бином ньютона что значит выражение

Бином Ньютона

Смотреть что такое «Бином Ньютона» в других словарях:

бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго

БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 … Научно-технический энциклопедический словарь

Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… … Словарь крылатых слов и выражений

бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка

БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… … Словарь иностранных слов русского языка

Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия

Источник

Бином ньютона что значит выражение

Бином Ньютона

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена ( a + b ) n в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» ( a + b )2 и «куба суммы» ( a + b )3,но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности, которые я рассматриваю в своей работе.

3. История бинома Ньютона

5. Свойства разложения бинома Ньютона

6. Решение задач с применением бинома Ньютона

8. Список используемой литературы

Изучить бином Ньютона и его свойства

Показать применение данных свойств при решении задач

Показать применение бинома Ньютона при решении технических задач

История бинома Ньютона

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

Что означает фразеологизм «Бином Ньютона»?

Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.

Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».

Тут уж буфетчик возмутился.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.

В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:

Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.

В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова:

«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

Позже это же выражение «Подумаешь, бином Ньютона!». упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.

Роман Е. Н. Вильмонт получил название «Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!».

Рассмотрим произведения двух, трех и четырех биномов (двучленов) вида х-<- а. После умножения и приведения подобных членов по х получим

Рассматривая эти произведения, легко заметить, что произведение биномов, отличающихся только вторыми членами, есть многочлен, упорядоченный по убывающим степеням первого члена х, степень которого равна числу перемножаемых биномов. Коэффициент первого члена многочлена равен 1, а последующие образуются так: второй коэффициент равен сумме всех вторых членов биномов, третий — сумме всевозможных произведений вторых членов по два, четвертый — сумме всевозможных произведений вторых членов по три и т. д. 11оследний член многочлена равен произведению всех вторых членов биномов.

Методом математической индукции можно доказать, что правило образования произведения биномов, отличающихся только вторыми членами, установленное из рассмотрения произведений двух, трех II четырех биномов, верно для произведения любого конечного числа биномов.

Для произведения n биномов справедлива формула:

Эта формула верна и в том случае, если вторые члены равны между собой.

(x+a) n =x n +C 1 _n ax n-1 +…+C k _n a k x n-k +…+C n-1 _n a n-1 x+a n

Свойства разложения бинома Ньютона

1) Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени бинома.

2) Все члены разложения имеют одну и ту же степень n относительно первого и второго членов бинома, т. е. разложение есть однородный многочлен, причем показатели первого члена убывают от n до 0, а показатели второго члена возрастают от 0 до п.

5) Из свойств 1 и 4 следует, что если показатель бинома четный, то в разложении бинома средний член имеет наибольший биномиальный коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.

6) Последующий биномиальный коэффициент разложения равен предыдущему, умноженному на показатель первого члена бинома и предыдущем члене и деленному на число предыдущих членов

Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 п , где п — показатель бинома.

Если в формуле бинома Ньютона положить х = а = 1, то получим

Если в формуле бинома Ньютона заменить а на -а, то получим

Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Для определения биномиальных коэффициентов удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля или арифметическим треугольником. Это треугольная таблица биномиальных коэффициентов, составленная так, что каждый ее элемент равен сумме двух над ним стоящих.

Решение задач с применением бинома Ньютона

Возведите в степень: (2t + 3/t)4.

Решение У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

Пример 5 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:

Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

Решение технических задач

Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P = apn 2 _s D 4 N = bpn 3 _s D 5

Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.

откуда ∆ T = T ₁[1- 1/(1+∆ Q / Q ₁) 9 ]= T ₁[1-1/1+9∆ Q / Q ₁+36(∆ Q / Q ₁) 2 +82(∆ Q / Q ₁) 3 +126(∆ Q / Q ₁) 4 +126(∆ Q / Q ₁) 5 +82(∆ Q / Q ₁) 6 +36(∆ Q / Q ₁) 7 +9(∆ Q / Q ₁) 8 +(∆ Q / Q ₁) 9 ]

Если ∆ Q / Q ₁ Q / Q ₁ выше первой очень малы. В Этом случае ∆ T ≈ T ₁(1-1/1+9∆ Q / Q ₁)= 9 T ₁ *∆ Q / Q ₁ /1+9∆ Q / Q ₁

Газ сжимается в сосуде, стенки которого хорошо проводят тепло. При этом абсолютная температура и давление газа связаны следующим уравнением:

где п= 1,2—показатель политропы; р₁ и р₂ — соответственно давления первого и второго состояния; T ₁и T ₂— соответственно абсолютные температуры первого и второго состояния.

Температура в сосуде измеряется посредством помещенной в нем термопары. Пусть во втором состоянии при сжатии температура получила небольшое приращение ∆ t = 5° против первого состояния. Определить, какое приращение получило при этом давление. Температура Т₁ = 300° и давление р₁ = 2 кГ/см 2 — первого состояния известны.

Подставляя значения T ₂и p ₂ в формулу, получаем:

откуда ∆ T = T ₁[1- 1/(1+∆ Q / Q ₁) 9 ]= T ₁[1-1/1+9∆ Q / Q ₁+36(∆ Q / Q ₁) 2 +82(∆ Q / Q ₁) 3 +126(∆ Q / Q ₁) 4 +126(∆ Q / Q ₁) 5 +82(∆ Q / Q ₁) 6 +36(∆ Q / Q ₁) 7 +9(∆ Q / Q ₁) 8 +(∆ Q / Q ₁) 9 ]

Если ∆ Q / Q ₁ Q / Q ₁ выше первой очень малы. В Этом случае ∆ T ≈ T ₁(1-1/1+9∆ Q / Q ₁)= 9 T ₁ *∆ Q / Q ₁ /1+9∆ Q / Q ₁

где Q —вес поднимаемого груза; k = 1,02 — коэффициент сопротивления блока; n — число ветвей полиспаста. Вывести упрощенную формулу для вычисления Р и, применив ее, определить Р, если Q = 1500 кГ и п = 5.

Заметим, что 0.02 2 =0.0004; 0.02 3 =0.000008 и т.д.

Видно, что члены разложения по формуле Ньютона быстро убывают. Для практики достаточно учесть первые 3 числа разложения, пренебрегая следующими. Тогда получаем:

Для нас получаем : P =1.02 5 *1500/5[1+(5-1)*0.01]≈ 318 кГ

При изучении математики решение задач играет огромную роль. И не только потому,что необходимо выработать умение применять полученные знания на практике (а ведь это одна из основных целей изучения математики в школе). Без решения задач нельзя владеть и теорией. Именно в процессе решения задач математические понятия, аксиомы и теоремы, формулы и правила, геометрические фигуры предстают перед нами в самых разнообразных ракурсах, не в застывшем виде, а в движении, в различных связях и взаимозависимостях, которые отображают диалектику самой действительности. Подобно тому, как грамматическими правилами можно овладеть лишь в процессе живой языковой практики, так и математическую теорему, определение, формулу можно усвоить по-настоящему, научиться применять на практике только в процессе решения задач.

1. А.Б. Шкарин, А.М. Федянов, Б.Г. Сандлер «алгебраические задачи в технике»

2. А.П. Савин «Энциклопедический словарь»

3. Г.И. Глейзер «История математики в школе»

4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции»

Источник

Что значит выражение «Просто, как бином Ньютона?»

Все знают это выражение. А задумывались ли вы об этом? Кто, на самом деле знает, что это такое?

И сколько в этой простоте знаков?)))

. 1 7 21 35 35 21 7 1

. 1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 136 136 84 36 9 1

а) Сила тяжести, действующая на айсберг, компенсируется силой Архимеда.

б) Сила тяжести, действующая на камень, компенсируется суммой силы Архимеда и веса камня; Сила, действующая на камень со стороны течения компенсируется силой трения покоя.

в) Сила двигателя компенсируется силой трения. Сила тяжести компенсируется силой Архимеда.

Ньютон проводил и астрономические исследования, то есть изучал движение планет. На этой основе и вывел закон гравитации. Его основные работы были по механике, но он сделал и замечательные открытия и в оптике (корпускулярная теория, явление дисперсии). Кроме этого он производил и экономические исследования, а также был смотрителем монетного двора. Вообще научные работы Ньютона столь значительны, что привели к революционным изменениям во всех науках. Например в философии, так возник диалектический материализм, новые представления о роли человека в познании, о Вселенной (возникновение и эволюция).

Эту историю о яблоке, упавшем с дерева на голову Ньютона придумал старый английский перекупщик и старьёвщик, сильно разбогатевший на написании биографии Ньютона, Уильям Стьюкли. Именно он написал эту историю.

А весь мир узнал об этой легенде благодаря французскому просветителю, писателю и поэту Франсуа Мари Аруэ о котором мы говорим сейчас как о Вольтере. Который повторил подобную фразу в «Рассуждении о гербах».

Исаак Ньютон был основателем «Универсальной арифметики» и «Числительного анализа» и если бы он играл на бирже, то обязательно обыграл бы любую биржу.

Но был в жизни Исаака Ньютона и один досадный промах.

В 1711 году в Англии, британским казначеем и аферистом Робертом Харли, было создано акционерное общество «Компания Южных морей» по типу российской финансовой пирамиды «МММ». Эта компания обещала своим акционерам эксклюзивное право на продажу всех товаров, которые завозились в Англию со всех территорий испаноговорящей части Южной Америки. Вложил свои деньги в эту компанию и Исаак Ньютон в 1720 году когда курс акций этой компании начал быстро расти. А в сентябре 1720 года, «Компания Южных морей» объявила себя банкротом.

По словам сестры Исаака Ньютона, последний тогда потерял 20 000 фунтов стерлингов серебром. Тогда, к этой афере с «Компанией Южных морей» были причастны многие члены правительства.

Об этой истории написаны две всемирно известные книги:

Полную версию этой аферы вы можете почитать вот на этом сайте.

Источник

Бином Ньютона

В художественной литературе бином Ньютона часто упоминается, когда речь идет о чем-либо сложном. Автор этой формулы — великий физик и математик Исаак Ньютон. Дело не только в том, что формула кажется сложной. Изучение ее то включали в программу средней школы, то выводили за рамки основного курса, но в серьезных вузах экзаменаторы спрашивали и продолжают спрашивать о биноме Ньютона.

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы квадрата суммы, но при увеличении показателя степени возникают трудности с определением коэффициентов при членах многочлена. Чтобы не совершить ошибку, можно применять формулу бинома Ньютона:

Левое число — степень n, справа — значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

Все очень просто и запоминается на всю жизнь. Кстати, самостоятельно вспомнить и вывести формулу бинома Ньютона, нарисовав треугольник Паскаля, тоже намного проще.

Ряд историков науки приписывают Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел ее несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.

Источник

Ньютона бином

Полезное

Смотреть что такое «Ньютона бином» в других словарях:

НЬЮТОНА БИНОМ — формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают или : Частными случаями бинома Ньютона при n=2 и n=3 … Большой Энциклопедический словарь

Ньютона бином — формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами; их обозначают ): Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и… … Энциклопедический словарь

НЬЮТОНА БИНОМ — название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664 1665: Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n положительное целое… … Энциклопедия Кольера

НЬЮТОНА БИНОМ — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена в многочлен, расположенный по степеням одного из слагаемых двучлена: где биномиальные коэффициенты. Для пслагаемых формула (*) принимает вид При произвольном показателе т,… … Математическая энциклопедия

НЬЮТОНА БИНОМ — ф ла, выражающая целую положит. степень суммы двух слагаемых (двучлена, бинома) через степени этих слагаемых; Частными случаями Н. б. при п = 2 и п = 3 являются ф лы квадрата и куба суммы двух слагаемых х и у … Большой энциклопедический политехнический словарь

БИНОМ — (от би. и лат. nomen имя) то же, что двучлен. О биноме вида (x+y)n см. в ст. Ньютона бином … Большой Энциклопедический словарь

бином — а; м. [от лат. bis дважды и греч. nomē часть, доля] Матем. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность двух одночленов; двучлен. * * * бином (от би. и лат. nomen имя), то же, что двучлен. О биноме вида (х + y)n см. Ньютона… … Энциклопедический словарь

Бином — (от би (См. Би. ). и лат. nomen имя) двучлен, сумма или разность двух алгебраических выражений, называемых членами Б.; например a + b, и т.д. О степенях Б., то есть выражениях вида (х + у) n, см. Ньютона бином … Большая советская энциклопедия

Источник