Что такое линейный график

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейный график

Опубликовано 23.06.2021 · Обновлено 23.06.2021

Что такое Линейный график?

Линейный график (также известный как линейный график или линейная диаграмма) – это график, в котором линии используются для соединения отдельных точек данных, отображающих количественные значения за указанный интервал времени. На линейных графиках используются «маркеры» точек данных, которые соединены прямыми линиями для облегчения визуализации. Этот тип графика, используемый во многих полях, может быть весьма полезен для отображения изменений значений во времени.

Ключевые моменты

Понимание линейных графиков

Несмотря на преимущества, есть ограничения. Например, линейные графики часто теряют ясность, когда имеется слишком много точек данных. Кроме того, видимой степенью изменения можно визуально управлять, регулируя диапазон точек данных на осях.

Построение линейного графика

Линейные графики состоят из двух осей: оси x (горизонтальной) и оси y (вертикальной), графически обозначенных как (x, y). Каждая ось представляет другой тип данных, а точки их пересечения – (0,0). Ось x является независимой осью, поскольку ее значения не зависят от чего-либо измеренного. Ось Y является зависимой осью, поскольку ее значения зависят от значений оси X.

Каждая ось должна быть помечена в соответствии с данными, измеренными вдоль оси, и разделена с соответствующими приращениями (например, день 1, день 2 и т. Д.). Например, при измерении изменений цен на акции за предыдущие две недели ось абсцисс будет отображать измеренное время (торговые дни в пределах периода), а ось Y – цены акций.

При использовании линейных графиков для отслеживания цены акции наиболее часто используемой точкой данных является цена закрытия акции. В первый день торгов цена акции составляла 30 долларов, что привело к точке данных (1, 30 долларов). Во второй день торгов цена акции составила 35 долларов, в результате чего точка данных составила (2, 35 долларов).

Каждая точка данных нанесена на график и соединена линией, которая визуально показывает изменения значений во времени. Если бы стоимость акций увеличивалась ежедневно, линия наклонялась бы вверх и вправо. И наоборот, если цена акции неуклонно снижается, тогда линия будет наклоняться вниз и вправо. Линейные графики могут быть построены вручную или с помощью программного обеспечения, такого как Microsoft Excel, что значительно повышает скорость и точность конечного продукта.

Источник

Как визуализировать данные: виды графиков

Визуализация числовых значений позволяет сделать понятными даже сложные наборы данных. Графики и диаграммы привлекают больше аудитории, чем обычный текст или скучные таблицы, и увеличивают вовлеченность читателей. Визуальная информация намного лучше воспринимается и запоминается, что помогает быстро и эффективно донести до аудитории ваши мысли и идеи.

В этой статье разберем основные виды графиков и поговорим о том, каких правил следует придерживаться при визуализации данных.

Типы графиков

Вид диаграммы необходимо выбирать в зависимости от того, какие данные вы хотите визуализировать и с какой целью: чтобы сравнить различные показатели или продемонстрировать, как распределяются данные, скажем, какие значения встречаются чаще, а какие реже.

Также на диаграмме можно наглядно показать структуру чего-либо при помощи данных или проследить взаимосвязь показателей.

Типов диаграмм насчитывается несколько десятков, и в рамках одной статьи описать их все не представляется возможным. Мы рассмотрим наиболее часто используемые виды графиков и разберемся, для отображения каких данных лучше всего подходит каждый их них.

Графики, о которых далее пойдет речь, можно легко создать в таких программах, как Microsoft Word, Excel, PowerPoint и Visio (а также их бесплатных аналогах), приложениях iWork (для iOS и macOS) и онлайн-сервисе Canva.

Линейный график

Линейный график (или линейная диаграмма) показывает динамику по одному либо нескольким показателям. Его удобно применять, когда нужно сравнить, как меняются с течением времени разные наборы данных.

Данные на таком графике отображаются в виде точек, которые соединены линиями. Также точки могут быть невидимыми, тогда график представляет собой ломаные линии. Кроме того, существует такая разновидность, как график рассеяния или точечная диаграмма, на котором точки изображаются без линий. Данный тип графика помогает найти взаимосвязь между двумя показателями.

Линейные диаграммы целесообразно применять, если число значений в ряду велико. Они удобны, когда требуется отобразить общую тенденцию развития каких-либо явлений, сравнить темпы роста и т.п.

На такой диаграмме данные категорий равномерно распределены вдоль горизонтальной оси, а все значения отображаются вдоль вертикальной оси. Графики позволяют показать непрерывное изменение данных за определенный период времени, поэтому они прекрасно подходят для представления тенденций изменения данных с равными временными интервалами, такими как месяцы, кварталы или годы.

Диаграммы-области

Диаграмма с областями представляет собой линейную диаграмму, в которой область ниже линии заполнена индивидуальным цветом или текстурой. Так же, как и линейные графики, диаграммы-области используются для отображения развития количественных значений в каком-то определенном интервале или за определенный временной период, но отличаются от графиков тем, что позволяют оценить вклад каждого элемента в рассматриваемый процесс.

Линейчатые диаграммы

Линейчатые (полосчатые) диаграммы, которые также называют столбчатыми (столбиковыми), являются наиболее часто используемым типом диаграмм.

Они могут применяться для сравнения разных значений в тех случаях, когда важны конкретные числовые показатели. На одной оси столбиковой диаграммы представлены сравниваемые категории, а на другой – шкала числовых значений.

Полосчатые диаграммы позволяют пользователю легко сравнить отдельные значения для разных категорий либо сравнивать изменения значений за какой-то период времени для определенной категории. Статистические показатели в таких диаграммах могут быть представлены как вертикальными, так и горизонтальными столбиками. Для изображения величины параметра используется высота или длина столбика.

Кроме прямоугольников, поверхность таких диаграмм может представлять собой треугольники, трапеции и другие фигуры.

Горизонтальные линейчатые диаграммы обычно используются, когда необходимо сравнить множество различных показателей или визуально обозначить явное превосходство одного из них. Вертикальные столбцы целесообразно использовать для изменения показателей в разные периоды времени, к примеру, ежегодной прибыли компании за несколько лет.

Гистограммы

Гистограмма и столбиковая диаграмма визуально схожи, разница же заключается в том, что гистограмма показывает распределение данных в рамках непрерывного интервала либо конкретного периода времени. На вертикальной оси гистограмм отображается частотность, а на горизонтальной показаны интервалы или временной период.

Гистограммы помогают визуально определить концентрацию значений, а также предельные значения или наличие пробелов либо отклонений.

Гистограмма с несколькими осями

Представляет собой сочетание столбиковой диаграммы и линейного графика с двумя осями Y и с одной осью X, на которой показаны категории данных. Такой вариант может понадобиться, когда нужно представить два или более фактора и выявить параллели или сравнения.

Круговые диаграммы

Круговые (секторные) диаграммы показывают долю каждой величины в общем объеме. Круг представляет всю совокупность данных, а относительная величина каждого отдельного значения изображается в виде сектора круга. Площадь секторов при этом соответствует вкладу этого параметра в сумму значений.

Круговые диаграммы наглядно демонстрируют, какую часть от общего количества составляют отдельные значения. Сектора могут отображаться в общем круге, а также могут быть расположены отдельно на небольшом расстоянии друг от друга.

Географические диаграммы

Картодиаграмма являет собой сочетание диаграммы с географической картой или схемой. Ее используют, когда нужно отобразить распределение определенного показателя по регионам, странам, материкам, выделенным разным цветом, оттенками или рисунками в соответствии с переменными данных. На примере диаграммы, приведенной ниже, можно увидеть, что цвет для каждого региона определяется в зависимости от плотности населения.

Если необходимо отобразить на карте данные по дополнительным показателям, это делается с помощью добавления микрографики: круговых диаграмм или столбиков.

Правила визуализации данных

Чтобы графики и диаграммы были понятны читателям, при их построении нужно соблюдать следующие рекомендации:

И еще пара советов: не используйте разные виды графиков и диаграмм для однотипных данных. Читателю требуется время, чтобы привыкнуть к каждому новому виду диаграммы и понять, что обозначает определенная линия или столбик, поэтому всегда выбирайте одинаковые диаграммы для данных одного типа. Кроме того, следует придерживаться одной цветовой гаммы в одном отчете или презентации. Хорошее решение – использование цветов вашего корпоративного стиля.

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник