Что такое лестница эшера
Что делает невозможную фигуру невозможной?
Jun 27 · 4 min read
Невозможные фигуры образуются линиями, соединенными между собой самым противоречивым образом, с искажением перспективы. При зрительном восприятии таких изображений возникает эффект оптической иллюзии, запредельной реальности. Предлагаю вашему вниманию небольшую коллекцию из этих причудливых фигур.
Треугольник Пенроуза
Автором треугольника Пенроуза, или невозможного треугольника (трибара Пенроуза), является шведский художник Оскар Реутерсвард. Свое знаменитое изображение, принесшее ему славу “отца невозможных фигур”, он создал в 18 лет совершенно случайно. Это произошло в 1934 году на уроке латыни, на котором гимназист Оскар Реутерсвард занимался разрисовыванием учебника.
Внимание широкой публи к и треугольник Реутерсварда привлек в 1950-х годах, когда психиатр Лайонел Пенроуз и его сын сэр Роджер Пенроуз — впоследствии выдающийся математик, лауреат Нобелевской премии — признали “абсолютную невозможность” этой фигуры. В 1958 году в Британском журнале психологии они опубликовали статью “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Кроме того, объекты невозможных геометрических форм были представлены в работах голландского художника-графика М. К. Эшера.
В Викисловаре треугольник Пенроуза определяется как “оптическая иллюзия, возникающая при взгляде на невозможный монолитный объект, состоящий из трех прямолинейных брусков квадратного сечения, которые встречаются попарно под прямым углом в вершинах образуемого ими треугольника”.
Из этого описания следует, что линии невозможной фигуры соединены каким-то неправдоподобным образом. Подобные формы могут существовать только вопреки законам евклидовой геометрии.
При рассмотрении этого рисунка может показаться, что правая сторона треугольника удаляется от вас, в то время как левая приближается. Тем не менее, они соединены одним и тем же прямоугольным бруском и находятся в одной плоскости.
В 1854 году Пенроуз посетил лекцию Эшера и был настолько восхищен его магической геометрией, что начал сам придумывать невообразимые конструкции. Одна из них вдохновила Эшера на создание знаменитой литографии “Водопад”.
В рамках той же концепции была создана еще одна невероятная фигура, известная как Невозможный / Иррациональный куб.
Ребра куба кажутся находящимися одновременно впереди и позади, что невозможно с точки зрения геометрии.
Лестница Пенроуза
Лестница Пенроуза — это каскад ступеней, бесконечно ведущих вверх или вниз. Первое впечатление от конструкции приводит в замешательство, в голове возникает вопрос: “Как такое может быть?”. Но стоит вам изменить угол зрения и внимательнее присмотреться к фигуре, как иллюзия исчезает.
Упомянутая выше статья Пенроуза также содержала описание созданной им невозможной лестницы. По словам ученого, эта структура “воспринимается как лестничный пролет, но связи между ее частями таковы, что картина в целом выглядит противоречиво”.
Два года спустя, в 1960 году, в литографии “Восхождение и нисхождение” Эшер запечатлел собственный образ невозможной лестницы. Произошло это под влиянием статьи Пенроуза, в которой тот признавался, что на создание невозможной лестницы его мотивировало творчество Эшера. Получив от Пенроуза копию этой публикации, художник, в свою очередь, выразил ему свое почтение:
“Несколько месяцев назад один мой друг прислал мне фотокопию вашей статьи… Ваши фигуры 3 и 4, “непрерывный лестничный пролет”, поразили меня своей новизной и настолько впечатлили, что в конце концов вдохновили на создание новой картины, которую я хотел бы послать вам в знак моего уважения”.
Примечательно, что изображение невозможной лестницы впервые было создано Оскаром Реутерсвардом в 1937 году, однако ни Пенроуз, ни Эшер ничего не знали об этом
Лестница Пенроуза — это абсолютно невозможная конструкция: визуально поднимаясь или спускаясь по ней, вы останетесь на том же уровне, в каком бы направлении ни двигались — по часовой стрелке (вниз) или против (вверх).
Идея бесконечной лестницы Пенроуза была использована в научно-фантастическом триллере “Начало” (2010) режиссера Кристофера Нолана. Никуда не приводящий лестничный пролет появляется и в боевике “Мстители” (1998).
Более того, в апреле 2014 года была выпущена видеоигра Monument Valley (“Долина монументов”). Ее разработчик — Ustwo Games — впечатлил пользователей множеством оптических иллюзий и невозможных фигур.
Невозможные фигуры выявляют бесконечную одержимость своих творцов всем непостижимым. Но не только в этом их притягательная сила. Они словно говорят нам: “Не верь глазам своим”. Вглядываясь в них, мы понимаем, как легко поддаемся иллюзиям восприятия и как сильно оно отличается от впечатлений других людей, наблюдающих то же самое.
Бесконечная лестница Пенроуза
В мире полно необычных лестниц, но все они, как правило, вписываются в законы физики. Но есть и небольшое исключение из правил – лестница Пенроуза. Если ознакомиться с объектом бегло, то может показаться что это самое обычное архитектурное сооружение. Но, рассматривая фигуру, станет понятно, что все гораздо сложнее и глаза, даже с орлиным зрением, могут ошибаться.
Принцип устройства сооружения
Широким массам стало известно о такой фигуре в 1958 году, когда в британской периодике по психологии опубликовали схему лестницы Пенроуза. Придумана невозможная конструкция отцом и сыном Пенроузами. То, как устроена лестница Пенроуза, поражает воображение. Суть такова, что человек по ней при подъеме или спуске, двигаясь в одном направлении и преодолевая четыре пролета, попадает в исходную точку.
На изображении видно, как происходит движение. Однако если оценить критически увиденное, то станет очевидно, что такого на самом деле быть не может. Лестница Пенроуза в реальности существовать не может, а в формате чертежа на бумаге вполне. Здесь наблюдается оптическая иллюзия.
Тайна бесконечности
Секрет бесконечной лестницы Пенроуза кроется в правильном угле наблюдения за объектом. Сразу станет понятно, что в правом угле имеется едва заметный разрыв. В результате конструкция теряет вид лестницы, которая позволяет осуществлять бесконечный подъем или спуск.
Заблуждение происходит из-за неправильной адаптации мозгом полученной от изображения информации. Он не замечает противоречий в соединении элементов конструкции и ошибочно воспринимает все как единое целое. Неправильное восприятие в результате становится оптической иллюзией. Главная хитрость – создание обманчивого представления о предмете.
На сегодняшний день эта фигура одна из самых популярных среди утопических. Ей пользуются в своей профессиональной деятельности психологи, философы, иллюзионисты.
В живописи появилось самостоятельное направление «Импоссибилизм». Его представители как раз занимаются рисованием чего-то подобного, отсутствующего в реальности, но так похожего на настоящее.
Лестница без начала и конца – правда или быль?
Не стоит ломать голову, как сделать лестницу Пенроуза. Это невозможно, но лестница, которая не имеет начала и конца, на самом деле существует. Расположено это творение в немецком Мюнхене в одном из офисных зданий. Посмотреть на сооружение можно, не выходя из дома в голливудском фильме 2010 года «Начало» Леонардо Ди Каприо.
В основе задумки создания такой конструкции архитектора Олафура Элиассона лежит все та же лестница Пенроуза. Достопримечательность можно посмотреть всем желающим в будний день.
Чтоб не ограничивать туристов, желающих увидеть необычное творение, временем работы здания, логичнее было бы установить конструкцию где-нибудь на улицах города. Конечно, встал бы закономерный вопрос, из какого материала возвести лестницу, чтобы она служила долго, требовала минимальных вложений в поддержание ее состояния, но сегодня есть решение. ООО «Инноформа» свою деятельность сосредоточила на создании идеального уличного покрытия для ступеней и у нее получилось.
Монолитные накладки С3 прекрасно бы выдержали уличные условия и были бы привлекательны долгое время. Более того, материал очень податлив в работе, поэтому даже такой шедевр получилось бы собрать без проблем. Как итог вышла бы бесконечная лестница, поражающая ум, из материала под стать.
Невозможные лестницы
Интересным развитием идеи эшеровской лестницы является замкнутый водяной каскад неизвестного японского художника:
В плане лестница Эшера имеет форму неравностороннего четырехугольника без намеков на какие либо виды симметрии. Автор статьи поставил себе задачу развивать тему невозможных замкнутых лестниц не придумыванием новых сюжетов или обстановки, а поиском ее новых форм с проявлениями большей симметрии и разработкой новых методов их построения. Насколько это удалось, судить читателям.
Для рисования невозможных лестниц типа A не требуется особой изобретательности и для этого всего лишь необходимо интегрировать между собой ее самую верхнюю и самую нижние ступени из всей их совокупности. Интегрировать можно непосредственным образом или через промежуточный элемент типа горизонтальной лестничной площадки, как показано на Фиг. 192:
На Фиг. 193 изображена двухпролетная замкнутая лестница на башне с двумя интегрирующими пролеты площадками:
А вот так эшеровская лестница может смотреться сверху в одноточечной перспективе:
Степень ее симметрии явно выше, чем у ее аналога.
Также в одноточечной перспективе изображена двухпролетная невозможная лестница с интегрирующими площадками:
Парадоксальная лестница не обязательно должна быть замкнутой и это показано на Фиг. 196, где для восхождения или спуска, соответствующих одному этажу здания требуется два лестничных пролета. Но на рисунке 6 лестничных пролетов обеспечивают восхождение посетителя на уровень четвертого этажа:
Количество ступеней у замкнутой лестницы может варьироваться в широких пределах, начиная с трех:
В невозможной замкнутой лестнице не обязательно присутствие соединяющих пролеты площадок, а сама лестница может быть многоугольной в плане:
Алгоритм графического построения такой лестницы существенно отличается от способа построения лестницы Эшера и наглядно проиллюстрирован на Фиг. 199:
Следует отметить еще одну пока редкую разновидность замкнутых лестниц типа А. На Фиг. XXIII представлена картина художника Эндрю Джадда (Andrew Judd) с круглой в плане замкнутой лестницей, которая построена «на глазок», по этой причине ее ступени больше походят на зубья торцевой кольцевой фрезы с наклонными задними поверхностями:
Другую попытку изобразить аналогичную лестницу с помощью компьютера предпринял художник Gilles Esposito-Farese:
Эффект правдоподобия лестницы увеличен за счет большого количества ступеней и небольшим разворотом вертикальных уступов между ступенями относительно диаметральных плоскостей.
Базируясь на идее двух предыдущих рисунков, автор вознамерился построить более реальное изображение круглой в плане лестницы, у которой окружные кромки всех ее ступеней являлись бы, как и положено в изометрии, участками эллипсов с одинаковым соотношением больших и малых полуосей:
Алгоритм последовательного построения ступеней этой лестницы несколько подобен алгоритму построения многоугольной лестницы на Фиг. 199. Читатели могут заметить некоторую скрытую симметрию изображения относительно горизонтальной оси. Автор при построении попытался обеспечить визуальную одинаковость угловых размеров ступеней в плане, однако это пришлось сделать «на глазок», т.к. пока не представляется, как эту визуальную одинаковость нарисованных в изометрии криволинейных фрагментов выполнить строгими геометрическими построениями. Классическое разделение изображенного в изометрии круга на одинаковые по углам участки при построении замкнутой и круглой в плане лестницы не приводит к приемлемому результату. Ступени даже более простой для построения шестиугольной в плане лестницы на Фиг. 199 визуально неодинаковы и по форме и по размерам. Появившаяся сравнительно недавно такая невозможная однопролетная лестница, как на фотомонтаже Риккардо Баигоррии (Ricardo Baigorria) поражает своими свойствами, а степень ее абсурдности явно выше, чем у лестницы Эшера:
Никакое воображение не позволит представить форму этой лестницы в плане. Если человек, поднимающийся (или спускающийся) по замкнутой лестнице Эшера оказывается на исходной ступени после трех поворотов направо (или налево), что вполне естественно при путешествии по замкнутой прямоугольной траектории, то человек на лестнице Баигоррии оказывается в исходном месте после одного поворота направо и одного поворота налево! Двухпролетную невозможную лестницу с подобными свойствами нарисовал Анатолий Коненко:
Но за самую высокую степень абсурдности может побороться однопролетная лестница, придуманная Джанни Сарконе (Gianni Sarcone) и изображенная на Фиг. XXVII. Двигаясь по ступеням такой лестницы в одном и том же направлении можно и подниматься и спускаться по ней!
На Фиг. 201 представлена подобная по свойствам однопролетная лестница и ее генезис из возможной (реальной) двухпролетной лестницы:
Дополнительное изящество лестницам, подобным вышеуказанным, могут придать их дугообразные в плане ступени:
На этих двух абсурдных лестницах заканчиваются примеры лестниц, относящихся к НО типа A.
Невозможная лестница на Фиг. 204 по своим геометрическим особенностям подобна культовому сооружению на Фиг. 086 и, следовательно, относится к НО типа B:
Двухкратной степенью парадоксальности по сравнению с лестницей Эшера обладает также замкнутая в плане лестница типа B, изображенная на Фиг. 205:
Лестниц типа B, подобных той, которая изображена на Фиг. 206 придумано немало и объединяет их то, что вертикальные уступы между ступенями в одной зоне рисунка незаметно превращаются в горизонтальные поверхности ступеней в другой:
Идея, заложенная в НО на Фиг. 075 получила свое развитие в невозможных лестницах типа B, представленных на Фиг. 207 – 209. Необходимо отметить, что такие лестницы могут присутствовать только на рисунках, выполненных в двухточечной перспективе:
Ступени невозможных лестниц типа Е могут дематериализовываться также, как поверхности и грани чертовой вилки:
На Фиг. 211 по аналогии с кубами Тьерри объединились две круглые башни с внешними винтовыми лестницами. По этой причине эти сросшиеся лестницы следует отнести к НО типа D:
В двухточечной перспективе на Фиг. 212 изображена однопролетная лестница, соединяющая два соприкасающихся мира, не только отличающихся противоположными векторами вертикалей, но и разнесенных друг относительно друга по времени. Так же, как и на Фиг. 186 – 188, материальные структуры – стены башен неуловимо превращаются в нематериальный фон – дневное и ночное небо. Рисунок можно было бы назвать «Лестница времени».
Поливертикальные лестничные экстерьеры различных видов невозможности и их комбинаций представлены на Фиг. 213 и Фиг. 214:
На ранее описанной микропланете с ощутимой силой тяжести можно построить и такую необычную лестницу, как на Фиг. 215:
Такое геометрическое понятие, как «форма в плане» к этой лестнице принципиально не применимо. А поверхности ее ступеней, как отмечалось ранее, должны быть фрагментами концентрических сфер.
После публикации первой части статьи в поле зрения автора случайно попали два рисунка с невозможными лестницами, потребовавшие их обязательного упоминания во второй части:
Описание вариантов невозможных лестниц заканчивается на бесконечной винтовой лестнице, изображенной на Фиг. 217. А для того, чтобы оперативно разобраться в ее конфигурации, служит предыдущий рисунок (Фиг. 216), на котором просматривается в плане круглая кирпичная башня с внутренней винтовой лестницей. Невозможность бесконечной винтовой лестницы и не пространственная и не геометрическая. Высота ее превышает поперечник нашей вселенной в бесконечное число раз, невозможны такие силы гравитации, которые она позволяет преодолевать при восхождении. Нарисовать такую лестницу целиком принципиально невозможно, т.к. у лестницы нет ни начала, ни конца, в ней бесконечное количество ступеней, можно довольствоваться только приближенным изображением ее половины. Проекция бесконечной винтовой лестницы на плоскость рисунка представляет собой спиралевидную фрактальную фигуру.
«Непрерывная лестница» была впервые представлена в статье Пенроуза, написанной в 1959 году на основе так называемого «треугольника Пенроуза», опубликованного Роджером Пенроузом в British Journal of Psychology в 1958 году. Затем М.С. Эшер обнаружил лестницу Пенроуза в в следующем году и в марте 1960 года сделал свою ставшую знаменитой литографию Klimmen en dalen ( Восходящий и нисходящий ). В том же году Пенроуз и Эшер были проинформированы о работах друг друга. Эшер развил эту тему в своей печати Waterval ( Водопад ), появившейся в 1961 году.
В своей первоначальной статье Пенроуз отметил, что «каждая часть конструкции приемлема как представляющая лестничный пролет, но связи таковы, что картина в целом непоследовательна: ступени непрерывно спускаются по часовой стрелке».
СОДЕРЖАНИЕ
История открытия
Пенроуз
Эшер в 1950-х годах еще не рисовал невозможных фигур и не знал об их существовании. Роджер Пенроуз познакомился с работой Эшера на Международном конгрессе математиков в Амстердаме в 1954 году. Он был «совершенно очарован» работой Эшера, и по пути обратно в Англию он решил создать что-то «невозможное» самостоятельно. После экспериментов с различными конструкциями стержней, перекрывающих друг друга, он наконец пришел к невозможному треугольнику. Роджер показал свои рисунки отцу, который сразу же создал несколько вариантов, в том числе невозможный лестничный пролет. Они хотели опубликовать свои выводы, но не знали, к какой области принадлежит тема. Поскольку Лайонел Пенроуз знал редактора British Journal of Psychology и убедил его опубликовать их короткую рукопись, открытие было наконец представлено как психологическая тема. После публикации в 1958 году Пенроузы послали копию статьи Эшеру в знак своего уважения.
В то время как Пенроузы ссылались на Эшера в своей статье, Эшер отметил в письме своему сыну в январе 1960 года, что он был:
работает над дизайном новой картины, на которой изображен лестничный пролет, по которому можно только подниматься или спускаться, в зависимости от того, как вы его видели. [Лестница] образует замкнутую круглую конструкцию, похожую на змею, кусающую собственный хвост. И все же их можно нарисовать в правильной перспективе: каждая ступенька выше (или ниже) предыдущей. [. ] Я обнаружил этот принцип в присланной мне статье, в которой я сам был назван создателем различных «невозможных объектов». Но я не был знаком с непрерывными шагами, которые автор включил в четкий, хотя и поверхностный, набросок, хотя я использовал некоторые из его других примеров.
Эшер был очарован бесконечной лестницей и впоследствии написал письмо Пенроузам в апреле 1960 года:
На конференции Эшера в Риме в 1985 году Роджер Пенроуз сказал, что он был очень вдохновлен работой Эшера, когда он и его отец открыли как структуру племени Пенроуза (то есть треугольник Пенроуза), так и непрерывные ступени.
Оскар Реутерсвард
Эшерианская лестница
В популярной культуре
Пенроуза лестница
Что такое ступени Пенроуза?
Ступени Пенроуза, или по-другому — «вечная лестница», «бесконечная лестница», «непрерывное восхождение» — одна из самых знаменитых базовых невозможных фигур.
Что такое ступени Пенроуза
Их необычная конструкция, которая не имеет ни конца, ни края, была придумана биологом Лейонелем Пенроузом и его сыном-математиком Роджером Пенроузом.
Впервые модель была опубликована в 1958 г., после чего идея бесконечной лестницы получила большую популярность, стала классической невозможной фигурой, а ее основная концепция нашла применение в живописи, архитектуре, психологии. Модель ступеней Пенроуза обрела самую большую популярность по сравнению с остальными нереальными фигурами в сфере компьютерных игр, головоломках, оптических иллюзиях.
«Вверх по ступеням, ведущим вниз» — так можно охарактеризовать лестницу Пенроуза. Идея этой конструкции заключается в том, что при движении по часовой стрелке ступени ведут все время вверх, а в обратном — вниз. При этом «вечная лестница» состоит всего из четырех пролетов.
А значит, всего через четыре лестничных марша путник оказывается там же, откуда начал движение.
Соответственно, спускаться или подниматься по ступеням Пенроуза можно бесконечно. Многие находят в этом скрытый глубинный смысл, поэтому вечная лестница крайне популярна в психологии и философии.
Что представляют собой ступени Пенроуза
Главный ключ к разгадке парадокса кроется в понимании явления оптических иллюзий. Известно, что оптические иллюзии — это не что иное, как ошибка в визуальном восприятии.
Невозможный треугольник Пенроуза.
Рассматривая необычный объект, формы которого не вкладываются в стандартное понимание реальности, мозг адаптирует полученную информацию и формирует ощущение целостности там, где ее нет. Другими словами, создает иллюзию.
Характерной чертой всех невозможных фигур является то, что, на первый взгляд, они похожи на обычные объекты, однако при более детальном рассмотрении видны противоречия в соединениях элементов.
Парадокс заключается в том, что невозможные фигуры кажутся нереальными, однако это заблуждение. Невозможные фигуры могут существовать, ведь любой объект, изображенный на бумаге, можно спроектировать в трехмерном пространстве.
Ключевой нюанс в точке обзора: с одного ракурса невозможная фигура будет выглядеть нереально, с другого — этот эффект будет утерян, фигура визуально приобретет более понятные и привычные формы.
В модели лестницы Пенроуза с целью создания визуальной перспективы использован прием крайней асимметрии: два марша состоят из трех ступеней, а другие два — из семи.
Секрет модели расположен в районе правого угла, где должен происходить разрыв лестницы, однако благодаря удачному ракурсу и особенности проектирования ступеней эта точка невидима, что создает знаменитую иллюзию бесконечности ступеней Пенроуза.
Публикация информации с моделью ступеней Пенроуза стала толчком к развитию в живописи направления импоссибилизма и популяризации картин в стиле имп-арта. Это направление искусства основано на изображении невозможных фигур. Изображения в стиле имп-арт выглядят парадоксально, вызывают интерес и желание их расшифровать, поэтому есть опыт применения таких картин во врачебной практике в целях отвлечения пациента от неприятных медицинских процедур.
Идеи невозможных фигур также вдохновляют многих специалистов в сфере архитектуры на необычные конструкции, будоражащие воображение обывателей. Каждому креативному творцу хочется прикоснуться к нереальному и изменить стандартный образ мыслей, выйти за рамки возможного. Так идея бесконечности ступеней Пенроуза стала прообразом знаменитой лестницы «Перезагрузка» в Мюнхене.
Конструкция представляет собой девятиметровую металлическую спиралевидную лестницу с замкнутыми краями, ходить по ступеням которой можно бесконечное количество раз.
Сооружение не несет никакой практической пользы, однако меняет представление о пространстве, является воплощением нереальности в реальность и напоминанием о том, что все невозможное возможно.
Что такое ступени Пенроуза?
Ступени Пенроуза, или по-другому – «вечная лестница», «бесконечная лестница», «непрерывное восхождение» – одна из самых знаменитых базовых невозможных фигур.
На вершину спуска
Лестница Пенроуза — одна из самых больших загадок-иллюзий нашего времени
Невозможная бесконечная лестница
Одной из, пожалуй, самых известных фигур является лестница Пенроуза. Лайонел и Роджер Пенроузы не открыли эту удивительную модель, но разработали её образец, если можно так выразиться, проект, отображённый на бумаге, воплотив в жизнь идею Оскара Рутерсварда. Являясь одной из пространственно-математических загадок, лестница, выдуманная Пенроузами и Рутерсвардом, до сих пор будоражит умы, заставляя нестандартно мыслящих людей снова и снова пытаться открывать новые грани этого феномена на практике. Модель была впервые опубликована в известном журнале в середине двадцатого века и в скором времени завоевала сердца людей. Ее упоминание можно найти в различных головоломках, играх и даже учебниках психологии. Воздействие подобных загадок на разум человека может быть непредсказуемо.
Кто-то, увидев лестницу без начала и конца, просто восхитится мощью человеческой мысли, кто-то ощутит озарение и создаст шедевр, а кому-то такое просвещение будет только во вред и отрицательно скажется на эмоционально-психологическом состоянии, вызвав помрачение рассудка.
В чем же заключается идея самой лестницы?
Идея проста. При движении объекта по часовой стрелке будет происходить постоянный подъем вверх, а при перемещении в другую сторону – спуск. Самое необычное в том, что после определенного времени движения, объект окажется в той же точке, с которой и начинал путь.
Водопад Эшера — еще одна сложная загадка для пытливых умов
Некоторые люди видят в этом сооружении глубокий философский подтекст, выражающийся в бесконечных попытках убежать от предначертанной судьбы. Нельзя отрицать чужие желания внести подтекст в математические загадки, тем более что чем больше изучаешь математику, тем пристальнее наблюдаешь её связь с философией. Строгие и красивые функции заставляют людей задуматься о вечности и смысле жизни.
Лестница без начала и конца – вымысел или реальность?
Всё дело в стереотипическом мышлении и нашей готовности обмануться.
В некоторых местах гор Тибета есть аномальные, по слухам, участки, где вода, если пролить её на скалу течёт вверх – это тот же эффект. Мы видим характерную форму ступеней или разломов породы и готовы, несмотря на их небольшой наклон поверить, что поднимаемся хотя на самом деле передвигаемся в горизонтальной плоскости, а иногда и спускаемся вниз.
Есть ли другие фигуры, поражающие человеческое воображение?
Кроме лестницы, спроектированной Пенроузами и многократно повторяемой в рисунках и даже реальных моделях, есть ещё некоторое количество фигур, которые, как кажется на первый взгляд, не имеют права на существование в реальном мире.
Лестница Пенроуза впечатлила одного немецкого художника, по которой он создал эту лестницу
Вот примеры таких фигур:
Далеко не все из них можно также изящно воплотить в жизнь, как бесконечную лестницу, но надежда ещё не потеряна, может быть, гениальное решение задачи находится где-то рядом.
Надеемся, что предоставленная информация была интересна и познавательна. Если вы знаете о невозможных фигурах что-нибудь кроме вышеописанного – милости просим в обсуждение. А вдруг вы именно тот человек, который раскрыл очередную математическую загадку?
На вершину спуска
Лестница Пенроуза действительно покоряет воображение, ведь бесконечная конструкция по-любому заставляет задуматься каждого. Но как сделана эта лестница?
Лестница в вечность
Существует ли бесконечная лестница? Вообще, существует ли что-нибудь без конца, кроме Вселенной? Все, сделанное руками человека, имеет свои контуры, или габариты, или размеры. Но художник из Швеции Оскар Рутерсвард открыл одну так называемую «невозможную фигуру», которую в 1958 году разработали и придали ей форму бесконечной лестницы отец и сын Пенроузы. Сэр Лайонел Пенроуз – математик с мировым именем, профессор, член Лондонского королевского общества. За заслуги в области науки ему был присвоен рыцарский титул.
Рожденные гением художника
Впервые изобразил эту чудо-конструкцию еще один художник – Морис Корнелис Эшер (Голландия). Он увлекался различными изобретениями и бороздил мир в поисках необычных вещей, которые затем изображал на своих полотнах. Невозможная лестница Пенроуза запечатлена в известной литографии Эшера, которая называется «Восхождение и спуск». На полотне изображен некий таинственный монастырь, а на его крыше стоит невозможная лестница. Работы Эшера нашли особенную популярность среди математиков, потому что на них часто можно встретить различные инженерные и математические объекты, в реальности невозможные: вечный двигатель, невозможный кубик, невозможный треугольник и другие фигуры.
Примечание:
Невозможные фигуры – это вещи или предметы, которые нельзя представить и воссоздать в трехмерном изображении.
На фото выше изображен трезубец (или двузубец?). Сколько не вглядывайся в рисунок, не определить, где начинается средний зубец и как он прикреплен к основанию. Фигуру, подобную этой, можно изобразить только на плоскости, то есть в двухмерном пространстве. А в трехмерной проекции ее уже не сделать. Это и есть невозможные фигуры, столь любимые математиками. Говорят, что изображения таких вещей вывешивают в психиатрических лечебницах. Пациенты подолгу стоят перед ними, пытаясь осмыслить и разгадать секрет устройства предмета.
«Вверх по лестнице, ведущей вниз»
Вернемся к нашей лестнице Пенроуза. В чем идея этой конструкции? При движении по лестнице по часовой стрелке человек постоянно поднимается, а при движении в обратную сторону – непрерывно спускается. Всего в макете лестницы четыре пролета. Самое удивительное в том, что начав путь по лестнице и пройдя все четыре марша, человек оказывается в той же точке, откуда начал восхождение. Прогулку по невозможной лестнице можно продолжать бесконечно, снова и снова оказываясь в начале пути. Есть в этом некий философский смысл, намекающий на тщетность наших попыток уйти от судьбы.
Подобное сооружение кажется невозможным в реальной жизни, однако макет лестницы Пенроуза создан и он вполне реален. На картинке можно проследить направление ступенек всех четырех маршей, и они на самом деле идут непрерывным ритмом в одну сторону.
Мячик на лестнице: двойная иллюзия
Не так давно был снят небольшой фильм-зарисовка «Бесконечная лестница». В нем мячик бесконечно катится по ступеням лестницы Пенроуза. С каждым подпрыгиванием мяча звучит одна нота. Мяч катится по часовой стрелке, значит вверх. И ноты играются тоже по восхождению, но в пределах одной октавы. Это невероятно, но наш мозг воспринимает семь нот одной октавы как бесконечное повышение на один тон!
На самом деле, когда кончается октава, наступает маленькая пауза и гамма начинает играть снова, но уже на октаву ниже. И это тоже невероятно, но человеческое ухо в данном случае не воспринимает это понижение тональности. Так что это фильм — двойная оптическая и слуховая иллюзия.
Существует очень много невозможных в реальности фигур, которые могут существовать лишь в плоскости листа бумаги. На первый взгляд в таких фигурах все гармонично, на второй взгляд мы замечаем некоторые несоответствия, а при пристальном рассмотрении мы видим такие искажения перспективы и форм, каких просто не может быть в природе. Невозможные фигуры буквально взрывают мозг, который отказывается принимать как данность эти формы. Многие ученые и просто любители необычного пытаются построить в трехмерном изображении подобные фигуры, но в большинстве случаев у них получаются обычные предметы, которые кажутся невозможными лишь в определенном ракурсе. На фото выше – треугольник Пенроуза в реальности, он установлен в австралийском городе Перт. На картинке слева – невозможная фигура, а справа вы видите иной ракурс. На нем видно, что это всего лишь не слишком привлекательная и непонятная геометрическая фигура.
Лестница в вечность
Лестница в вечность Существует ли бесконечная лестница? Вообще, существует ли что-нибудь без конца, кроме Вселенной? Все, сделанное руками человека, имеет свои контуры, или габариты, или размеры.
LiveInternetLiveInternet
–Рубрики
–Музыка
–Поиск по дневнику
–Подписка по e-mail
–Постоянные читатели
Графические иллюзии – 7: Невозможные и перевёрнутые фигуры. Парейдолика
Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта,
при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.
Невозможные фигуры
Наиболее известные невозможные фигуры: невозможный треугольник, бесконечная лестница и невозможный трезубец.
Невозможный треугольник Перроуза
Иллюзия Рейтерсварда (Reutersvard, 1934)
Обратите внимание также и на то, что изменение организации “фигура-фон” сделало возможным восприятие расположенной в центре “звезды”.
_________
На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.
13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия). Здесь невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме — в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами.
Чёртова вилка
Среди всех невозможных фигур особое место занимает невозможный трезубец («чертова вилка»).
Если закрыть рукой правую часть трезубца, то мы увидим вполне реальную картину – три круглых зуба. Если закрыть нижнюю часть трезубца, то мы тоже увидим реальную картину – два прямоугольных зубца. Но, если рассматривать всю фигуру целиком, то получается что три круглых зубца постепенно превращаются в два прямоугольных.
Таким образом, можно увидеть, что передний и задний планы данного рисунка конфликтуют. То есть, то что было изначально на переднем плане уходит назад, а задний план (средний зуб) вылезает вперед. Кроме смены переднего и заднего планов в данном рисунке присутствует еще один эффект – плоские грани правой части трезубца становятся круглыми в левой.
Эффект невозможности достигается за счет того, что наш мозг анализирует контур фигуры и пытается подсчитать количество зубцов. Мозг сравнивает количество зубцов фигуры в левой и правой части рисунка, из-за чего возникает ощущение невозможности фигуры. Если количество зубцов у фигуры было значительно больше (например, 7 или 8), то этот парадокс был бы менее ярко выражен.
Некоторые книги утверждают, что невозможный трезубец принадлежит к классу невозможных фигур, которые не могут быть воссозданы в реальном мире. На самом деле это не так. ВСЕ невозможные фигуры можно увидеть в реальном мире, но невозможными они будут выглядеть только с одной единственной точки зрения.
Невозможный слон
Сколько ног у слона?
Другими словами, перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам в самом деле пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом!
С тех пор как Пенроузы опубликовали эту фигуру, она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. “Бесконечную лестницу” можно встретить в книгах об играх, головоломках, иллюзиях, в учебниках по психологии и другим предметам.
Пенроуза лестница
Невозможная фигура &,mdash, один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся …