Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Уравнение с одним неизвестным, содержащим первую степень, называется линейным уравнением с одной переменной. Стандартный вид линейного уравнения ax+b=0, где a и b некоторые числа, а х – переменная. Также стандартным видом уравнения можно считать и вид ax=b.
Так, например, к линейным относятся уравнения:
6х+21=0; 34–2х=0; 34х=17; 89х=0
Уравнения, содержащие несколько слагаемых с переменной или без нее, а также скобки, называются уравнениями, сводящимися к линейным. То есть при его упрощении должно получиться линейное уравнение стандартного вида. К таким уравнениям могут относиться уравнения вида:
х+12=4х–45; 19х–67=98; х=–32+17х; 7(х+13)=89–14х
Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Что такое корень уравнения?
Вспомним, что корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Корни линейного уравнения
Наличие корней зависит от коэффициентов а и b.
Рассмотрим нахождение количества корней на примерах.
Здесь коэффициент а отличен от нуля. Значит, уравнение имеет один корень.
Здесь коэффициент а равен нулю, поэтому корней нет.
Здесь оба коэффициента равны нулю, поэтому уравнение имеет множество корней, или, еще можно сказать, что корнем уравнения является любое число.
Чтобы найти корни уравнения, надо его решить, используя алгоритм, по которому из одного уравнения мы сможем получить уравнение, равносильное данному. Сначала вспомним, что при переносе слагаемых из одной части в другую, мы получаем уравнение, равносильное данному. Также можно делить или умножать обе части уравнения на одно и то же число.
Пример №2. Решить уравнение:
В данном уравнении нет скобок, поэтому выполняем перенос слагаемых, изменяя соответственно знаки у тех слагаемых, которые переносим (обычно слагаемые с переменной собираем слева, а без переменной – справа): 2х–9х=10+11. Теперь приводим подобные слагаемые и получаем: –7х=21. Видим, что корень находится действием деления (неизвестный множитель): х=21:(–7). Ответ х=–3.
При оформлении решения запись оформляем следующим образом:
Пример №3. Решить уравнение:
Здесь мы видим скобки, поэтому сначала раскроем их, помня о том, то число 2 в левой части уравнения надо умножить на каждое слагаемое в скобках, а в правой части уравнения перед скобкой стоит «минус», поэтому изменяем знаки у слагаемых при раскрытии скобок: 5х–2х+16=9х–3х–11. Выполняем перенос слагаемых: 5х–2х–9х+3х=–11–16. Приводим подобные: –3х=–27. Находим корень уравнения: х=–27:(–3). Получаем ответ: х=9
Пример №4. Решить уравнение:
Выполним всё по алгоритму: перенос слагаемых и приведение подобных слагаемых. 2х–2х=3+12; 0х=15. Видим, что коэффициент а=0, поэтому запишем ответ – нет корней, так как надо 15:0, а мы знаем правило, что на нуль делить нельзя.
Имеем линейное уравнение:
Следовательно, начинаем решение с переноса слагаемых (с переменной влево, без переменной – вправо): 3х + 7х= – 5 – 2, не забывая изменять знак у слагаемых, которые переносим. Теперь приводим подобные в каждой части, получаем 10х= –7.
Находим неизвестный множитель делением произведения –7 на известный множитель 10, получаем –0,7.
Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?
В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.
Определение.
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.
Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:
Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).
При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.
Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:
Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).
В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).
При a=0, b≠0 линейное уравнение
При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.
При a=0, b=0 линейное уравнение
имеет бесконечное множество решений.
При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.
Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.
Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.
Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.
После того как мы узнали, что такое уравнение, и научились решать самые простые из них, в которых находили неизвестное слагаемое, уменьшаемое, множитель и т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения, целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.
Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.
Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными.
Навигация по странице.
Что такое линейное уравнение?
Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.
Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:
В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:
Как решать линейные уравнения?
Поясним, как были получены эти результаты.
А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.
Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.
Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.
Примеры решения линейных уравнений
Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.
