Что такое матрица грама

Матрица Грама

где — скалярное произведение векторов e_i и e_j.

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Геометрический смысл определителя Грама

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по n получается следующее утверждение:

Полезное

Смотреть что такое «Матрица Грама» в других словарях:

ГРАМА МАТРИЦА — квадратная матрица составленная из попарных скалярных произведений элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Г. м. всегда неотрицательна. Она положительно определена, если а 1, а 2. а k линейно независимы. Справедливо обратное:… … Математическая энциклопедия

Положительно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Отрицательно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Отрицательно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Положительно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Определитель Грама — Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы … Википедия

Источник

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Определение матрицы Грама

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]\mathbf[/math] и [math]\mathbf[/math] в разных базисах:

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots, \mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]\mathbf_1, \mathbf_2,\ldots,\mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]\mathbf_1,\mathbf_2, \ldots,\mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

3. Определитель Грама любой системы [math]\mathbf_1,\mathbf_2,\ldots, \mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

[math]V_<\ast \boldsymbol_1>=|\boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]\boldsymbol_1[/math] ;

[math]V_<\ast \boldsymbol_1,\boldsymbol_2>= V_<\ast \boldsymbol_1>\cdot |\boldsymbol_2|= |\boldsymbol_1|\cdot|\boldsymbol_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]\boldsymbol_1,\,\boldsymbol_2[/math] ;

[math]V_<\ast \boldsymbol_1,\boldsymbol_2, \boldsymbol_3>= V_<\ast \boldsymbol_1, \boldsymbol_2>\cdot |\boldsymbol_3|= |\boldsymbol_1|\cdot |\boldsymbol_2|\cdot |\boldsymbol_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]\boldsymbol_1,\,\boldsymbol_2,\, \boldsymbol_3[/math] ;

т.е. определитель Грама векторов [math]\boldsymbol_1, \boldsymbol_2, \ldots, \boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]\varphi[/math] между вектором [math]\boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

а угол [math]\varphi[/math] между ненулевым вектором [math]\boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]\mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=\begin-3&2&0&0\end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math]\[/math] решений однородной системы:

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Источник

ГРАМА МАТРИЦА

Если суть га-мерные векторы (столбцы) n-мерного евклидова (эрмитова) пространства собычным скалярным произведением

Смотреть что такое «ГРАМА МАТРИЦА» в других словарях:

Положительно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Отрицательно определённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Отрицательно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Положительно полуопределённая матрица — В линейной алгебре, положительно определённая матрица это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической двулинейной формой (или… … Википедия

Определитель Грама — Определителем Грама (англ.) (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы … Википедия

Источник

Матрица Грама в евклидовом пространстве

Г = (41)

Матрица Гназывается матрицей Грама скалярного произведения для базиса е. Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Свойства матрицы Грама.

Это следует из того, что е_к ¹ 0 и, следовательно, (е_к, е_к ) > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т ×А×х > 0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

1. Во множестве М₂ квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е₁ = , е₂ = , е₃ = , е₄ = .

Г = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,

Г = .

3. В базисе (е₁, е₂, е₃) пространства Е₃ скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × = 7.

Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Е_n – n-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т.е. (а, а) = а 2 . По 4-ой аксиоме скалярного произведения а 2 ³ 0.

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú аú ³ 0.

3. Для любых векторов а и в из Е_n верно неравенство ú а×вú £ú аú ×ú вú.

Определение 48.Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

Если а ¹ 0, то ú аú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а₀ = а. Очевидно, ú а₀ú =1.

Угол между векторами а и можно также обозначать .

Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.

Определение 50. Множество всех векторов пространства Е_n, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

Доказательство. Пустьа ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т.е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что a×а + b×в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а.Получим a×а 2 +b×(а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а 2 ¹ 0, то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и влинейно независимы.

Источник

Определитель Грама.

Запишем грамиан для трех функций сначала в общем виде, а затем преобразуем его, подставив в общую формулу заданные функции:

Как видите, элементы, симметрично расположенные относительно главной диагонали, равны между собой. Найдем значения элементов, расположенных над главной диагональю:

Элементы, расположенные на главной диагонали:

Запишем результаты в грамиан и вычислим значение определителя Грама:

Подынтегральные функции интегралов в первой строке и первом столбце грамиана содержат произведения первой функции ($y_1$) на остальные функции этой системы. Т.е. в первой строке и первом столбце будут интегралы такого вида:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник