Что такое комплексная переменная

04.06.202210.06.2022 admin 0 Comments

Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу Комплексные числа для чайников. Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка. Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…

Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Найти действительную и мнимую часть функции

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что .

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Рекомендую переписать в тетрадь две рабочие формулы:

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

2) Проверим выполнение условий Коши-Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные:

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?

Производную можно найти по формуле:

В данном случае:

Таким образом

Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:

Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно

Зеркальная формула для нахождения производной:

В данном случае: , поэтому:

Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.

Усложним наши функции:

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить

Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:

Определим действительную и мнимую часть данной функции:

Внимание и еще раз внимание!

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Проверка второго условия:

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:

Вычислим значение производной в требуемой точке:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .

Решение и образец чистового оформления в конце урока.

В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.

Сначала о так называемых формулах Эйлера:

Формулы Эйлера

Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую часть функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку , то:

(1) Подставляем вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Частные производные опять не очень сложные, но на всякий пожарный расписал их максимально подробно. Проверяем второе условие:

Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

На вторую формулу Эйлера задание для самостоятельного решения:

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана, найти производную.

Полное решение и ответ в конце урока.
! Внимание! Знак «минус» в формуле Эйлера относится к мнимой части, то есть . Терять минус нельзя!

Непосредственно из формул Эйлера можно вывести формулу разложения синуса и косинуса на действительную и мнимую часть. Сам вывод достаточно занудный, вот он, кстати, у меня в учебнике перед глазами (Бохан, Математический анализ, том 2). Поэтому сразу приведу готовый результат, который опять полезно переписать к себе в справочник:

Параметры «альфа» и «бета» принимают только действительные значения, в том числе они могут быть сложными выражениями, функциями действительной переменной.

Кроме того, в формуле нарисовались гиперболические функции, при дифференцировании они превращаются друг в друга, не случайно я включил их в таблицу производных.

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку , то:

1) Подставляем вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу , при этом .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса: и нечётность гиперболического синуса: . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Определить действительную и мнимую часть функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников. Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :

Вот и всё, а вы боялись:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Повторюсь в третий раз – не теряем минус у мнимой части.

Проверим выполнения условий Коши-Римана. Надо сказать, частные производные здесь не то чтобы о-го-го, но уже не из простейших:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.

В качестве эпилога короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами. А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».

Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?». Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба.

Неплохо разгрузились, до встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? Там разобрана обратная задача.

Иногда очевидное – это самое сложное, всем желаю не тормозить!

Пример 2: Решение: так как , то:

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.

Пример 4: Решение: Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условие выполнено.

Условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Пример 6: Решение: определим действительную и мнимую часть данной функции.
Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Пример 8: Решение: Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:

Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,

Пример 10: Решение: Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.