Что такое логарифмирование и потенцирование
Что такое логарифмирование и потенцирование
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 186. Логарифмирование и потенцирование
Если некоторое выражение составлено из положительных чисел посредством умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то логарифм всего этого выражения легко выразить через логарифмы входящих в него чисел.
Тогда по теореме о логарифме дроби
Теорема о логарифме произведения дает:
Теперь, используя теоремы о логарифме степени и корня, получаем:
Переход от выражения к его логарифму называется логарифмированием этого выражения.
Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием. Она заключается в том, что по логарифму некоторого выражения восстанавливается само выражение. Поясним это на следующем примере. Пусть
Прежде всего, используя теоремы о логарифме степени и корня, можно записать:
После этого logax можно записать в виде
Теперь, используя теоремы о логарифме произведения и частного, получим:
= loga(100 • 3 √ 19 ) — loga (√ 7 • 27) = loga 
.
logax = loga
Но если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа. Поэтому
Прологарифмировать по основанию 10 следующие выражения (№ 1418 — 1422):
Что такое логарифмирование и потенцирование
Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Формула
Примеры
loga b = c (при a > 0, a ≠ 1, b > 0).
Это означает, что a c = b.
Читается так: логарифмом числа 25 по основанию 5 является 2.
Число 2 является показателем степени.
Это означает, что 5 2 = 25.
Логарифмом числа 64 по основанию 4 является 3.
Это означает, что 4 3 = 64
Говоря иначе, логарифмирование – это действие, обратное возведению в степень.
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.
Примеры десятичного логарифма:
Десятичный логарифм обозначают символом lg. Таким образом:
вместо log10 100 следует писать lg 100;
вместо log10 5 пишем lg 5;
вместо log10 0,01 пишем lg 0,01.
Логарифмирование и потенцирование.
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
b
lg x = lg (a 2 · —) = lg a 2 + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
c
Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).
Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
Например, надо решить уравнение log2 3x = log2 9.
Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2). Подробнее о потенцировании и его правилах – в следующем разделе.
Потенцирование
Потенцирование — это действие, заключающееся в нахождении числа по данному логарифму через логарифмы других чисел (нем. potenzieren — возводить в степень, от Potenz — степень).
При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду
Схематически логарифмическое уравнение, решаемое потенцированием, можно представить приблизительно так:
Решение начинаем с нахождения ОДЗ:
0;\\ g(x) > 0;\\ h(x) > 0. \end
Затем преобразовываем выражение: число перед логарифмом вносим в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, а отдельно стоящее число представляем в виде логарифма по тому же основанию, что и остальные логарифмы:
От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения, от разности — к логарифму частного:
Теперь приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов
и решаем алгебраическое уравнение.
Рассмотрим примеры решения логарифмических уравнений потенцированием.
От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения:
По определению логарифма
Первый корень не входит в ОДЗ.
Число 2 вносим в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма. Единицу представляем в виде логарифма по основанию 3
(-x)²=x². От суммы логарифмов переходим к логарифму произведения
Так как равны логарифмы с одинаковыми основаниями, можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов:
Первый корень не входит в ОДЗ.
Единицу представляем в виде логарифма по основанию 3:
От разности логарифмов переходим к логарифму частного:
Приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов:
Логарифмирование и потенцирование
Просмотр содержимого документа
«Логарифмирование и потенцирование»
Тема: « ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ»
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
Прологарифмировать выражение – это значит выполнить следующий алгоритм:
Взять данное выражение в скобки и перед ними поставить знак логарифма по заданному основанию
Используя свойства логарифмов, необходимо убрать внутри логарифма такие действия, как возведение в степень, возведение в корень, умножение и деление
Пример: прологарифмировать выражение 
по основанию 10
Решение: 1. Взять данное выражение в скобки и перед ними поставить знак логарифма по заданному основанию
2.внутри логарифма находится умножение, возведение в степень 2 и деление. Избавимся от них по свойствам сложения и вычитания логарифмов, а также умножение числа на логарифм. Получим
Вывод: логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных
Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию. Применяется при решении логарифмических уравнений
Потенцировать выражение – это значит освобождаться от знаков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения. Потенцировать можно только в том случае, когда и в левой и правой частях уравнения стоят по одному логарифму с одинаковыми основаниями и больше никаких действий с ними не производится.
То есть 
в этом случае можно избавиться от знаков логарифма вместе с основаниями и получим
Пример: потенцировать выражение log2 3x = log2 9
Решение: так как основания логарифмов одинаковые и в каждой части выражения стоят по одному логарифму и никаких действий больше нет, то избавляемся от логарифмов
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
Прологарифмировать по основанию 10 выражение 
Решение: 
Здесь мы использовали формулу 
Найти х, используя свойства логарифмов и потенцирование
Решение: в правой части выражения больше одного логарифма и есть еще дополнительные действия – это умножение числа на логарифм
используем свойство 
Используем свойства сложения и вычитания логарифмов
потенцировать можно
Выполните потенцирование выражения:
Решить из учебника №491(а, г), №492(а), №493(б), №497(в, г) стр. 237
Решить из учебника №7(под цифрой 3 под буквой а) стр. 274
Конспект занятия по дисциплине Математика на тему логарифмирование и потенцирование
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ
повторение, систематизация и обобщение знаний;
закрепление умений решать практические задачи по теме;
развитие логического мышления алгоритмической культуры;
развитие умения доказывать свои умозаключения, анализировать ответы друг друга;
продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию.
Тип урока : комбинированный урок
Методическое обеспечение : учебники, план-конспект урока, карточки.
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока.
2. Повторение ранее изученного материала
3. Изучение нового материала
ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА
1. Проверка домашнего задания, работа у доски над затруднительными моментами.
2. Дайте определение понятию логарифм.
Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
3. Приведите пример записи логарифма. Что означает эта запись?
3. Для того, чтобы проверить уровень усвоения материала, предлагается решить некоторые задания. На доске таблица, которую необходимо заполнить, указав решение примера и номер свойства из ранее записанного конспекта урока.
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
Пример : Найдем логарифм
Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.
Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.
Потенцировать – значит освобождаться от знаков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду
Убираем знаки логарифмов – то есть потенцируем:
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это основание 2).
Потенциирование применяется при решении логарифмических уравнений, с которыми мы познакомимся на следующем занятии.
Прологорифмируйте выражение по основанию 10 при условии, что все переменные положительные:
Выполните потенцирование выражения:
Группа разбивается на подгруппы по два-три человека. Каждая подгруппа составляет один пример для логарифмирования, передает его соседней подгруппе для решения. После чего подгруппы решают пример и передают его следующей подгруппе для решения. В итоге каждая подгруппа должна выставить оценку своим одногруппникам, решившим составленное выражение.
Прологорифмируйте выражение по основанию 10 при условии, что все переменные положительные:
Выполните потенцирование выражения:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-470314
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Время чтения: 2 минуты
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Госдума приняла закон об использовании онлайн-ресурсов в школах
Время чтения: 2 минуты
Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе
Время чтения: 1 минута
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.