Что такое линейное множество
Линейные множества
Непустое подмножество M(Ē) пространства E n называется (вещественным) линейным подпространством(рис. 2.4), если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
1) Если вектора xи y принадлежат M, тоx+y также принадлежит M.
2)Если произвольный вектор x принадлежит M, то lx при любом вещественном значении числа l также принадлежит M.
Рис. 2.4. Подпространство и линейное многообразие
Если максимальное число линейно независимых векторов, которые можно найти в M, равно r, то говорят, что M – r-мерное подпространство. Само пространство E n можно рассмотреть как n– мерное пространство.
Гиперплоскостьюв E n называется множество точек x, удовлетворяющих уравнению
Обычно приставку гиперупотребляют для обозначения пространств, имеющих более чем три измерения. Гиперплоскость = 0 содержит начало координат и является объединением всех прямых, которые проходят через начало координат и направляющие векторы которых ортогональны а,т.е. гиперплоскость есть множество точек, принадлежащим этим прямым
Гиперплоскость задает два замкнутых полупространства (рис. 2.5)
а также два открытых пространства
Н + ab = <xÎE n | > b>, Н + ab = <xÎE n | + ab (рис. 2.5). Гиперплоскость Нab и соответствующие полупространства могут быть записаны с помощью некоторой фиксированной точки 
ÎНab. При любом вещественном числе b уравнение = b определяет линейное многообразие. Если задан некоторый вектор x 0 ÎE n такой, что 0 > = b, то линейное многообразие, определяемое уравнением = b, можно рассматривать как смещение Нab на x0
Любую гиперплоскость в E n можно задать в виде множества решений уравнения (2.1), подобрав соответствующим образом вектор a и число b.
Любую прямую в E n можно задать в виде
<xÎE n | x= a+lc, lÎE> (2.2)
Отрезком,соединяющим две данные точки x1, x2 в E n называется множество таких точек, координаты xj которых связаны с координатами x1 и x2 соотношениями вида
Конкретный выбор l определяет положениеx на отрезке (при l = 1 точка xсовпадает с x1, при l = 0 – с x2, при 0
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Линейное множество
Линейные множества часто называют векторными пространствами. [4]
Линейное множество Л называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого сомножителя в отдельности. [5]
Конечномерное линейное множество Х0 в нормированном пространстве X замкнуто. [6]
Иногда линейное множество функций со скалярным произведением, удовлетворяющим указанным свойствам, называют функциональным гильбертовым пространством. Векторы состояний квантовых систем образуют функциональное гильбертово пространство. [7]
Рассмотрим линейное множество R всех действительных функций, заданных на всей действительной прямой. [11]
Замыкание линейного множества Х0 в пространстве X есть линейное множество. [12]
Два линейных множества X и У называются изоморфными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения и умножения на число. При изоморфизме линейных множеств ноль переходит в ноль. Изоморфные линейные множества могут отличаться природой самих элементов. Однако все соотношения, полученные между элементами одного линейного множества посредством операций сложения и умножения на число, будут справедливы и для любого другого линейного множества, изоморфного первому. [13]
В бесконечномерном линейном множестве Е существуют счетные линейно независимые системы элементов. В самом деле, любой элемент хг Э образует линейно независимую систему, состоящую из одного элемента. [14]
Линейные пространства: определение и примеры
Аксиомы линейного пространства
1. Аксиомы 1-4 показывают, что линейное пространство является коммутативной группой относительно операции сложения.
2. Аксиомы 5 и 6 определяют дистрибутивность операции умножения вектора на число по отношению к операции сложения векторов (аксиома 5) или к операции сложения чисел (аксиома 6). Аксиома 7, иногда называемая законом ассоциативности умножения на число, выражает связь двух разных операций: умножения вектора на число и умножения чисел. Свойство, определяемое аксиомой 8, называется унитарностью операции умножения вектора на число.
3. Линейное пространство — это непустое множество, так как обязательно содержит нулевой вектор.
4. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Следствия аксиом линейного пространства
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой вектор.
6. В выражениях вида (сумма конечного числа векторов) или (произведение вектора на конечное число множителей) можно расставлять скобки в любом порядке, либо вообще не указывать.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Примеры линейных пространств
2. Обозначим — множества векторов (направленных отрезков) на прямой, на плоскости, в пространстве соответственно с обычными операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Выполнение аксиом 1-8 линейного пространства следует из курса элементарной геометрии. Следовательно, множества являются вещественными линейными пространствами. Вместо свободных векторов можно рассмотреть соответствующие множества радиус-векторов. Например, множество векторов на плоскости, имеющих общее начало, т.е. отложенных от одной фиксированной точки плоскости, является вещественным линейным пространством. Множество радиус-векторов единичной длины не образует линейное пространство, так как для любого из этих векторов сумма не принадлежит рассматриваемому множеству.
5. Обозначим — множество матриц размеров с операциями сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество является линейным пространством.
Множество многочленов степени не является линейным пространством, так как сумма таких многочленов может оказаться многочленом меньшей степени, не принадлежащим рассматриваемому множеству. Множество всех многочленов степени не выше, чем л, с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку при умножении такого многочлена на отрицательное число получим многочлен, не принадлежащий этому множеству.
Все аксиомы выполняются. Следовательно, рассматриваемое множество является вещественным линейным пространством.
Линейные операции над линейными функциями задаются также, как в пункте 8 примеров линейных пространств. Сумма и произведение определяются равенствами:
Упорядоченные множества
Каждому отношению порядка на множестве можно сопоставить следующие отношения.
Двойственный порядок
Отношение доминирования
Из определения следует, что отношение доминирования иррефлексивно, антисимметрично, но не транзитивно. Оно может быть и пусто. Например, легко видеть, что пустым будет отношение доминирования, если исходный порядок является плотным бинарным отношением на соответствующем множестве.
в. По отношению делимости на множестве натуральных чисел 15 доминирует над 3 и 5, но 20 не доминирует над 5, так как существует „промежуточный» элемент — 10, делитель 20, который делится на 5, но не равен ни 20, ни 5.
Упорядоченное подмножество
Упорядоченное множество, все элементы которого попарно сравнимы, называют линейно упорядоченным, а соответствующее отношение — отношением линейного порядка (или просто линейным порядком). Бели индуцированный порядок на подмножестве упорядоченного множества является линейным, то это линейно упорядоченное подмножество называют цепью. Любое подмножество попарно не сравнимых элементов данного упорядоченного множества называют антицепью.
Замечание 1.5. Обратим внимание на то, что термину «упорядоченное множество» (в смысле приведенного определения) отвечает термин «частично упорядоченное множество», а то, что мы называем линейно упорядоченным множеством, называется просто упорядоченным множеством. Терминология этого выпуска более принята в алгебраической литературе и литературе по дискретной математике. Употребление термина «частично упорядоченное множество» мотивировано желанием подчеркнуть, что в общем случае в упорядоченном множестве существуют не сравнимые элементы.
б. Отношение делимости (см. пример 1.13.г) на множестве и отношение включения на (см. пример 1.13,д) не являются линейными порядками, за исключением случая, когда — одноэлементное множество.
Наибольший, наименьший и максимальный, минимальный элементы множества
Замечание 1.6. Поскольку на одном и том же множестве могут быть определены разные отношения порядка (например, на множестве натуральных чисел — естественный числовой порядок и отношение делимости), то, когда это необходимо, мы будем говорить о наибольших, наименьших (соответственно максимальных и минимальных) элементах по данному отношению порядка, уточняя тем самым, о каком отношении порядка идет речь.
Следующие примеры показывают, что максимальных (минимальных) элементов может быть сколько угодно. Но заметим, что если у множества есть наибольший (соответственно наименьший) элемент, то он является единственным максимальным (соответственно минимальным) элементом данного множества.
Верхняя и нижняя грань множества
Множество всех верхних (нижних) граней множества называют верхним (нижним) конусом и обозначают (соответственно ).
Пример 1.18. а. Рассмотрим множество точек прямоугольника (рис. 1.11, б) с заданным в примере 1.17 отношением порядка. Точка является точной нижней гранью, а точка — точной верхней гранью этого множества. Обе точки принадлежат множеству.
Если рассмотреть множество (рис. 1.11, в) с тем же отношением порядка, то увидим, что точная нижняя грань (точка ) и точная верхняя грань (точка ) множества существуют, но не принадлежат множеству.
Вполне упорядоченные множества
Множество натуральных чисел с отношением естественного числового порядка вполне упорядоченное. Множество целых чисел не вполне упорядоченное, поскольку оно не имеет наименьшего элемента. Аналогично множества рациональных и действительных чисел не являются вполне упорядоченными.
Говорят также и о взаимно двойственных определениях: если в любом определении, связанном с упорядоченным множеством, произвести взаимные замены согласно принципу двойственности, то получится новое определение, называемое двойственным к исходному. Так, определение наибольшего (максимального) элемента множества двойственно к определению наименьшего (минимального) элемента, и наоборот. Часто употребляют оборот речи: «двойственным образом…» (или «двойственно…»), понимая под этим переход к утверждению или определению, которое двойственно к исходному.
Способы наглядного представления упорядоченных множеств
Рассмотрим теперь некоторые способы наглядного представления упорядоченных множеств.
На рис. 1.13 приведена диаграмма Хассе для упорядоченного множества всех подмножеств трехэлементного множества по отношению включения (см. пример 1.13.д).
Элемент а упорядоченного множества называют точной верхней гранью последовательности если он есть точная верхняя грань множества всех членов последовательности. Другими словами, точная верхняя грань последовательности есть точная верхняя грань области ее значений как функции натурального аргумента.
Точная нижняя грань последовательности
Двойственно определяется точная нижняя грань последовательности.
Упорядоченное множество называют индуктивным, если:
Например, множество всех подмножеств некоторого множества по отношению включения будет индуктивным. Наименьший элемент — пустое множество, а точной верхней гранью произвольной неубывающей последовательности множеств будет объединение всех членов этой последовательности (наименьшее по включению множество, содержащее в качестве подмножества любой член последовательности).
Теорема 1.6. Всякое непрерывное отображение одного индуктивного упорядоченного множества в другое монотонно.
В общем случае монотонное в смысле определения 1.6 отображение не является непрерывным в смысле определения 1.5. Приведем пример, показывающий, что утверждение, обратное теореме 1.6, неверно.
Пример 1.19. Рассмотрим множество всех точек отрезка числовой прямой с порядком, индуцированным естественным числовым порядком. Это множество индуктивно: его наименьший элемент — 0, а любая неубывающая последовательность элементов ограничена сверху и по признаку Вейерштрасса имеет предел, который и будет ее точной верхней гранью. Любая кусочно-непрерывная (но не непрерывная!) и монотонная в смысле обычных определений из курса математического анализа функция, отображающая этот отрезок на любой отрезок с порядком, индуцированным естественным числовым порядком, дает пример монотонного в смысле определения 1.6, но не непрерывного в смысле определения 1.5 отображения между индуктивными частично упорядоченными множествами. Например, пусть функция имеет вид
Не следует путать отображение, монотонное в смысле определения 1.6, с монотонными функциями из курса математического анализа. Функция будет монотонной в смысле определения 1.6 тогда и только тогда, когда она является неубывающей.
Для приложений особенно важны непрерывные отображения индуктивного упорядоченного множества в себя.
Что такое линейное множество
1.6 пФОПЫЕОЙС РПТСДЛБ
пФОПЫЕОЙС РПТСДЛБ ХУФБОБЧМЙЧБАФУС ОБ НОПЦЕУФЧЕ, ЛПЗДБ ДМС ОЕЛПФПТЩИ ЙМЙ ЧУЕИ РБТ ЕЗП ЬМЕНЕОФПЧ ПРТЕДЕМСЕФУС ПФОПЫЕОЙЕ РТЕДЫЕУФЧПЧБОЙС a
мЙОЕКОП ХРПТСДПЮЕООЩН СЧМСЕФУС НОПЦЕУФЧП ФПЮЕЛ ОБ РТСНПК У ПФОПЫЕОЙЕН «РТБЧЕЕ», НОПЦЕУФЧБ ГЕМЩИ, ТБГЙПОБМШОЩИ, ДЕКУФЧЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ РП ПФОПЫЕОЙА «ВПМШЫЕ» Й Ф.Р.
 |
| тЙУХОПЛ 15 |
фЕРЕТШ РПУФТПЙН ФБЛХА ЦЕ УИЕНХ ДМС ПФОПЫЕОЙС s 
t ОБ ВХМЕБОЕ (НОПЦЕУФЧЕ ЧУЕИ РПДНОПЦЕУФЧ) ФТЕИЬМЕНЕОФОПЗП НОПЦЕУФЧБ M3=
 |
| тЙУХОПЛ 16 |
вЙОБТОЩЕ ПФОПЫЕОЙС R ОБ НОПЦЕУФЧЕ б Й S ОБ НОПЦЕУФЧЕ ч ОБЪЩЧБАФУС ЙЪПНПТЖОЩНЙ, ЕУМЙ НЕЦДХ б Й ч НПЦОП ХУФБОПЧЙФШ ЧЪБЙНОП ПДОПЪОБЮОПЕ УППФЧЕФУФЧЙЕ з, РТЙ ЛПФПТПН, ЕУМЙ a1Ra2 (Ф.Е. ЬМЕНЕОФЩ a1 Й Б2 ОБИПДСФУС Ч ПФОПЫЕОЙЙ R ), ФП з(a1)Sз(a2) (ПВТБЪЩ ЬФЙИ ЬМЕНЕОФПЧ ОБИПДСФУС Ч ПФОПЫЕОЙЙ S).
фБЛ, ЮБУФЙЮОП ХРПТСДПЮЕООЩЕ НОПЦЕУФЧБ D30 Й ч(н3) ЙЪПНПТЖОЩ. тБУУНПФТЕООЩК РТЙНЕТ ДПРХУЛБЕФ ПВПВЭЕОЙЕ.
тЙУХОПЛ 17