Что такое критерий устойчивости

Что такое критерий устойчивости

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Источник

Критерии устойчивости

Критерий Гурвица. Проверка устойчивости по Гурвицу сводится к вычислению n определителей, которые составляются по следующему правилу:

По этому критерию система будет устойчивой, если все определители положительные.

Критерий Михайлова. Если в характеристическом уравнении системы заменим оператор p на jw, получим функцию комплексного переменного

, 6.8)

которая в комплексной плоскости определяет вектор

. (6.9)

Этот вектор имеет следующее свойство. При изменении w от 0 до этот вектор будет поворачиваться около начала координат против часовой стрелки, меняя одновременно и свою длину. При этом конец вектора описывает кривую со следующими свойствами: кривая начинается на вещественной оси при в точке с координатой и заканчивается в n-ом квадранте при , если отчет квадрантов вести против часовой стрелки. Этот вектор называют годографом Михайлова.

Согласно этому критерию линейная система n-го порядка будет устойчива, если годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит n квадрантов, а в последнем квадранте уходит в бесконечность. Если годограф проходит через 0, то система находится на границе устойчивости.

На рис. 6.3,а изображены годографы устойчивых систем с характеристическими уравнениями до пятой степени включительно. А на рис. 6.3,б приведены годографы неустойчивых систем.

Критерий Найквиста. Этот критерий позволяет определить устойчивость системы по ее амплитудно-фазовым характеристикам, которые могут быть заданы как в аналитической форме, так и в виде опытных кривых. Особенностью критерия является то, что оценка устойчивости системы делается по характеристикам ее разомкнутого состояния. Это оказывается возможным благодаря однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением этой системы в замкнутом состоянии.

Исследуемая система размыкается в любой точке, и аналитически или экспериментально определяется ее АФХ. Эта характеристика представляется комплексным уравнением . Устойчивость замкнутой системы определяется так:

1) если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы характеристика не охватывала точку с координатами (-1, j0);

2) если разомкнутая система имеет m корней с положительной вещественной частью, то замкнутая система будет устойчивой только в том случае, если характеристика охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении раз.

Физическое объяснение этих условий можно дать с помощью рис. 6.4. Пусть при некоторой частоте система, находится на границе устойчивости. Это означает, что АФХ разомкнутой системы при этой частоте проходит через точку(-1, j0). Это означает также, что на данной частоте амплитуда выходного сигнала равна амплитуде входного сигнала, и они находятся в противофазе. Значит в замкнутой системе сигнал с выхода по цепи отрицательной обратной связи поступит на вход и будет точно равен по амплитуде и фазе входному сигналу. Если такую систему отключить от входного сигнала, ее состояние не изменится. В системе установятся незатухающие колебания, которые будут поддерживаться не за счет источника входного сигнала (он теперь отключен), а за счет энергии самой системы.

Если АФХ при частоте пересекает вещественную ось слева от точки (-1, j0), то есть охватывает эту точку, то амплитуда выходного сигнала на данной частоте больше входного и находится в противофазе. При замыкании системы амплитуда выходных колебаний будет возрастать, то есть система будет неустойчивой.

Если АФХ при частоте пересекает вещественную ось справа от точки

(-1, j0), то есть не охватывает ее, то амплитуда выходного сигнала на данной частоте меньше входного и находится в противофазе. В этом случае при замыкании системы амплитуда выходных колебаний будет затухать, то есть система будет устойчивой.

6.5. Определение областей устойчивости. D – разбиение

Постановка задачи.Выше были рассмотрены принципы исследования системы на устойчивость при условии, что все ее параметры уже заданы. Но часто при проектировании и наладке автоматических систем предоставляется свобода в выборе некоторых ее параметров. При этом представляет интерес такая технология выбора параметров, при которой обеспечивался бы необходимый запас устойчивости. Эта задача решается посредством выделения областей устойчивости в плоскости выбираемых параметров. Поясним физический смысл этих областей.

Положим, что автоматическая система имеет характеристическое уравнение

. (6.10)

Допустим сначала, что все коэффициенты, кроме одного, например, a₁, в этом уравнении заданы. Будем изменять этот коэффициент от 0 до Ґ и следить за расположением корней в комплексной плоскости. Каждое значение а₁на рис. 6.5,а отметим точкой, причем жирную точку ставим, когда при данном a₁ корни расположены слева от мнимой оси (система устойчива) и обычную точку когда расположение корней соответствует неустойчивой системе. Понятно, что ось значений a₁будет разбита на отрезки. Стыки этих отрезков есть границы устойчивости.

Положим теперь, что в уравнении (6.10) изменяются два коэффициента, например, и , а остальные остаются неизменными. Тогда вся плоскость будет разбита на области устойчивости и неустойчивости. (На рис.6.5,б области устойчивости заштрихованы.) Выделяя в уравнении (6.10) три, четыре или большее количество свободных коэффициентов, будем получать области устойчивости соответственно в виде объемного пространства или гиперпространств. Разбиение пространства коэффициентов на области устойчивости называется D-разбиением.

Обычно в практических задачах почти все параметры системы конструктивно заданы, и свобода выбора остается за одним или двумя параметрами. Поэтому задача выделения областей устойчивости практически сводится к построению границы в плоскости одного или двух параметров.

Алгоритм D-разбиенийоснован на использовании годографа Михайлова, который соответствует границе устойчивости, то есть годограф проходящий через начало координат.

D-разбиение по одному параметру.Представим характеристическое уравнение системы в виде

, (6.11)

. 6.12)

Кривая, построенная в системе координат Р(w), jQ(w) при различных значениях w, будет представлять границу D-разбиений. Область устойчивости находится слева от кривой, если двигаться по ней от значений к значению . Границу области устойчивости обычно отмечают штриховкой.

Так как параметр b является вещественным числом, то нас интересует отрезок только вещественной оси, попадающий в область устойчивости. Все значения параметра, определяемые координатами этого отрезка на оси абсцисс, окаймлённого штриховкой, будут соответствовать устойчивому состоянию системы.

Пример 6.1. Рассмотрим систему регулирования с характеристическим уравнением

.

Решим характеристическое уравнение относительно b

и заменим в нем р на jw

.

D-разбиение по двум параметрам.Представим характеристическое уравнение системы в виде

, (6.13)

где a и b – свободные параметры системы. Заменим в уравнении р на jw и введем обозначения

(6.14)

Разделив (6.13) на вещественную и мнимую части, получим

.

Решение этих уравнений даст интересующие нас параметры

, , (6.15)

где .

Если D ни при каких значениях w не обращается в нуль, то в плоскости a,b получаем кривую, являющуюся границей области устойчивости. Если D при каком-либо значении w обращается в нуль, то это может соответствовать двум случаям:

1) при D=0 числители выражений (6.15) не обращаются в нули; в этом случае переход D через нуль может произойти только в бесконечно удалённой точке плоскости a,b;

2) при D=0 числители выражений (6.15) также обращаются в нули; в этом случае получается соотношение

,

т.е. уравнения (6.15) отличаются друг от друга только постоянным множителем С, и одно уравнение является следствием другого. В этом случае для a и b получается бесконечная совокупность точек, лежащих на одной прямой:

Эта прямая, называется особой, она может пересекать границу области устойчивости или проходить через её начало. Точки особой прямой называются исключительными и в большинстве случаев соответствуют значениям w=0 и w=Ґ. Особая прямая, соответствующая обращению корня в нуль, определяется из условия равенства нулю свободного члена характеристического уравнения, а соответствующая обращению в бесконечность – при приравнивании к нулю коэффициента при старшей степени характеристического уравнения.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Что такое критерий устойчивости

Чтобы линейная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вещественные корни и вещественные части комплексных корней были отрицательными.

Устойчивость является одним из главных требований к автоматическим системам регулирования (АСР). Если система не способна восстановить равновесное состояние, нарушенное в процессе работы, то она непригодна для практического использования. После того, как вычислены передаточная функция объекта и параметры настройки регулятора, необходимо определить, устойчива система или нет. Для проверки можно использовать как необходимое и достаточное условие устойчивости, приведенное выше, либо критерии устойчивости. Далее рассмотрим три таких критерия:
— критерий Рауса – Гурвица;
— критерий Михайлова;
— критерий Найквиста – Михайлова.

7.2. Критерии устойчивости

Использование для проверки устойчивости системы необходимого и достаточного условия устойчивости связано с решением характеристического уравнения, что может представлять трудности в случае систем высокого порядка, а если рассматривается замкнутая система с запаздыванием, то и вовсе невозможно. Значительно проще можно выполнить проверку устойчивости с помощью специальных критериев.

Критерий Рауса – Гурвица

Критерий Рауса – Гурвица позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Впервые критерий устойчивости был предложен в 1875 году английским математиком Раусом в виде таблицы. В 1895 году швейцарский математик Гурвиц опубликовал критерий устойчивости в виде определителей. Так как оба этих критерия приводят к одним и тем же алгебраическим неравенствам и отличаются только способом их получения, указанные критерии объединяют, называя критерием Рауса – Гурвица.
Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

Пример 1. Характеристическое уравнение имеет вид

Δ 3 вычислять не нужно, т.к. уже второй определитель оказался отрицательным.

Пример 2. Характеристическое уравнение имеет вид

Критерий Михайлова

В 1936 году советским ученым А.В.Михайловым был предложен критерий устойчивости, основанный на взаимосвязи между характером переходных процессов, возникающих при нарушении равновесия системы и амплитудной и фазовой вынужденных колебаний, установившихся в системе под воздействием гармонически изменяющейся входной величины. Анализ устойчивости в соответствии с критерием Михайлова сводится к построению по характеристическому уравнению системы графика, носящего название годограф Михайлова, по виду которого можно судить о состоянии системы (устойчива она или нет).
Годограф строится следующим образом. Пусть характеристическое уравнение имеет вид (7.5).
Обозначим через F(p) многочлен, стоящий в левой части этого уравнения:

Рис. 7.3. Примеры годографов Михайлова для различных систем

Рис. 7.4. Построение годографа Михайлова в Mathcad:

а – для значений ω = 0…120; б – для значений ω = 0…1600

Критерий Найквиста – Михайлова

Критерии Рауса – Гурвица и Михайлова не подходят для замкнутых систем с запаздыванием, так как в их характеристическое уравнение входит экспонента. В 1932 году американский ученый Найквист предложил критерий для исследования устойчивости усилителей с обратной связью. В 1938 году Михайлов обобщил и распространил его на системы автоматического регулирования. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы с отрицательной обратной связью (в том числе, автоматической системы регулирования, АСР) по амплитудно-фазовой характеристике (АФХ) разомкнутой системы.
Любая АСР, как система с обратной связью, является замкнутой. Изменение сигнала на входе какого-нибудь элемента (объекта, регулятора) сказывается на выходных сигналах всех других элементов. Они также изменяются в соответствии со своими динамическими свойствами. Если же нарушить связь между какими-либо двумя элементами, например между чувствительным элементом и элементом сравнения (разорвать обратную связь), то система из замкнутой превратится в разомкнутую.
Рассмотрим разомкнутую систему, состоящую из последовательно соединенных регулятора и объекта регулирования (рис. 7.5).

Если обозначить через W об(p) передаточную функцию объекта, а через W p(p) – передаточную функцию регулятора, передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будут иметь вид:

Подадим от генератора синусоидальных колебаний на вход разомкнутой системы сигнал xвх с частотой ω и амплитудой A вх. Спустя некоторое время на выходе также установятся синусоидальные колебания xвых с той же частотой, амплитудой A вых и сдвигом фазы φ. Предположим, что при некотором значении частоты сдвиг фазы оказался равен +π или –π, а амплитуды колебаний на входе и на выходе оказались равны между собой:

Данное состояние разомкнутой системы соответствует такой точке ее АФХ, которая находится на единичном расстоянии от начала координат (модуль АФХ M раз(ω) = A вых/A вх = 1) с углом π от вещественной положительной полуоси (аргумент АФХ φ раз(ω) = ±π). На комплексной плоскости эта точка имеет координаты (–1, 0i).
Теперь отключим генератор колебаний от входа системы и одновременно замкнем отрицательную обратную связь, как это показано на рис. 7.6. В результате мы получим замкнутую систему, представляющую собой одноконтурную АСР.

Рис. 7.6. Замкнутая и разомкнутая системы

В результате получим замкнутую систему, в которой будут наблюдаться незатухающие колебания с постоянной амплитудой, а, как мы знаем, это характерно для систем, находящихся на границе устойчивости (см. рис. 7.2,е в разделе 7.1). Таким образом, прохождение графика АФХ разомкнутой системы через точку (–1, 0i) свидетельствует о нахождении соответствующей замкнутой системы на границе устойчивости.
Теперь рассмотрим второй случай. Предположим, в ходе того же самого опыта на выходе разомкнутой системы установились колебания с тем же сдвигом фазы π, но с меньшей амплитудой:

Это состояние соответствует точке АФХ разомкнутой системы, лежащей на вещественной оси правее точки (–1, 0i) (M раз(ω) = A вых/A вх раз(ω) = ±π).
После отключения генератора колебаний и замыкания отрицательной обратной связи на вход W раз(iω) поступит сигнал с меньшей амплитудой, чем создавал генератор. Пройдя через регулятор и объект, этот сигнал снова будет несколько ослаблен (так как M раз(ω) раз(iω) с еще меньшей амплитудой, и это будет повторяться снова и снова. Таким образом, в данном случае с течением времени амплитуда колебаний в замкнутой системе будет непрерывно уменьшаться, стремясь к нулю, т.е. будет наблюдаться затухающий процесс, что, как известно, характерно для устойчивых систем (рис. 7.2,г).
В третьем возможном случае на выходе разомкнутой системы установятся колебания со сдвигом фазы π и большей амплитудой, нежели входные колебания:

Рис. 7.7. Примеры АФХ для различных разомкнутых систем

Источник