Что такое мультипликативная группа

Аддитивные и мультипликативные группы остатков

В этой лекции мы будем изучать сложение и умножение остатков с позиций теории групп.

Заметьте, в согласии с теоремой Лагранжа порядок каждого элемента является делителем числа 10, которое задает порядок группы .

В общем случае порядок выражается через наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД).

Утверждение. Порядок элемента k в аддитивной группе задается формулами:

Далее мы рассмотрим мультипликативную структуру . Понятно, что не является группой по отношению к операции умножения, хотя бы потому что 0 не имеет обратного элемента, но и другие остатки могут быть необратимы.

Очевидно, что множество мультипликативно обратимых остатков образует группу, поскольку произведение обратимых остатков обратимо:

Доказательство этого факта, также как и общий метод вычисления обратных элементов, основано на алгоритме вычисления наибольшего общего делителя, восходящего еще к Эвклиду Давайте обсудим алгоритм Эвклида.

Один из способов вычисления НОД(m, k) состоит в разложении чисел m и k на простые множители. Например, для вычисления НОД(96, 60) мы можем оба числа представить как произведение простых чисел:

Применим утверждение к выше приведенному примеру:

Источник

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА

Смотреть что такое «МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА» в других словарях:

Мультипликативная группа поля — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Группа (математика) — Теория групп … Википедия

Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия

КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… … Математическая энциклопедия

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K модуля Vс… … Математическая энциклопедия

Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА

Смотреть что такое «МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА» в других словарях:

Мультипликативная группа поля — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Группа (математика) — Теория групп … Википедия

Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия

КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… … Математическая энциклопедия

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K модуля Vс… … Математическая энциклопедия

Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

мультипликативная группа

Смотреть что такое «мультипликативная группа» в других словарях:

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА — тела группа, элементами к рой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле. М. г. поля абелева группа. О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Мультипликативная группа поля — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Мультипликативная группа кольца вычетов — Приведённая система вычетов по модулю m множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) функция Эйлера. В качестве приведённой системы вычетов… … Википедия

Группа (математика) — Теория групп … Википедия

Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия

КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… … Математическая энциклопедия

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА — группа всех обратимых матриц степени пнад ассоциативным кольцом K с единицей; общепринятое обозначение: GLn(K).или GL(n, К). П. л. г. GL(n, K) может быть также определена как группа автоморфизмов АutK(V) свободного правого K модуля Vс… … Математическая энциклопедия

Конечно определенная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечно определённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорожденная группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Конечнопорождённая группа — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

Мультипликативная группа поля

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Гомоморфизм групп — отображение групп такое, что

для произвольных a и b в G.

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | G_{i + 1}:G_i | в определении субнормального ряда подгрупп.

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента по подгруппе H в G есть множество

Аналогично определяется правый класс смежности:

Класс сопряжённости элемента есть множество

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или .

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g .

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений .

Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы G_{i + 1} / G_i — простые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если .

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом (обозначается по разному, в том числе G ⋊_φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g₁,h₁) * (g₂,h₂) = (g₁φ(h₁)(g₂),h₁h₂) для любых , .

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной <e> и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G₀,G₁. G_n называется рядом подгрупп, если , для всех . Такой ряд записывают в виде

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

Факторы субнормального ряда — фактор-группы G_{i + 1} / G_i в определении субнормального ряда подгрупп.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = <| gh = hg для любого >,

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором , для всех членов ряда.

Циклическая группа — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Мультипликативная группа поля» в других словарях:

МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ГРУППА — тела группа, элементами к рой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле. М. г. поля абелева группа. О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Поля Галуа — Конечное поле или поле Галуа поле, состоящее из конечного числа элементов. Конечное поле обычно обозначается или GF(q), где q число элементов поля. Простейшим примером конечного поля является кольцо вычетов по модулю простого числа. Содержание … Википедия

Группа (алгебра) — Группа в абстрактной алгебре непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Ветвь математики, занимающаяся группами, называется теорией групп. Всем знакомые вещественные числа наделены… … Википедия

КЛАССИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа автоморфизмов нек рой полуторалинейной формы f на правом K модуле Е, где К кольцо; при этом f и Е(а иногда и К)удовлетворяют дополнительным условиям. Точного определения К. г. нет. Предполагается, что f либо нулевая, либо невырожденная… … Математическая энциклопедия

Циклическая группа — В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n целое число).… … Википедия

Таблица обозначений абстрактной алгебры — В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия

КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… … Математическая энциклопедия

АДЕЛЬ — элемент группы аделей, т. е. топологич. прямого произведения групп с отмеченными открытыми подгруппами Здесь линейная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем множество всех неэквивалентных нормировании поля пополнение… … Математическая энциклопедия

КУММЕРА РАСШИРЕНИЕ — расширение поля kхарактеристики вида где п некоторое натуральное число, причем предполагается, что поле kсодержит первообразный корень из 1 степени п(в частности, пвзаимно просто с рпри ). К. р. названы по имени Э. Куммера (Е. Kummer), впервые… … Математическая энциклопедия

ГИЛЬБЕРТА ТЕОРИЯ — 1) Г. т. о базисе: если А коммутативное нётерово кольцо и кольцо многочленов от с коэффициентами в А, то и нётерово кольцо. В частности, в кольце многочленов от конечного числа переменных над полем или над кольцом целых чисел любой идеал… … Математическая энциклопедия

Источник