Что такое математическое округление
OpenEdge ABL
Существуют несколько методов округления числа:
ОКРУГЛЕНИЕ К БЛИЖАЙШЕМУ ЦЕЛОМУ
Округление к ближайшему целому до N-го знака осуществляется по следующему правилу:
Примеры округления до 2 знаков после запятой:
2.4545 → 2.45
2.4564 → 2.46
По способам округления числа в случае когда N+1 знак равен 5, выделяются следующие виды округления к ближайшему целому:
Математическое округление в случае если N+1 знак = 5 увеличивает N-й знак на единицу, а все знаки после N-го отбрасываются (обнуляются).
Пример математического округления до 2-х знаков после запятой:
Данное округление в ABL реализовано в функции ROUND.
Банковское округление отличается от математического тем, что предполагает округление в таком случае к ближайшему четному числу. Т.е. результатом округления числа 2.5 при математическом округлении будет 3, а при банковском 2.
Случайное округление осуществляет равновероятное округление числа 5 как в меньшую (N-ый знак остается без изменений) так и в большую (N-ый знак увеличивают на единицу) стороны. Например, в момент округления значения можно генерировать случайное целое число в пределах [0,1]. Если полученное число равно нулю, то округление осуществляется в меньшую сторону, если единице, то в большую.
Чередующееся округление осуществляет округление числа 5 поочередно то в меньшую, то в большую стороны. Данное округление очевидно применимо при необходимости округления массива чисел, а не единичного числа.
ЗАОСТРИМ НА ОКРУГЛЕНИИ
По итогам некоторой работы решил наваять небольшую статью по поводу разных методов округлений и их реализаций в PHP, Excel, OpenOffice. Думаю, эта информация может пригодиться кому-то еще 🙂
Методы округления в Excel, PHP и не только
При решении задач мат.моделирования и автоматизации бизнес-процессов очень часто возникают погрешности результата, связанные с неочевидностью выбора способов округления, используемых при написании кода.
Так, заказчик почти никогда не может явно сформулировать требования к применяемым в расчетах способам округления, и, зачастую, просто использует расчет, выполненный в Excel-е, как эталон, не задумываясь, как именно и почему именно так происходит округление в том или ином случае.
В такой ситуации полезно:
В данной статье мы расскажем о стандартных способах округления, проанализируем пакет MS Excel 2003, пакет OpenOffice Calc 2.3.0 и язык PHP на предмет имеющихся в них функций округления и их соответствия стандартным. Попутно будут предложены примеры реализаций недостающих функций.
Стандарт IEEE 754 описывает семь методов округления чисел:
Первые пять методов являются, согласно стандарту, обязательными к реализации, а последние два — опциональными.
Тестовая выборка, однозначно различающая методы
Для определения соответствия функции, реализующей округление, некоторому стандартному методу округления удобно воспользоваться специальной тестовой выборкой чисел. Предлагаемый набор из 4 чисел позволяет однозначно различить перечисленные в стандарте семь методов округления.
Рассмотрим следующую таблицу (в предположении, что округления производились до 1 знака после запятой):
Не будем проводить доказательства того, что набор из 4 чисел является минимальным для решения задачи различения методов, покажем лишь, что в данном конкретном наборе нельзя удалить ни одно из чисел:
Отметим, что данный набор чисел не может использоваться для доказательства корректности той или иной функции округления, а только для определения её типа и только в том случае, если заранее известно, что функция реализует один из 7 вышеописанных методов округления.
Анализ существующих функций округления в MS Excel 2003
Изучение и понимание отличий функций округления, доступных в MS Excel, представляется нам важной задачей, т.к. большинство расчетных прототипов, входящих в ТЗ на задачи автоматизации и моделирования, реализуются именно средствами MS Office. При этом важно понимать, что проверка корректности выполнения ТЗ обычно производится путем сверки результатов с результатами прототипа. Таким образом, умение воспроизводить результаты работы методов округления, используемых в каждом конкретном случае, является необходимыми для получения адекватных расчетных результатов.
Анализ справочника функций MS Office Excel 2003 позволяет составить следующий список стандартных функций, реализующих различные виды округления: ОКРУГЛ, ОКРВВЕРХ, ОКРВНИЗ, ОКРУГЛВВЕРХ, ОКРУГЛВНИЗ, ОТБР, ЦЕЛОЕ.
Таким образом, получаем следующие различные наборы функций:
Следовательно, пользователям MS Excel доступны 4 из 7 рассматриваемых методов округления:
Реализация недостающих методов округления в MS Excel 2003
Для реализации недостающих методов округления нам потребуется математическая функция sgn (signum). В языке формул MS Excel она реализована функцией ЗНАК.
Итак, опишем на псевдокоде, близком к языку формул MS Excel, формулы, позволяющие получить желаемые методы округления.
Данные формулы не являются единственным или наилучшим способом реализации указанных методов округления, а являются лишь иллюстрацией возможности их реализации через имеющиеся стандартные методы MS Excel.
Сравнение округлений в OpenOffice Calc 2.3.0 и в MS Excel 2003
Изучение справочника функций языка формул OpenOffice Calc позволило составить такой список функций округления: TRUNC, ROUND, ROUNDDOWN, ROUNDUP, CEILING, FLOOR, MROUND, INT. При этом функции CEILING и FLOOR имеют 2 режима, один из которых (mode=1) декларирован как режим совместимости с MS Excel.
Таким образом, OpenOffice Calc содержит больше различных функций округления, а именно функции CEILI NG и FLOOR, реализующие в режиме (mode=0) методы round_ceiling и round_floor, соответственно.
Анализ существующих функций округления в PHP
Спецификация языка PHP предлагает 4 способа округления чисел: intval, round, floor, ceil. Существуют также менее очевидные способы округления чисел в PHP путем форматирования числа в строку и преобразования его обратно в число. Для такого форматирования могут использоваться стандартные php-функции number_format и sprintf.
Поскольку функции ceil, floor и intval не позволяют указывать требуемую точность округления, для них были написаны обертки (соответственно, p_ceil, p_floor и p_intval).
Таким образом, получаем следующие различные наборы функций:
Следовательно, разработчикам на PHP доступно 4 из 7 рассматриваемых методов округления:
Кроме того, intval (и как следствие, p_intval) имеет сильные ограничения на размер значения аргумента — максимальное допустимое значение аргумента intval равно MAXINT (точное значение зависит от системы). По этой причине не рекомендуется использовать функцию intval для реализации округлений при решении расчетных задач.
Реализация недостающих методов округления в PHP
Как указывалось выше, для нормального использования функций floor и ceil потребовалось реализовать функции-обертки, позволяющие указывать точность округления (количество знаков после запятой).
Кроме того, в PHP отсутствует реализация математической функции sgn. Нам потребуется своя:
Т еперь, имея p_ceil, p_floor и round (как реализации, соответственно, round_ceiling, round_floor и round_half_up) и собственную реализацию sgn, мы можем воспроизвести недостающие методы округления следующим образом:
Данный код не является единственным или наилучшим способом реализации указанных методов округления, а являются лишь иллюстрацией возможности их реализации через имеющиеся стандартные функции PHP.
Как правильно округлять числа после запятой
Далеко не все умеют округлять числа правильно. Например, купив товар за 1469 рублей, чаще всего люди говорят, что потратили полторы тысячи. В целом это так, но некоторые правила округления нарушаются. Чтобы этого избежать, мы с вами поговорим о том, как правильно работать с числами.
Зачем нужно округление
Округлять числа необходимо для точности измерений. В некоторых сферах жизни погрешности в расчетах могут иметь очень серьезные последствия. Для этого существует метрология — наука, изучающая правила округления чисел и погрешности.
Приведем несколько примеров, в которых неправильное округление не приведет ни к чему страшному:
Однако есть ситуации, где правильное округление является необходимостью. Наверняка читатель мог подумать, зачем нужна какая-то наука об округлении? Ведь все просто — округлять можно как в большую, так и в меньшую сторону, в зависимости от личной выгоды. Такой принцип применим не ко всем сферам жизни. Науку об округлении в первую очередь необходимо изучать инженерам-электроникам.
Люди, которые учились в технических институтах, знают, что при разработке определенных приборов необходимо провести много различных расчетов. Чаще всего промежуточными результатами этих расчетов являются нецелые числа. Чтобы они не повлияли на конечный результат, их нужно округлять только по определённым правилам либо вообще этого не делать, а работать с конечным результатом.
Суть в том, что погрешность может быть довольно велика (около 5 процентов), и это может плохо кончиться. Например, посчитанное значение напряжения тока в электрической цепи может быть неподходящим, и техническое устройство работать не будет. Или того хуже, инженера может ударить током.
Чтобы избежать подобных казусов, студентам технических вузов и инженерам необходимо знать правила округления.
Правила округления чисел
В основе округления лежат математические правила:
В метрологии — науке об округлениях и погрешностях, результат принято округлять до двух значащих цифр. Что же это значит? Значащая цифра — это цифра от первой, отличной от нуля.
Есть три случая, для которых есть свои особенности округления:
Когда мы имеем дело с числами меньше единицы, необходимо округлять результат до двух знаков после запятой. Например, число 0,7342. Округляем это число до 0,734, а потом до 0,73. Именно так и должен быть округлён результат. Первый ноль не является значащей цифрой.
Попробуем округлить 8,357. Первая цифра 8 является значащей, так как она отлична от нуля. Соответственно, нам необходимо округлить результат до одного знака после запятой. Согласно правилам, о которых мы говорили выше, результат будет равен 8,4.
Теперь самый сложный случай. Попробуем округлить 47,336. Так как все цифры отличны от нуля, мы будем округлять результат до целого числа. По математическим правилам он будет равен 47. Если мы имеем дело с трёхзначным числом, необходимо округлить результат до двух знаков, после чего умножить на 10 в нужной степени. Пример: округляем 4289,346 и получаем 43, умноженное на десять в квадрате.
Именно для того и нужна метрология, чтобы правильно округлять и записывать результат в технической документации. А также для избежания ошибок при ведении расчетов в разработке технических устройств.
Заключение
Теперь вы знаете, как правильно округлять и сможете делать все необходимые расчеты самостоятельно. Главное, доходы округлять в меньшую сторону, а расходы — в большую. И тогда вам точно будет хватать денег на все покупки, и останется небольшая сумма, которую можно потратить на развлечения. Успехов вам!
Видео
В нашем видео подробно рассказано о правилах округления чисел — с примерами.
Правильное округление чисел
Приближенные значения
В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.
У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин иногда можно использовать приближенные значения.
Онлайн-школа Skysmart приглашает детей и подростков на курсы по математике — за интересными задачами, новыми прикладными знаниями и хорошими оценками!
Примерчики
Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.
Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.
Если длина платья 1 м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.
Приближенное значение — число, которое получилось после округления.
Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.
Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.
Округлить число значит сократить его значение до нужного разряда, например, до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.
Округление натуральных чисел
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и так далее.
Особенности натуральных чисел:
Округление натурального числа — это замена его таким ближайшим по значению числом, у которого одна или несколько последних цифр в его записи заменены нулями.
Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
Правила округления чисел:
Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.
После подчеркнутой цифры стоит 8, значит к цифре разряда тысяч (в данном случае 7) прибавим 1. На месте цифр, отделенных вертикальной чертой, ставим нули.
Теперь округлим 756 485 до сотен:
Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.
Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу — в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в соседнем старшем разряде увеличивается на 1.
Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:
Округление десятичных дробей
Дробь — одна из форм записи частного чисел a и b, представленная в виде a/b. Есть два формата записи:
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10 000 и т. д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:
Разряды целой части:
Разряды дробной части:
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.
Рассмотрим десятичную дробь 7396,1248. Здесь целая часть — 7396, а дробная — 1248. При этом у каждой из них есть свои разряды, которые важно не перепутать:
Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.
То число, к которому дробь ближе, называют округленным значением числа.
Цифра, которая записана в данном разряде:
Как округлить до десятых. Оставить одну цифру после запятой, остальные отбросить. Согласно правилу выше, если первая отбрасываемая цифра — 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра после запятой остается той же. Если мы отбрасываем цифру 5, 6, 7, 8 или 9 — цифра после запятой увеличивается на единицу.
Как округлить до сотых. Оставить две цифры после запятой, остальные отбросить. И снова не забываем про правило: если следующая цифра 0, 1, 2, 4 — цифра в разряде сотых остается неизменной. Если же это 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде сотых увеличится на 1.
Как округлить до целых. Заменить десятичную дробь ближайшим к ней целым числом. Ближайшим будет наименьшее расстояние. При этом если расстояние до приближенного значения числа с недостатком и расстояние до приближенного значения числа с избытком равны, то округляют в большую сторону.
Все цифры, которые стоят справа от данного разряда, заменяются нулями. Если эти нули стоят в дробной части числа, то их можно не писать.
Пример 1
256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;
4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;
17,935 ≈ 18 — округление до целых.
Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.
Пример 2
79,7 ≈ 80 — округление до десятков;
0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.
Математическое округление и его правила быстро запомнится, если не лениться решать примеры и задачки из учебников 5 класса.
Округление
Округление — математическая операция, позволяющая уменьшить количество знаков в числе за счёт замены числа его приближённым значением с определённой точностью.
Содержание
Методы
В разных сферах могут применяться различные методы округления. Во всех этих методах «лишние» знаки обнуляют (отбрасывают), а предшествующий им знак корректируется по какому-либо правилу.
Варианты округления 0,5 к ближайшему целому
Отдельного описания требуют правила округления для специального случая, когда (N+1)-й знак = 5, а последующие знаки равны нулю. Если во всех остальных случаях округление до ближайшего целого обеспечивает меньшую погрешность округления, то данный частный случай характерен тем, что для однократного округления формально безразлично, производить его «вверх» или «вниз» — в обоих случаях вносится погрешность ровно в 1/2 младшего разряда. Существуют следующие варианты правила округления до ближайшего целого для данного случая:
Во всех вариантах в случае, когда (N+1)-й знак не равен 5 или последующие знаки не равны нулю, округление происходит по обычным правилам: 2,49 → 2; 2,51 → 3.
Математическое округление просто формально соответствует общему правилу округления (см. выше). Его недостатком является то, что при округлении большого числа значений может происходить накопление ошибки округления. Типичный пример: округление до целых рублей денежных сумм. Так, если в реестре из 10000 строк окажется 100 строк с суммами, содержащими в части копеек значение 50 (а это вполне реальная оценка), то при округлении всех таких строк «вверх» сумма «итого» по округлённому реестру окажется на 50 рублей больше точной.
Три остальных варианта как раз и придуманы для того, чтобы уменьшить общую погрешность суммы при округлении большого количества значений. Округление «до ближайшего чётного» исходит из предположения, что при большом числе округляемых значений, имеющих 0,5 в округляемом остатке, в среднем половина окажется слева, а половина — справа от ближайшего чётного, таким образом, ошибки округления взаимно погасятся. Строго говоря, предположение это верно лишь тогда, когда набор округляемых чисел обладает свойствами случайного ряда, что обычно верно в бухгалтерских приложениях, где речь идёт о ценах, суммах на счетах и так далее. Если же предположение будет нарушено, то и округление «до чётного» может приводить к систематическим ошибкам. Для таких случаев лучше работают два следующих метода.
Два последних варианта округления гарантируют, что примерно половина специальных значений будет округлена в одну сторону, половина — в другую. Но реализация таких методов на практике требует дополнительных усилий по организации вычислительного процесса.
Применения
Округление используется для того, чтобы работать с числами в пределах того количества знаков, которое соответствует реальной точности параметров вычислений (если эти значения представляют собой измеренные тем или иным образом реальные величины), реально достижимой точности вычислений либо желаемой точности результата. В прошлом округление промежуточных значений и результата имело прикладное значение (так как при расчётах на бумаге или с помощью примитивных устройств типа абака учёт лишних десятичных знаков может серьёзно увеличить объём работы). Сейчас оно остаётся элементом научной и инженерной культуры. В бухгалтерских приложениях, кроме того, использование округлений, в том числе промежуточных, может требоваться для защиты от вычислительных ошибок, связанных с конечной разрядностью вычислительных устройств.
Использование округлений при работе с числами ограниченной точности
Реальные физические величины всегда измеряются с некоторой конечной точностью, которая зависит от приборов и методов измерения и оценивается максимальным относительным или абсолютным отклонением неизвестного действительного значения от измеренного, что в десятичном представлении значения соответствует либо определённому числу значащих цифр, либо определённой позиции в записи числа, все цифры после (правее) которой являются незначащими (лежат в пределах ошибки измерения). Сами измеренные параметры записываются с таким числом знаков, чтобы все цифры были надёжными, возможно, последняя — сомнительной. Погрешность при математических операциях с числами ограниченной точности сохраняется и изменяется по известным математическим законам, поэтому когда в дальнейших вычислениях возникают промежуточные значения и результаты с больши́м числом цифр, из этих цифр только часть являются значимыми. Остальные цифры, присутствуя в значениях, фактически не отражают никакой физической реальности и лишь отнимают время на вычисления. Вследствие этого промежуточные значения и результаты при вычислениях с ограниченной точностью округляют до того количества знаков, которое отражает реальную точность полученных значений. На практике обычно рекомендуется при длинных «цепочных» ручных вычислениях сохранять в промежуточных значениях на одну цифру больше. При использовании компьютера промежуточные округления в научно-технических приложениях чаще всего теряют смысл, и округляется только результат.
Эмпирические правила арифметики с округлениями
В тех случаях, когда нет необходимости в точном учёте вычислительных погрешностей, а требуется лишь приблизительно оценить количество точных цифр в результате расчёта по формуле, можно пользоваться набором простых правил округлённых вычислений [1] :
Несмотря на нестрогость, приведённые правила достаточно хорошо работают на практике, в частности, из-за достаточно высокой вероятности взаимопогашения ошибок, которая при точном учёте погрешностей обычно не учитывается.
Ошибки
Довольно часто встречаются злоупотребления некруглыми числами. Например: