Что такое мнимая единица i

Мнимая единица – число на грани мистики

Человеку не сведущим в математике и физике рассуждения о мнимой единице представляется полным бредом. Например, квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Отсюда ясно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных действительных чисел. Следовательно, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел. Это было сделано китайскими математиками во II веке до н. э. Отрицательные числа не так просты. Представьте, сколько будет 3 – 4? Как можно отнять 4 барана от 3? Отрицательные числа рассматривались как полная чушь. Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число Е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как

мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений. Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа.

То, что называют мнимым числом, на самом деле частный случай комплексного числа. Это число настоящим числом назвать нельзя. Учебники описывают его как величину, которая, будучи возведенной в квадрат, дает минус один. Другими словами, это сторона квадрата с отрицательной площадью. В реальности такого не бывает. Впервые понятие «мнимая величина» использовал Кардано (1545). Он решал задачу с помощью квадратных уравнений

Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений образующих единое целое. В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число z = a + b × i точкой m (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором, идущим в эту точку из начала координат. Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения. В дальнейшем Леонард Эйлер (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) получил знаменитую формулу, и открыл комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений.

Комплексные числа – расширили понятие числа. В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон предложил четырехмерную систему комплексных чисел, которая стала первой гиперкомплексной системой, названную кватернионами. Теория кватернионов вскоре стала одним из источников дальнейшего развития математики и ее приложений.

Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения.

Источник

Мнимая единица

Маяковский про мнимую единицу

Мнимая единица (讠, один с точечкой) — это:

Эта вторая формулировка крайне сложна. Чтобы её понять и привести к простой, нужно разбить одно окно чем-нибудь, другое — головой. И сравнить осколки обоих стёкол и состояние головы и крыши до и после процедуры.

Содержание

История открытия [ править ]

Основные свойства [ править ]

После того, как сбрендившие учёные поняли, что такое мнимая единица, стали выводить разные формулы. Например:

2 i = 2 i e e = 21 ⋅ e e = 21 <\displaystyle 2i=<\frac <2ie>>=<\frac <21\cdot e>>=21>

Тождество Эйлера [ править ]

Существует следующее тождество:

Его высказал Эйлер, один из трезвых учёных, во сне. Поэтому его называют тождеством Эйлера. До сих пор учёные всего мира не понимают смысл этой формулы и удивляются её странностью. Не меньше удивления вызывает то, что этот великий математик подарил открытие миру в спящем состоянии. Он, проснувшись, показывал, что ничего не помнит, что ему «опять снились эти формулы бессмысленные». Но никто и не подумал пренебрегать великим открытием. Все без исключения должны верить тому, что сказал Эйлер, поскольку он уже сделал много великих открытий. Он просто не захотел раскрывать строгого доказательства. Известны несколько доказательств, но известны и их опровержения.

Доказательство [ править ]

e − i π ∗ e i π = ( − 1 ) ∗ ( − 1 ) <\displaystyle e^<-i\pi >*e^=(-1)*(-1)>

В итоге мы получили верное равенство, которое вытекает из исходного, поэтому тождество Эйлера доказано!

Опровержение [ править ]

e i π + 1 = e 1 ⋅ π + 1 = e π + 1 ≠ 0 <\displaystyle e^+1=e^<1\cdot \pi >+1=e^<\pi >+1\neq 0>

Опровержение опровержения [ править ]

Не верьте этому опровержению, Эйлер говорил правду. (остальные 54 308 428 790 203 478 762 340 052 723 346 983 453 487 023 489 987 231 275 412 390 872 348 472 восклицательных знака были удалены автоматическим фильтром)

Следствие 1 [ править ]

Из тождества Эйлера следует нечто совсем уж парадоксальное. Перепишем тождество Эйлера в таком виде:

Поскольку в правой части равенства стоит действительное число, значит и в левой части тоже действительное число. В таком случае мы можем смело возвести обе части этого равенства в квадрат:

Следствие 2 [ править ]

Еще раз рассмотрим вышеприведённое тождество Эйлера:

А теперь возведем обе его части в любую целую нечётную степень n:

А значит, при любом нечётном n,

Интересные факты [ править ]

Человекам далеко не сведущим в математике, физике и алгебре, да что уж там — геометрии, рассуждения о мнимой единице представляется полным бредом. Прежде чем о ней рассуждать необходимо определиться, что такое отрицательные числа в природе. Дак, вот их НЕТ. Также как не может быть отрицательной скорости. Отрицательные числа прибывают в нашем воображении из-за того, что мы принимаем какое-либо значение за НОЛЬ. К примеру рассмотрим температуру вещества, а именно абсолютный ноль по Цельсию, это −273,15 °C (-459,67° по Фаренгейту), то есть полный покой вещества, когда его атомы «обездвижены» — вот это и есть НОЛЬ. Отсюда следует отрицательные числа, которые кажутся таковыми, следует записывать в скобках, например так:(-1). Физический смысл отрицательной степени — отсутствует. i 2 = − 1 <\displaystyle i^<2>=-1> далее

В итоге Эйлером доказано, что 1=-1, такой же единице только по другую сторону шкалы.

Источник

Лекция по высшей математике «Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Алгебраическая форма комплексного числа.

Цели: расширить понятие числа, ввести понятие мнимой единицы и ее степеней, понятие комплексного числа; рассмотреть алгебраическую форму комплексного числа ; развивать умения обобщать полученные знания, способствовать развитию логического мышления;

воспитывать у обучающихся сознательное отношение к процессу обучения.

Мнимые числа. Определение мнимой единицы. Степени мнимой единицы.

Определение комплексного числа.

Алгебраическая форма комплексного числа.

Например:

Например: и и .

Теорема. Люб ая натуральн ая степень числа і может быть преобразован а к

Пусть m =4 k +3, тогда і м

Пример. Вычислить значение выражения

.

Замечание. Для того, чтобы вычислить степень мнимой единицы, удобно пользоваться таким правилом:

1) разделить показатель степени на 4;

Символически действительную и мнимую части комплексного числа обозначают так: (ре зет), (им зет).

Замечание. Иногда мнимой частью комплексного числа z = а + b і называют bi.

Для комплексных чисел не существует понятий больше и меньше, то есть комплексные числа не сравнимы.

Определение. Комплексное число (-а- bi ) называется противоположным комплексному числу

Определение. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые

части противоположные, называются комплексно сопряженными числами и

обозначаются соответственно и .

3.Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел и называется

комплексное число .

Итак, (1)

Таким образом, чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные части, и это дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

Сумма сопряженных чисел всегда является действительн ым числом

то есть, . (2)

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число , которое в сумме с числом дает число .

Вычитание комплексных чисел всегда возможно.

Теорема. Для любых комплексных чисел и всегда существует разница , которая определена однозначно.

Таким образом, для того, чтобы вычесть комплексные числа, достаточно вычесть их действительные части и их разницу взять за действительную часть разности, а также вычесть мнимую часть разности

Получается, (3)

Разность двух сопряженных чисел всегда является мнимым числом. ,

то есть, (4)

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется такое комплексное число, которое определяется формулой: (5)

В процессе умножения комплексных чисел лучше выполнять непосредственное умножение. Произведение сопряженных чисел всегда является действительным числом

.

Пример. Найти значение выражения .

Решение: .

Деление комплексных чисел

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое

комплексное число z, которое в произведении с дает .

Всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема. Частное определено и к тому же однозначно для всех комплексных чисел и , если только , то есть .

(7)

Пример. Вычислить значение выражения .

Решение:

Над комплексными числами в алгебраической форме возможно выполнять и такие действия, как возведение в степень, извлечения корня. Но выполнение этих действий в алгебраической форме довольно трудоемкое.

Закрепление изученного материала.

1. Вычислить:

2. Среди приведенных примеров укажите :

а) чисто мнимые комплексные числа;

б) чисто действительные комплексные числа;

в) сопряженные комплексные числа;

г) равные комплексные числа:

3. Выполнить действия: Ответ.

4. На основании равенства комплексных чисел найти действи­тельные числа и если Ответ.

5. Решить квадратные уравнения и проверить выполнение тео­ремы Виета:

а) б) Ответ. а) б)

1.Дать определение комплексного числа.

2.Сформулировать определение мнимой единицы.

3.Как найти степень мнимой единицы.

4.Какие комплексные числа называют равными, сопряженными?

5.Записать формулу для нахождения произвольного степени мнимой единицы.

6. Приведите примеры чисто мнимых чисел.

7. Дать определение суммы, произведения и частного двух комплексных чисел.

Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. 608 с.: ил. – (Высшее образование).

Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письменный, С. Н. Федин, Ю. А. Шевченко. – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. 576 с.: – (Высшее образование).

Григорьев В. П. Элементы высшей математики: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – 10-е изд., стер. – М. Издательский центр «Академия», 2014. – 320 с.

Источник

МНИМАЯ ЕДИНИЦА

— комплексное число i, квадрат к-рого равен минус единице:

Смотреть что такое «МНИМАЯ ЕДИНИЦА» в других словарях:

Мнимая единица — Мнимая единица обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли Диксона или в рамках алгебр по Клиффорду. Содержание 1 Для комплексных чисел 1.1… … Википедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; т. о., i =. См. Комплексное число … Большой Энциклопедический словарь

Мнимая единица — число i, квадрат которого равен отрицательной единице; таким образом … Большая советская энциклопедия

МНИМАЯ ЕДИНИЦА — число i, квадрат к рого равен отрицат. единице; т.о., i = корень из l. См. Комплексное число … Естествознание. Энциклопедический словарь

Единица — (един, один) многозначный термин. Нечто единое целое. Объект, обеспечивающий выполнение определённой функции, и который может быть заменён. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Техни … Википедия

Единица (теория множеств) — Единица (един, один) многозначный термин. Содержание 1 Математика 2 Измерение 3 Экономика 4 Государство … Википедия

Мнимая часть — комплексного числа z = х + iy, множитель у при мнимой единице (См. Мнимая единица) i; М. ч. обозначается Im z … Большая советская энциклопедия

Источник

Комплексные числа

1. Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i 2 = – 1.

Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.

Из этого равенства находим

Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел.

2. Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Соответственно получим i 28 = 1; i 33 = i; i 135 = – i.

3. Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример 2. Найти x и y из равенства:

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда

б) Из условия равенства комплексных чисел следует

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

14–21. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).
15. (6 + 2i) + (5 + 3i).
16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).
19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i).

22–29. Произведите умножение комплексных чисел:

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

Пример 4. Выполнить действия:

а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 Ч 2 Ч 3i + 9i 2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i) 2 = 9 – 2 Ч 3 Ч 5i + 25i 2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3 Ч 25 Ч 3i + 3 Ч 5 Ч 9i 2 + 27i 3 ;
так как i 2 = – 1, а i 3 = – i, то получим (5 + 3i) 3 = 125 + 225i – 135 – – 27i = – 10 + 198i.

30–37. Выполните действия:

Рассмотрим теперь применение формулы

Пример 5. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5 2 – (3i) 2 = 25 – 9i 2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2 2 – (5i) 2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 1 2 – i 2 = 1 + 1 = 2.

38–43. Выполните действия:

Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.

Определение 2. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример 6. Выполнить деление:

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

44–55. Выполните деление:

56–60. Выполните действия:

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнение:

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4 Ч 1 Ч 13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,

D = b 2 – 4ac =12 2 – 4 Ч 9 Ч 29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

62–65. Решите уравнения:

62. x 2 – 4x + 13 = 0.
63. x 2 + 3x + 4 = 0.
64. 2,5x 2 + x + 1 = 0.
65. 4x 2 – 20x + 26 = 0.

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b) (рис. 1). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).

Решение. Заданные числа изображены на рис. 2.

6. Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b) (рис. 3).

Обозначив модуль комплексного числа буквой r. (1)

Из соотношений и

Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим

Таким образом, мы получили новую форму записи комплексного числа:

которая называется тригонометрической формой комплексного числа.

Сформулируем правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической.

1. Находят модуль комплексного числа r, для чего используют формулу

2. Для нахождения j сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z.

4. Записывают комплексное число z в тригонометрической форме.

Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 1 + i.

1) Так как a = 1, b = 1, то

2) Изобразим число z геометрически (рис. 4). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая в I четверти, и вектор z.

3) Составим соотношения и т. е.

Этим соотношениям соответствует в I четверти угол

4) Так как

то тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид

Пример 10. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. 1) Здесь

Следовательно,

2) Изобразим число z геометрически (рис. 5). Мы видим, что числу z соответствует точка Z, лежащая во II четверти, и вектор z.

4) Запишем заданное число в тригонометрической форме:

Пример 11. Записать в тригонометрической форме чисто мнимое число z = – 3i.

Решение. 1) Запишем данное число в виде z = 0 – 3i. Значит, a = 0, b = – 3, откуда

2) Точка, соответствующая геометрически числу z = – 3i, лежит на мнимой оси (рис. 6).

3) Аргумент этого числа равен ,

так как угол отсчитывается от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

4) Запишем данное число в тригонометрической форме:

66–71. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа:

7. Показательная форма комплексного числа

которое называется формулой Эйлера.

Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

Итак, существуют три формы записи комплексного числа:

z = a + bi – алгебраическая форма;
z = r (cos j + i sin j ) – тригонометрическая форма;
z = re ij – показательная форма.

Пример 12. Записать число

в показательной форме.

Решение. Здесь

Следовательно, показательная форма числа имеет вид

Источник