ОДЗП на рис. 1. Оптимальность решения проверяется по выражению F(x) для функции цели. Переменная x₃ входит в это выражение с отрицательным коэффициентом; если вводить x₃ в базис на следующем шаге, то она примет положительное значение, и от числа 24 некоторая величина будет вычитаться, т.е. значение F(x) уменьшится. Если же вводить в базис на следующем шаге x₁, то значение функции цели увеличится, т.е. улучшится.

Применяя симплекс-метод, из базиса исключают ту переменную, которая раньше обратится в нуль при введении в базис x₁. Анализируя (3) и (5), определяем, что из базиса следует исключить x₄. На следующем шаге местами поменяются переменные x₁ и x₄.

2-й шаг симплекс-метода. x₁ и x₂ – базисные переменные, x₃ и x₄ – небазисные. Выразим базисные переменные и F(x) через небазисные переменные. Из (5) следует

Рис. 1. Графическая интерпритация к примеру 1, используя симплекс-метод.

Подставив (7) в (3), получим

Таким образом, применяя симплекс-метод, нашли, что максимальная производительность участка 36 тыс. ед. продукции за смену будет обеспечена при закупке 2 ед. оборудования первого вида и 5 ед. оборудования второго вида. Дополнительные переменные x₃ и x₄ имеют смысл неиспользованных ресурсов. В данном примере все ресурсы по площади и по стоимости использованы полностью (x₃ = x₄ = 0).

Источник

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Базисные переменные

Базисные переменные обеих задач выражены через соответствующие небазисные переменные. [1]

Базисные переменные всегда положительны. Принятие этого предположения невырожденности весьма целесообразно, так как при этом т наибольших компонент х могут быть приняты за базисные. [2]

Базисные переменные для условий (9.14) будут представлены в специальном виде, в котором переменные и всегда будут в числе базисных, тогда как переменные х и К могут входить в число базисных и выходить из них. Вводится также предположение невырожденности, требующее, чтобы все базисные переменные были отличны от нуля. Так как размер таблицы равен ( т п) X ( 2п т), то алгоритм всегда будет вырабатывать п т ненулевых базисных переменных. Согласно предположению невырожденности никакая нулевая переменная не может входить в число базисных. [3]

Базисные переменные будут разделены, если мы сможем заменить матрицу В единичной матрицей. [4]

Выразим базисные переменные через свободную переменную, для чего умножим первое ограничительное уравнение на 22 / 012 и вычтем второе ограничительное уравнение. [6]

Поскольку базисные переменные хг и х2 имеют ненулевые коэффициенты в г-строке, эту строку следует преобразовать. [7]

Если положить базисные переменные равными числам из 0-го столбца, то получим допустимое решение. [8]

Последовательно приравнивая базисные переменные нулю, получим уравнения прямых. [9]

Тогда можно выразить базисные переменные через оставшиеся и свести решение задачи к задаче меньшей размерности, в которой принимают участие лишь небазисные переменные. [10]

Следовательно, две базисные переменные можно выразить линейно через другие две свободные. [11]

В таком ее виде базисные переменные легко спутать с другими и поэтому первый шаг заключается в том, чтобы оставить по одной базисной переменной в каждой строке, после чего станет легко принимать решения. Тогда первые т столбцов матрицы Л образуют квадратную матрицу В ( базисную матрицу для этого угла) и оставшиеся п столбцов дают матрицу F размера тхп. Основной момент состоит в том, что в этом углу xF0 и уравнение Ах Ь превращается в Вхв Ь, откуда находятся базисные переменные хв. Таким образом, стоимость равняется сх свхв. [12]

Все методы ограничений на базисные переменные согласуются с принципами, которые лежат в основе этих правил, хотя, конечно, возможны многочисленные вариации и другие изменения моделей. [13]

Условие ( б) утверждает, что базисные переменные исключены из целевой функции. Условие ( в) означает, что в этой форме постоянные члены уравнений неотрицательны. [15]

Источник

Основы линейного программирования

Задача линейного программирования

Переменные задачи часто записывают в виде n-мерного вектора:
.

Система ограничений (1.2) может состоять из равенств
,
и неравенств обоих знаков:
, или
.

В системе ограничений особо выделяют ограничения, связанные с не отрицательностью некоторых переменных (1.3), которые являются следствием физических свойств величин, описываемых этими переменными.

Различные формы задач ЛП

Теорема
Любую общую задачу линейного программирования (1.1) – (1.3) можно привести к каноническому виду (1.4). А любую задачу в канонической форме можно привести к любой из задач в симметричной форме (1.5) или (1.6).

При таких преобразованиях переменные задач могут не совпадать. Могут вводиться новые переменные, а также переменные одной из задач могут линейно выражаться через переменные той же задачи, записанной в другой форме.

Дополнительная переменная (вспомогательная переменная) – это переменная, которая вводится для преобразования неравенства в равенство. Дополнительную переменную также называют вспомогательной переменной. Например, неравенство

переводится в равенство, введением дополнительной неотрицательной переменной :
.

Графический метод решения

Свойства решений задач линейного программирования (ЛП) наглядно демонстрирует графический метод решения.

Решение задачи линейного программирования графическим методом.

Графическим методом можно решить задачу, если она имеет две переменные, или ее можно привести к задаче с двумя переменными.

Свойства решений задач ЛП

Далее приводим более строгую трактовку этих рассуждений.

Теорема о выпуклости ОДР
Область допустимых решений задачи линейного программирования является выпуклым множеством.

Теорема об оптимальном решении
Если задача линейного программирования имеет единственное решение, то оптимальный план является угловой точкой ОДР. Если существует несколько оптимальных планов, то в него входят две или более угловых точек, и любая выпуклая линейная комбинация этих угловых точек также является оптимальным планом. То есть задача имеет бесконечно много решений.

Выпуклое множество Возьмем две произвольные точки, принадлежащие некоторому множеству. Если все точки отрезка, соединяющего эти точки, принадлежат этому множеству, то такое множество называется выпуклым. Угловая (крайняя) точка выпуклого множества – это точка, через которую нельзя провести отрезок так, чтобы она была внутренней точкой отрезка, концы которого принадлежат множеству. Угловую точку также называют крайней точкой. Опорный план – это план (допустимое решение), который является угловой точкой (вершиной многогранника) области допустимых решений.

Поскольку в задачах линейного программирования система ограничений содержит конечное число неравенств, то ОДР является многогранником. Тогда угловые точки ОДР являются вершинами многогранника.

Лемма
Оптимальный план задачи линейного программирования является опорным планом, и может быть выбран из совокупности ее опорных планов.

Теорема
Угловая точка ОДР (1.2) – (1.3) является решением системы из n уравнений, полученной из (1.2) – (1.3), вычеркиванием части неравенств, и заменой оставшихся неравенств равенствами.

Задачи линейного программирования в канонической форме

Выше мы указали, что оптимальный план является угловой точкой ОДР. Но угловая точка получается из системы ограничений, заменой части неравенств равенствами, чтобы в результате получилась система из n линейно независимых уравнений. Решая эту систему, можно найти координаты угловой точки.

Если в рассматриваемой угловой точке план не вырожден, то в ней имеется только один набор базисных переменных. Если же план вырожден, то в этой точке имеется два или более набора базисных переменных.

Теорема о числе базисных переменных
При решении задачи линейного программирования в канонической форме ⇑, в любом опорном плане имеется r базисных переменных ⇑. Отсюда следует, что в опорном плане как минимум переменных равны нулю. Здесь n – число переменных; r – ранг матрицы системы ограничений (1.4), из которой определяются значения базисных переменных.

Методы решения задач

Графический метод

Метод перебора вершин

В этом методе мы используем тот факт, что оптимальный план является угловой точкой ОДР. А если задача имеет множество решений, то среди них имеются угловые точки.

В методе перебора вершин мы находим все угловые точки, и вычисляем в них значения целевой функции. Далее, из этих значений, определяем наибольшее или наименьшее значение целевой функции.

Решение задачи

Но мы применим более общий метод, который работает при любом числе переменных, а не только для двух.

В этой задаче переменных. Система ограничений (П.2) содержит 3 линейно независимых уравнения. Поэтому в произвольной угловой точке имеется свободные переменные, и 3 базисные. Перебираем все возможные сочетания свободных переменных, приравниваем их к нулю, и, решая систему (П.2), определяем значения базисных переменных.

Итак, мы нашли все угловые точки ОДР. Находим в них значения целевой функции.
;
;
;
;
.

Симплексный метод

Для решения задачи симплексным методом, сначала задачу приводят к канонической форме. Далее выбирают любой опорный план с некоторым набором базисных переменных. Потом определяют свободную переменную, которую нужно включить в базис, чтобы при такой замене произошло наибольшее увеличение целевой функции. Определяют переменную, выходящую из базиса и с помощью линейных преобразований, совершают переход к новым базисным переменным. В результате получают новый план, значение целевой функции которого ближе к экстремальному. Процесс повторяют до тех пор, пока целевая функция не достигнет экстремального значения.

В геометрической интерпретации это означает следующее.
1. Вначале мы выбираем любую вершину многогранника ОДР.
2. Добавляя в базис новую переменную, выбираем направление до смежной вершины вдоль ребра многогранника, двигаясь по которому целевая функция наиболее быстро возрастает.
3. Переходим на новую вершину по выбранному в пункте 2 направлению, исключая из базиса одну из переменных.
4. Повторяем пункты 2 и 3, пока не достигнем экстремума.

Решение задачи

4. Повторяем шаги 2 и 3.

6. Повторяем шаги 4 и 5.

Транспортная задача

Транспортную задачу можно решить симплексным методом. Однако имеются методы, которые позволяют получить решение другими, как правило, более легкими способами, используя специфичный вид системы ограничений (Т.2) – (Т.3). Одним из таких методов является метод потенциалов. В нем, как и в симплексном методе ⇑, используется метод последовательного улучшения плана. Мы кратко рассмотрим применение этого метода на примере решения простой транспортной задачи.

Решение транспортной задачи методом потенциалов

Вначале нужно подсчитать суммы мощностей поставщиков и потребителей. Если сумма мощностей поставщиков равна сумме мощностей потребителей, то такая задача называется задачей с правильным балансом, или задачей с закрытой моделью. Задача, в которой суммы мощностей поставщиков и потребителей не совпадают, называется задачей с неправильным балансом, или задачей с открытой моделью. Если у задачи открытая модель, то ее сначала нужно привести к закрытой модели, добавлением фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями перевозок. В нашем случае, сумма мощностей поставщиков равна сумме мощностей потребителей:
.
Модель закрытая, задачу можно решать методом потенциалов.

Задача имеет неотрицательных переменных:
.

Применяем метод последовательного улучшения плана.

Метод северо-западного угла

1. Вначале нам нужно найти любой опорный план, удовлетворяющий системе ограничений (Т.6) и условию не отрицательности переменных. Существует несколько методов, позволяющих это сделать. Мы применим метод северо-западного угла.

Теперь нам нужно вычеркнуть либо первую строку, либо первый столбец. В нашем случае, как первый поставщик, так и первый потребитель исчерпали свои мощности. Однако вычеркнуть мы можем только одну строку или один столбец. Вместе их вычеркнуть нельзя. Вычеркиваем по своему усмотрению первую строку.

Заполняем верхнюю левую ячейку предыдущей таблицы, и вычеркиваем первый столбец.

Первый опорный план.

Определение потенциалов

Находим оценки свободных клеток (то есть оценки свободных переменных) по формуле:
.

.

Переход к новому базису

Чтобы перейти к новому базису, в симплексном методе, мы выполняли линейные преобразования над системой ограничений. В транспортной задаче переход выполняется с помощью цикла.

Цикл с начальной вершиной в заданной пустой клетке – это ломаная, все вершины которой расположены в занятых клетках, кроме одной начальной вершины. И при этом две соседние вершины цикла расположены или в одной строке, или в одном столбце. Потенциалы и контур клетки (1,3).

Второй опорный план.

Определение потенциалов нового плана

Находим оценки свободных клеток по формуле:
.

.

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Использованная литература:
С. Гасс. Линейное программирование (методы и приложения). Москва, «Государственное издательство физико-математической литературы», 1961.
Общий курс высшей математики для экономистов. Под общей редакцией В. И. Ермакова. Москва, «ИНФРА-М», 2007.
К. Н. Лунгу. Линейное программирование. Руководство к решению задач. Москва, «ФИЗМАТЛИТ», 2005.
Д. Б. Юдин, Е. Г. Гольштейн. Задачи и методы линейного программирования. Москва, «Советское радио», 1961.

Источник