Урок 53. Модели оптимального планирования. Стратегическая цель планирования. Задача линейного программирования для нахождения оптимального плана
Модели оптимального планирования (§20)
Оптимальное планирование
Проблема, к обсуждению которой мы теперь переходим, называется оптимальным планированием. Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец государства. Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:
• имеются некоторые плановые показатели: X, Y, и др.; • имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и др., за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены; • имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений X, Y и др. плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.
Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.
Приведем примеры. Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: количеством детей и количеством воспитателей. Основными ресурсами деятельности детского сада являются объем финансирования и площади помещения. А каковы стратегические цели?
Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здоровья детей. Количественной мерой такой цели является минимизация заболеваемости воспитанников детского сада.
Другой пример: планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для того, чтобы нам с ней полностью разобраться. Плановых показателей очень много: это производство различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, подготовка специалистов, выработка электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество работоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Как вы понимаете, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана. Вопрос о стратегических целях довольно сложный. У государства их много, но в разные периоды истории приоритеты целей могут меняться.
Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь страны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.
Если мы хотим использовать компьютер для решения задачи оптимального планирования, то нам снова нужно построить математическую модель. Следовательно, всё, о чем говорилось в примерах, должно быть переведено на язык чисел, формул, уравнений и других средств математики. В полном объеме для реальных систем эта задача очень сложная. Как и раньше, мы пойдем по пути упрощения. Рассмотрим очень простой пример, из которого вы получите представление об одном из подходов к решению задачи оптимального планирования.
Пример. Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 штук изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Производство пирожных более трудоемко, поэтому если выпускать только их, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произвести 1000 штук (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка. Требуется составить такой дневной план производства, чтобы обеспечить наибольшую выручку кондитерского цеха.
Разумеется, это чисто учебный пример. Вряд ли существует такой кондитерский цех, который выпускает всего два вида продукции, да и наибольшая выручка — не единственная цель его работы. Но зато математически формулировка задачи будет простой. Давайте ее выработаем.
Плановыми показателями являются:
• х — дневной план выпуска пирожков; • у — дневной план выпуска пирожных.
Что в этом примере можно назвать ресурсами производства? Из того, о чем говорится в условии задачи, это:
• длительность рабочего дня — 8 часов; • вместимость складского помещения — 700 мест.
Предполагается для простоты, что другие ресурсы (сырье, электроэнергия и пр.) не ограничены. Формализацию цели (достижение максимальной выручки цеха) мы обсудим позже.
Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада, т. е. суммарного числа изделий.
Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пирожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на выпечку одного пирожка. Если обозначить время изготовления пирожка как t мин, то время изготовления пирожного будет равно 41 мин. Значит, суммарное время на изготовление х пирожков и у пирожных равно
tx + 4ty = (х + 4y)t.
Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство:
(х + 4y)t ≤ 8 • 60,
(х + 4y)t ≤ 480.
Легко посчитать t — время изготовления одного пирожка. Поскольку за рабочий день их может быть изготовлено 1000 штук, на один пирожок тратится 480/1000 = 0,48 мин. Подставляя это значение в неравенство, получим:
(х + 4у) • 0,48 ≤ 480.
х + 4у ≤ 1000.
Ограничение на общее число изделий дает совершенно очевидное неравенство:
х + у ≤ 700.
К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин х и у (не может быть отрицательного числа пирожков и пирожных). В итоге получим систему неравенств:
Целевая функция
А теперь перейдем к формализации стратегической цели: получению максимальной выручки. Выручка — это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка — r рублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т. е. 2r рублей. Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна
rх + 2rу = r(х + 2у).
Целью производства является получение максимальной выручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от х, у:
F(x, у) = r(х + 2у).
Она называется целевой функцией.
Поскольку значение r — константа, максимальное значение F(x, у) будет достигнуто при максимальной величине выражения (х + 2у). Поэтому в качестве целевой функции можно принять
f(x, у) = х + 2у. (2)
Следовательно, получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче:
Требуется найти значения плановых показателей х и у, удовлетворяющих данной системе неравенств (1) и придающих максимальное значение целевой функции (2).
Итак, математическая модель задачи оптимального планирования для школьного кондитерского цеха построена.
Теперь следующий вопрос: как решить эту задачу? Вы уже догадываетесь, что решать ее за нас будет компьютер с помощью табличного процессора Excel. А мы обсудим лишь подход к решению, не вникая в подробности метода.
Математическая дисциплина, которая посвящена решению таких задач, называется математическим программированием. А поскольку в целевую функцию f(x, у) величины хну входят линейно (т. е. в первой степени), наша задача относится к разделу этой науки, который называется линейным программированием.
Система написанных выше неравенств представляется на координатной плоскости четырехугольником, ограниченным четырьмя прямыми, соответствующими линейным уравнениям:
х + 4у = 1000,
х + у = 700,
х = 0 (ось У).
у = 0 (ось X)
На рис. 3.10 эта область представляет собой четырехугольник ABCD и выделена заливкой. Любая точка четырехугольника является решением системы неравенств (1). Например, х = 200, у = 100. Этой точке соответствует значение целевой функции f(200, 100) = 400. А другой точке (x = 600, у = 50) соответствует f(600, 50) = 700. Но, очевидно, искомым решением является та точка области ABCD, в которой целевая функция максимальна. Нахождение этой точки производится с помощью методов линейного программирования.
В математическом арсенале Excel имеется средство Поиск решения. Как решать данную задачу с помощью этого средства, вы узнаете из компьютерного практикума.
В результате решения задачи получается следующий оптимальный план дневного производства кондитерского цеха: нужно выпускать 600 пирожков и 100 пирожных. Эти плановые показатели соответствуют координатам точки В на рис. 3.10. В этой точке значение целевой функции f(600, 100) = 800. Если один пирожок стоит 5 рублей, то полученная выручка составит 4000 рублей.
Вопросы и задания
а) В чем состоит задача оптимального планирования? б) Что такое плановые показатели, ресурсы, стратегическая цель? Приведите примеры.
а) Попробуйте сформулировать содержание оптимального планирования для своей учебной деятельности. б) Что такое математическое программирование, линейное программирование?
а) Сформулируйте задачу оптимального планирования для школьного кондитерского цеха, в котором выпускается три вида продукции: пирожки, пирожные и коржики. б) Внесите изменение в постановку задачи оптимального планирования из этого параграфа для двух видов продукции с учетом еще одного ограничения: число пирожных должно быть не меньше числа пирожков. На координатной плоскости постройте область поиска решения.
Презентация по информатике на тему «Оптимальное планирование» (11 класс).
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов и родителей, перспективы рынка труда и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Оптимальное планирование 11 класс
Объекты планирования: деятельность отдельного предприятия, деятельность отрасли промышленности или сельского хозяйства, деятельность региона, деятельность государства.
Постановка задачи планирования: Имеются некоторые плановые показатели: х, у и др.; Имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и др., за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены.; Имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений х, у и других плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование. Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.
Пример Объект: детский сад, Плановые показатели: 1) число детей, 2) число воспитателей Основные ресурсы деятельности детского сада: 1) размер финансирования, 2) площадь помещения Стратегические цели: сохранение и укрепление здоровья детей (минимизация заболеваемости воспитанников детского сада)
Запишите в тетрадь: Оптимальное планирование заключается в определении значений плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Условия ограниченности ресурсов математически представляются в виде системы неравенств. Решение задачи оптимального планирования сводится к построению целевой функции и назначению определенных условий для ее величины: чаще всего максимума или минимума.
Пример решения задачи оптимального планирования Задача: Кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. Ограниченность емкости склада – за день можно приготовить не более 700 изделий. Рабочий день – 8 часов.. Если выпускать только пирожные, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков можно произвести 1000 штук (без пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка. Требуется составить дневной план производства, обеспечивающий наибольшую выручку.
В итоге получаем систему неравенств: х + 4у 0 у > 0
Формализация стратегической цели: получение максимальной выручки Пусть цена одного пирожка – r рублей, тогда цена пирожного – 2r рублей, а стоимость всей произведенной за день продукции равна rx + 2ry = r(x + 2y). Запишем полученное выражение как функцию f(x,y) = r(x + 2y). Она называется целевой функцией. Так как r – константа, в качестве целевой функции можно принять f(x,y) = (x + 2y)
Таким образом, получение оптимального плана свелось к решению следующей математической задачи: найти значения плановых показателей х и у, удовлетворяющих системе неравенств при которых целевая функция f(x,y) = (x + 2y) принимает максимальное значение х + 4у 0 у > 0
Система неравенств представляется на координатной плоскости четырехугольником, ограниченным прямыми, соответствующим линейным уравнениям х + 4у = 1000 х + у = 700 х = 0 у = 0 Любая точка четырехугольника является решением системы неравенств. Но, искомым решением задачи будет та точка, в которой целевая функция максимальна.
Использование MS Excel для решения задачи оптимального планирования
Нахождение точки в которой целевая функция максимальна производится с помощью методов линейного программирования. Эти методы имеются в математическом арсенале MS Excel. Осуществляется это с помощью средства «Поиск решения». Команда находится на вкладке Данные в группе Анализ.
Подготовить электронную таблицу
Сервис / «Поиск решения» Рис. 3. Начальное состояние формы «Поиск решения»
Заполнить форму Рис. 4. Форма «Поиск решения» после ввода информации
Параметры Рис. 5. Форма «Параметры поиска решения» Нажать!
Щелкнуть кнопку Выполнить Рис. 6. Результаты решения задачи (соответствует точке В рис. 1.) Решение: f(x,y)=800
Форма «Результаты поиска решения» Рис. 7. Нажать!
Изменить условие: Y ≥ X Рис. 8. Результат решения задачи 2 Решение: f(x,y)=600
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс профессиональной переподготовки
Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Современные педтехнологии в деятельности учителя
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Оптимальное планирование 11 класс.
Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.
• что такое оптимальное планирование;
• что такое ресурсы; как в модели описывается ограниченность ресурсов;
• что такое стратегическая цель планирования; какие условия для нее могут быть поставлены;
• в чем состоит задача линейного программирования для нахождения оптимального плана;
•деятельность отдельного предприятия,
•деятельность отрасли промышленности или сельского хозяйства,
Номер материала: 289682
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В Москве новогодние каникулы в школах могут начаться с 27 декабря
Время чтения: 1 минута
ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Минтруд представил проект программ переобучения безработных на 2022 год
Время чтения: 2 минуты
В России утвердили новый порядок формирования федерального перечня учебников
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор объявил сроки и формат ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
обобщений, основанных на привлечении математически доказанных положений.
Обратимся к краткой исторической справке развития методов линейного программирования. Прежде всего разработка экономических задач, разработка общих методов их решения начаты были в 1938г. в работах советского математика академика Л. В. Канторовича и его учеников. Л. В. Канторовичем был предложен общий метод решения задач линейного программирования, названный им методом разрешающих множителей, который лишь в деталях отличается от общепринятого сейчас симплексного метода.
В настоящее время широкая сеть научно-исследовательских институтов, вычислительных центров, различных лабораторий занимается разработкой математических методов исследования экономики.
Главная особенность методов линейного программирования, как уже отмечалось, состоит в том, что эти методы позволяют найти допустимый экономический эффект за счет более правильного использования ресурсов.
В зависимости от того, какие условия заложены в модель, различают такие методы оптимального планирования:
— стахостического програмирования (вероятные методы). Независимо от типа или применяемых методов решения, все задачи оптимального планирования основаны на едином подходе к моделированию и решению. Сущность такого подхода состоит в том, что разрабатываемая математическая модель отражает условия производства, и дальше определяется такой план, который позволяет обеспечить получение максимального или минимального какого-то экономического показателя, при этом условия задачи остаются неизменными.
Построение модели оптимального планирования
Решение практических задач связано с тремя основными этапами исследования: составление экономико-математической модели, определение оптимального решения математическими методами, анализ полученного решения.
При выполнении первого этапа должны быть решены следующие основные проблемы: определена цель исследования, выявлены основные ограничения и осуществлено количественное выражение всех данных задач.
2. Ограничения. Постановка задач линейного программирования предполагает наличие ограниченных ресурсов, которыми и необходимо распорядиться определенным образом. Поэтому необходимо определить, какие ресурсы в настоящее время являются для изучаемой проблемы решающими и, в то же время, лимитирующими, какой запас этих ресурсов. Кроме того, должны быть определены затраты каждого ресурса при том или ином варианте решения.
3. Количественное выражение всех данных задачи. Перейдем к рассмотрению критерия оптимальности. В качестве критерия оптимальности выступают показатели эффективности производства. Их очень много: наибольший рост производительности труда, наибольшая прибыль, рентабельность, показатели ритмичности работы предприятия и др. Например, ставится задача получить максимальный выпуск продукции, необходимой рынку при минимальных затратах на производство этой продукции, такая цель является наиболее характерной в настоящее время, но к решению такой задачи нужно подходить осторожно: желая снизить затраты, мы снижаем качество продукции, если качество плохое, снижается цена и т.д.
В качестве критерия оптимальности могут быть использованы показатели соотношения прибыли к численности работающих, достижение определенного результата в минимальное время, наименьшие отходы производства.
Каждый из указанных критериев имеет достаточные экономические основания для выбора в качестве критерия, и порою бывает трудно отдать предпочтение хотя бы одному из них. Проблема выбора единого критерия — это по существу проблема выбора универсального показателя оценки деятельности предприятия. Такого обобщенного показателя нет. Сложный производственный процесс может быть полно охарактеризован целой системой показателей. Но в каждой конкретной задаче может быть выбран тот из показателей, который в данном случае является наиболее существенным.
Все перечисленные выше критерии носят частичный или локальный характер в том смысле, что они отражают какую-то одну сторону производственного процесса и пригодны для использования в отдельных звеньях народного хозяйства.
В целом же на уровне народного хозяйства нужен общий критерий оптимальности.
Математическим выражением критерия оптимальности является целевая функция
В отличие от целевой функции ограничительные условия имеют несколько другое содержание — они должны отражать те реальные условия работы предприятий, в которых составляется оптимальный план.
При решении той или иной задачи необходимо правильно определить какие ресурсы в настоящий момент являются лимитирующими, каков запас этих ресурсов, каковы затраты каждого ресурса при том или ином варианте решения. Различают несколько групп ограничений:
Первая группа — ресурсные
где: X, — отыскиваемый плановым показатель;
А,, — нормн РПСХОДП ресурел ня производство единицы
А1 — количество)-ресурсов* которыми рйСЯолдпчт предприятие
? А>,Х, — общая потребность в ресурсе.
Вторая группа — ограничения комплектности, технологические (технические). Эти ограничения показывают, в каких соотношениях должны быть получены те или иные изделия. Например, если обозначить выпуск кузовов на автомобильном заводе через X,, а выпуск колес через Х2, то соотношение выпускаемой продукции составит 1:4 или Х2 = 4X2
Третья группа — плановые ограничения. Эта группа ограничений связана с тем, что каждое предприятие, оптимизируя свой план, должно построить его с учетом требований рынка.
Если известны цены:^ Ь,*, * Н,
Математически ограничительные условия могут быть представлены неравенствами
— левосторонними, правосторонними, а также уравнениями. Все ограничения задачи должны быть не противоречивыми, т. е. должно существовать хотя бы одно решение задачи.
Для решения задач линейного программирования в настоящее время используется достаточно богатый арсенал математических приемов и методов. Все эти методы различаются по принципам нахождения оптимальных вариантов плана, по их применяемости в решении экономических задач, по эффективности в вычислительном отношении (имеется в виду наличие эффективного алгоритма целенаправленного перебора). Но в основе всех этих методов лежит принцип последовательного улучшения плана от опорного к оптимальному. При этом используются два различных способа отыскания оптимального варианта программы.
При использовании первого способа вначале получают допустимый вариант, оптимальность достигается за определенное число итераций путем последовательного улучшения опорного плана.
При втором способе получают условно-оптимальный вариант плана, который обеспечивает максимум (минимум) целевой функции, но может не быть допустимым и становится допустимым вариантом лишь после проведения определенных преобразований.
Математический аппарат, применяемый при решении задач линейного программирования делится на три группы.
К первой группе относятся универсальные методы, с помощью которых решаются любые задачи линейного программирования. Прежде всего это метод последовательного улучшения плана с его различными модификациями. Этот метод получил название симплекс-метод.
К этой же группе относится и метод разрешающих множителей, разработанный академиком Л. В. Канторовичем (1939).
Ко второй относятся специальные методы, которые используются для решения конкретных типов задач. Главная особенность этих методов состоит в том, что они являются более простыми, чем универсальные. Наиболее широким классом таких задач являются так называемые транспортные задачи. Для решения этих задач предложено ряд методов. Наибольший практический интерес представляют два метода — распределительный и метод потенциалов, основанные на той же идее последовательного улучшения плана, что и симплексный метод, но учитывающий специфические свойства математической модели транспортной задачи.
Кроме этих методов, еще применяются приближенные методы. Они не гарантируют оптимального решения задачи, но дают хорошее приближение к оптимуму. Эти методы могут быть использованы при решении задач вручную. Сюда относится индексный метод, метод аппроксимации Фогеля и др.
В общем виде задача линейного программирования формулируется следующим образом:
Найти максимальное (минимальное) значение целей функции При ограничениях в виде равенств:
Здесь я,,>.4.*х являются переменными, я коэффнциевтыс; ни*’‘р яП1,п.; Ь|лт—. ЬЯ| — числи, которые могутбыть положительны ми, отрицательными или рпьными нулю, В матричной форме ЭТИ
Для решения задачи методами линейного программирования задаваемые ограничения в виде неравенств должны быть преобразованы в уравнения. Такой вид записи задачи линейного программирования называется канонической задачей линейного программирования. Если неравенство указанного выше вида
я и *¦ Ь|). то лреобрлэовтгне эыполадется путем добавления к.псион частидогтолшгтельлих(веотрицатвЛьяых)переменных
Экономический смысл дополнительных переменных состоит в том, что они характеризуют величину неиспользованного ресурса.
Ecли заданные ограничения имеют форму неравенства такого вида:
то для преобразования этих неравенств в уравнения необходимо каждый член неравенства умножить на —1 и к левой части прибавить дополнительные переменные. Для приведенного неравенства уравнение будет иметь вид:
Так при составлении плана необходимо учитывать выделенные материальные ресурсы, сумма произведений количества изделий (неизвестные величины при решении задачи) на удельную норму расхода материала на каждое из изделий не может превысить величину имеющихся ресурсов.
Заданные ограничения в общем виде можно записать в форме неравенств:
+ а1!х4 + а;дкэ 0; > 0; х, > 0
Требуется найти такие значения х1( х2, х3, которые обеспечивали бы максимальную дополнительную прибыль:
В качестве этой характеристики может выступать оптовая цена единицы j-гo изделия, нормативная трудоемкость его обработки и т.д. От выбранного критерия оптимальности будет зависеть система ограничительных условий. Например, если в качестве критерия выбрано максимальное удовлетворение потребности рынка в продукции, выпускаемой предприятием, то в качестве ограничений могут выступать такие показатели, как верхний и нижний пределы допустимых переменных: N1 — нижний предел регламентирует минимально возможное количество выпускаемых |-х изделий (обращение к такому ограничительному условию будет исключать дефицит в рассматриваемом изделии);
N — верхний предел регламентирует максимально допустимое количество выпускаемых изделий (такое условие поможет избежать затоваривания продукцией, имеющей ограниченный сбыт)
Кроме уКАЭаняых пгрлнн’гешш при решенп рлссмптрипармои задачи имеет мегто введение огрпинчепим по ресурсам:
При решении задачи календарного планирования — формирование производственной программы на короткие плановые периоды — может стоять
проблема оптимизации распределения программы внутрипланового периода (по кварталам, месяцам, декадам) по критерию, например, равномерности загрузки оборудования и равномерности распределения изделий по стоимости в разрезе каждого из календарных отрезков времени.
Оптимальный план распределения производственной программы должен отвечать, по крайней мере, следующим условиям:
— соблюдение сроков выпуска изделий;
— равномерный или равномерно возрастающий объем выпуска в ценностном выражении;
— равномерная загрузка ведущих групп оборудования в каждом коротком плановом периоде;
— обеспечение наивысшей серийности производства.
В реальных производственных условиях не всегда четко можно выделить какой- либо из критериев, поэтому приходится решать данную задачу последовательно, перебирая те или иные критерии. Затем полученные результаты сравниваются и выбирается наилучший с точки зрения учета интересов производителя и потребителя и наилучшего использования всех видов ресурсов.
При решении задач оптимального распределения программы выпуска по коротким плановым периодам модель производственной системы — целевая функция и ограничительные условия формируются для каждого из коротких периодов. В качестве ограничительных условий могут быть использованы не только ресурсные, но и стоимостные, допустимое отклонение выпуска продукции в стоимостном выражении от средней величины, от достигнутого уровня и т.п.
К типовым задачам линейного программирования относятся задачи на раскрой материалов, задачи о наилучшем составе смеси, об оптимальном плане выпуска продукции, о планировании перевозок (транспортная задача), о планировании размещения перевозок и др.
Пример. Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 штук изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Производство пирожных более трудоемко, поэтому если выпускать только их, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произвести 1000 штук (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка. Требуется составить такой дневной план производства, чтобы обеспечить наибольшую выручку кондитерского цеха.
