Что такое логическое умножение

Конъюнкция

Логическая операция конъюнкция — бинарная операция над высказываниями, результатом которой является истинное высказывание только в случае, когда исходные высказывания истинны.

Другие названия конъюнкции — логическое умножение, логическое И или просто И.

Конъюнкция изучается в информатике при рассмотрении раздела алгебра логики.

В естественных языках конъюнкцию заменяют союзом «и».

В языках программирования для конъюнкции используют обозначение ‘ and ‘ или знак амперсанд ‘ & ‘ (либо ‘ && ‘) (например, x>0 and x или a>=10 & a ).

Как набрать знак конъюнкции на клавиатуре

Таблица истинности для конъюнкции

Истинность конъюнкции определяется ее таблицей истинности.

Конъюнкция и круги Эйлера

Результатом конъюнкции является область пересечения высказываний.

Электрический аналог конъюнкции

Представим, что выключатели A и B — это высказывания, причем 0 — выключатель разомкнут, 1 — выключатель замкнут. Лампа символизирует конъюнкцию. Когда она не горит — 0, горящая лампа — 1. Тогда становится очевидным, что лампа будет гореть только когда оба выключателя будут замкнуты, что полностью соотносится с таблицей истинности для конъюнкции.

Источник

Логические операции. ➞ Что такое конъюнкция, дизъюнкция, импликация

Тот, кто хочет подробно разбираться в цифровых технологиях должен понимать основы такой темы, как алгебра логики. В этой статье будут разобраны основные определения, а также показаны самые важные логические операции, такие как конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д.

Основные положения

Для начала следует разобраться, для чего нужна алгебра логики – главным образом, этот раздел математики и информатики, нужен для работы с логическими выражениями и высказываниями.

Логическим высказыванием называется утверждение (или запись), которое мы можем однозначно классифицировать, как истинное или ложное (1 или 0 в информатике).

Примером таким высказываний будут являться:

Логические высказывания делятся на два типа — простые и сложные.

В алгебре логики, как простые, так и сложные высказываниями описываются булевыми выражениями.

Булево выражение – это символическое (знаковое) описание высказывания.

Операции

Ниже рассмотрим основные операции, которые применяются в булевой алгебре. Их хватит, чтобы упростить львиную долю всех выражений, которые Вам встретятся.

Конъюнкция

Конъюнкция (булево умножение) — функция, по своему смыслу приближенная к союзу «И». При выполнении конъюнкции результат истинен (равен 1) тогда и только тогда, когда истинны ВСЕ переменные. Если хотя бы одно из высказываний ложно, то ложно и всё выражение (равно 0).

Функция может работать как с двумя операндами (высказываниями), так и с тремя, четырьмя и т.д. В математике обозначается с помощью знаков ​\( \wedge \) и &. Обозначение в языках программирования AND, &&. Таблица истинности для двух операндов:

Дизъюнкция

Дизъюнкцией называется функция булева сложения. По смыслу дизъюнкция приближена к союзу «ИЛИ». В результате выполнения данной функции результирующие выражение является истинным, когда хотя бы одно из высказываний в этом выражении тоже истинно.

Булево сложение, также как и умножение, может работать с произвольным количеством операндов. В математике обозначается как V, а в программировании с помощью OR или I.

Инверсия

Логическое отрицание – функция, работающая с одним высказыванием, и заменяющая истину на ложь, а ложь на истину. В математике обозначается с помощью черты над значением, а в программирование и информатике с помощью слова NOT.

Импликация

Также называется булевым следованием. В русском языке данной функции соответствует оборот «Если …, то …». Например, если на улице гремит гром, то стоит пасмурная погода.

Эквивалентность

Булева тождественность или равенство. На простом языке будет обозначено как «… эквивалентно (равно) …». Результат будет истинным тогда, когда все значения в выражении будут иметь одинаковую истинность.

Обозначается с помощью трех черточек или ⟺.

Порядок выполнения операций

Логические операции выполняются в следующем порядке:

Если в формуле указаны скобки, то порядок выполнения действий в скобках точно такой же, как написано выше.

Пример

Дано два отрезка B = [2,10], C = [6,14]. Из предложенных вариантов ответа выберите такой отрезок A, что формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) истинна при любом значении z. Варианты ответа:

Решение: Подставим в уравнение \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in B)) \vee (z \in C) \) =1 значения B и C и составим таблицу истинности:

Получившаяся формула \( ((z \in A) \Longrightarrow (z \in [2,10])) \vee (z \in [6,14])=1 \). По условию ​​​\( z \in A \)=1.

Таблица истинности для всех отрезков:

Ответ: A = [3,11].

Видео

Заключение

Вот Вы и познакомились с основными логическими операциями и понятиями и знаете, что такое булево сложение и умножение. Если вас заинтересовала данная тема, то можете изучить булевы законы. Эти законы не проходятся в рамках школьной программы и служат для упрощения сложных выражений.

Источник

Почему конъюнкцию называют логическим умножением

Логическое умножение – одна из трех базовых операций логической алгебры.

Высказывание А * В истинно (равно 1) тогда, когда равны 1 (истинны) обе переменных.

Правила логического умножения двух высказываний можно свести в следующую таблицу:

Такая таблица называется таблицей истинности для конъюнкции. Таблица истинности показывает, какие значения дает логическая операция при всех возможных наборах ее аргументов.

Конъюнкция n переменных истинна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные истинны.

Другие базовые операции в алгебре логики

Сайт находится в разработке, поэтому, пожалуйста, проявите снисходительность к тому, что материалов, пока мало.

Логическое умножение – одна из трех базовых операций логической алгебры.

Высказывание А * В истинно (равно 1) тогда, когда равны 1 (истинны) обе переменных.

Правила логического умножения двух высказываний можно свести в следующую таблицу:

Такая таблица называется таблицей истинности для конъюнкции. Таблица истинности показывает, какие значения дает логическая операция при всех возможных наборах ее аргументов.

Конъюнкция n переменных истинна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные истинны.

Другие базовые операции в алгебре логики

Сайт находится в разработке, поэтому, пожалуйста, проявите снисходительность к тому, что материалов, пока мало.

Конъюнкция
И, AND
Диаграмма Венна
Определение	x y
Таблица истинности	( 0001 )
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	x y
Конъюнктивная	x y
Полином Жегалкина	x y
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Да
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Да
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Конъюнкция может быть бинарной операцией (т. e. иметь два операнда), тернарной операцией (т. e. иметь три операнда), или n-арной операцией (т. e. иметь n операндов).

Содержание

Обозначения [ править | править код ]

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции конъюнкции:

(в случае использования точки, как знака логического умножения, этот знак, как и при обычном умножении в алгебре, может быть опущен: a b [1] ).

Булева алгебра [ править | править код ]

Определение.
Логическая функция MIN в двухзначной (двоичной) логике называется конъюнкция (логи́ческое «И», логи́ческое умноже́ние или просто «И»).

Правило: результат равен наименьшему операнду.

Таблицы истинности:
для бинарной конъюнкции

для тернарной конъюнкции

Многозначная логика [ править | править код ]

Следует отметить, что название этой операции минимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия конъюнкция, логи́ческое «И», логическое умноже́ние и просто «И» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика [ править | править код ]

В классическом исчислении высказываний свойства конъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства конъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для конъюнкции:
a ∧ b → a
a ∧ b → b
a → ( b → ( a ∧ b ) )

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию конъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника [ править | править код ]

Теория множеств [ править | править код ]

С точки зрения теории множеств, конъюнкция аналогична операции пересечения.

Программирование [ править | править код ]

В компьютерных языках используется два основных варианта конъюнкции: логическое «И» и побитовое (поразрядное) «И». Например, в языках C/C++ логическое «И» обозначается символом «&&», а побитовое — символом «&». В терминологии, используемой в C#, операцию «&» принято называть логическим «И», а операцию «&&» — условным «И», поскольку значения операндов являются условиями для продолжения вычисления. В языках Pascal/Delphi оба вида конъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «and», а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) — выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) — поразрядная.

Логическое «И» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата f a l s e или t r u e . Например:

Сравнение в данном случае будет продолжаться до конца выражения, независимо от промежуточных результатов. Принцип работы условного «И» в аналогичной ситуации:

Проверка истинности выражения в данном случае остановится после проверки переменной a, так как дальнейшее сравнение не имеет смысла.

Результат будет равен t r u e , если оба операнда равны t r u e (для числовых типов не равны 0 ). В любом другом случае результат будет равен f a l s e .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно f a l s e , то значение правого операнда не вычисляется (вместо b может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет возможность вычисления правого операнда:

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдет деления на ноль.

Побитовое «И» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =	01100101 2 >
b =	00101001 2 >
то
a И b =	00100001 2 >

Связь с естественным языком [ править | править код ]

Часто указывают на сходство между конъюнкцией и союзом «и» в естественном языке. Составное утверждение «A и B» считается истинным, когда истинны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение ложно. Это в точности соответствует определению конъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как 1 , а «ложь» как 0 . При этом часто делают стандартную оговорку о неоднозначности естественного языка. Например, в зависимости от контекста союз «и» может нести дополнительный оттенок «и тогда», «и поэтому», «и потом». Отличие логики естественного языка от математической остроумно выразил американский математик Стивен Клини, заметив, что в естественном языке «Мэри вышла замуж и родила ребенка» — не то же самое, что «Мэри родила ребенка и вышла замуж».

Источник

Что такое логическое умножение

Прежде всего, начнем с разбора названия самого предмета, а именно выясним, каково значение алгебры, логики, а затем алгебры логики.

Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными буквами латинского алфавита – а, b, x, y и т.д. Действия над переменными величинами записываются в виде математических выражений.

Термин «логика» происходит от древнегреческого “logos”, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Алгеброй логики называется аппарат, который позволяет выполнять действия над высказываниями.

Алгебру логику называют также алгеброй Буля, или булевой алгеброй, по имени английского математика Джорджа Буля, разработавшего в XIX веке ее основные положения. В булевой алгебре высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. В алгебре Буля введены три основные логические операции с высказываниями: Сложение, умножение, отрицание. Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

Логические выражения могут быть простыми и сложными.

Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В простом логическом выражении возможно только два результата — либо «истина», либо «ложь».

Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями. По аналогии с понятием функции в алгебре сложное логическое выражение содержит аргументы, которыми являются высказывания.

В качестве основных логических операций в сложных логических выражениях используются следующие:

• НЕ (логическое отрицание, инверсия);

• ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);

• И (логическое умножение, конъюнкция).

Логическое отрицание является одноместной операцией, так как в ней участвует одно высказывание. Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них участвует два высказывания. Существуют и другие операции, например операции следования и эквивалентности, правило работы которых можно вывести на основании основных операций.

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении, например:

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:

Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Приведем примеры отрицания.

1. Высказывание «Земля вращается вокруг Солнца» истинно. Высказывание «Земля не вращается вокруг Солнца» ложно.

3. Высказывание «4 — простое число» ложно. Высказывание «4 — не простое число» истинно.

Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее. Такой переключатель можно считать электрическим аналогом операции отрицания.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B.

Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

Приведем примеры логического сложения.

1. Рассмотрим высказывание «В библиотеке можно взять книгу или встретить знакомого». Это высказывание формально можно представить так: С = А V В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.

2. Рассмотрим высказывание «Знания или везение — залог сдачи экзаменов». «Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает, или тот, кому повезло (например, вытянут единственный выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «хороший» билет.

Кто хоть однажды использовал елочную гирлянду с параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех пор, пока цела хотя бы одна лампочка. Логическая операция ИЛИ чрезвычайно схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Применяемые обозначения: А и В, А ⋀ В, A & B, A and B.

Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Приведем примеры логического умножения.

1. Рассмотрим высказывание «Умение и настойчивость приводит к достижению цели». Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок — умения И настойчивости.

Логическую операцию И можно сравнить с последовательным соединением лампочек в гирлянде. При наличии хотя бы одной неработающей лампочки электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает. Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.

если А, то В; А влечет В; if A then В; А-> В.

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Приведем примеры операции следования.

1. Рассмотрим высказывание «Если идет дождь, то на улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро.

a) А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то и В — ложно». Например, х = 4, 17, 22.

b) А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — ложно, то В — истинно». Например, х = б, 12, 21.

c) А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3. Истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.

d) А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание «если А — истинно, то и В — истинно». Например, х = 9, 18, 27.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А = В, А

B001010100111

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приведем примеры операции эквивалентности:

1. День сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом;

2. Добиться результата в спорте можно тогда и только тогда, когда приложено максимум усилий.

Источник