Что такое начальное приближение функции

Этап. Поиск начального приближения

Пусть x₁ = 1; F(1) = 0,1 – ln 1 = 0,1 >0; (a)

x₂ = 2; F(2) = 0,4 – 2* ln 2 2 –x*ln x = 0.

Для поиска решения выбираем метод, при котором последовательно, шаг за шагом, производится подстановка значений xв уравнение, а полученное на каждом шаге значение F(x) анализируется и уточняется. Вычисления производятся до тех пор, пока значение функции F(x) не приблизится к 0 с заданной точностью. Последнее значение x и будет искомым корнем уравнения. Такой метод широко используется в вычислительной математике и носит название метода итераций (последовательных приближений).

При сходящемся итерационном процессе для любого заданного положительного значения точности eps > 0 существует неравенство

Отрезок [a,b] делится пополам и вычисляется значение функции в середине участка в точке (a+b)/2

F( (a+b)/2)=

При этом полученное значение функции может оказаться либо равным, либо не равным нулю. В первом случае, при F=0, середина отрезка x = (a+b)/2, и будет являться искомым корнем, обращающим функцию в нуль. Если значение функции в середине участка отлично от нуля, то надо определить знак этого значения и сравнить его со знаками функции в точке a и в точке b.

Теперь надо выбрать ту из половин отрезка [a,b], на концах которой функция приобретает значения с разными знаками, как обуславливалось при выборе первоначального отрезка [a,b]. Пусть

F(a) > 0, F(b) 0.

Тогда в качестве новых границ участка следует выбратьb и (a+b)/2, т.к. произведение функций от этих значений меньше нуля, что свидетельствует о наличии корня уравнения на выбранном участке. Обозначим границы нового отрезка, составляющего половину исходного, значениями [a₁, b₁].

Отрезок [a₁,b₁] делится пополам и вычисляется значение функции в середине участка в точке (a₁ + b₁)/2:

Теперь производится повторение анализа, выполненного при первой итерации. Если F((a₁+b₁)/2) = 0, то середина участка (a₁+b₁)/2 и является искомым значением корня, обращающим функцию в ноль. В противном случае вновь определяются знаки, которые принимает функция при подстановке в неё значений концов участка a₁ и b₁. Пусть

Тогда в качестве нового участка берётся та половина отрезка, у которой значения функции на её концах имеют разные знаки, т.е. половина отрезка с координатами b₁ и (a₁+b₁)/2. Обозначим эти значения как [a₂, b₂].

Третья итерация и, в случае необходимости, последующие итерации производятся аналогичным образом с использованием циклического алгоритма вычислений. В результате выполнения цикла вычислений на некоторой итерации длина очередного отрезка, полученного путём половинного деления, станет меньше заданной точности вычислений eps, т.е. начнет выполняться неравенство

Источник

Нелинейные системы и уравнения

Метод Ньютона

Решение нелинейных уравнений

Вычисления по (4) проводятся до тех пор, пока \( f(x_k) \) не станет близким к нулю. Более точно, до тех пор, пока \( |f_(x_k)| > \varepsilon \), где \( \varepsilon \) — малая величина.

Простейшая реализация метода Ньютона может выглядеть следующим образом:

Чтобы найти корень уравнения \( x^2 = 9 \) необходимо реализовать функции

Данная функция хорошо работает для приведенного примера. Однако, в общем случае могут возникать некоторые ошибки, которые нужно отлавливать. Например: пусть нужно решить уравнение \( \tanh(x) = 0 \), точное решение которого \( x = 0 \). Если \( |x_0| \leq 1.08 \), то метод сходится за шесть итераций.

Теперь зададим \( x_0 \) близким к \( 1.09 \). Возникнет переполнение

Проблема заключается в том, что при таком начальном приближении метод Ньютона расходится.

Еще один недостаток функции naive_Newton заключается в том, что функция f(x) вызывается в два раза больше, чем необходимо.

Метод Ньютона сходится быстро, если начальное приближение близко к решению. Выбор начального приближение влияет не только на скорость сходимости, но и на сходимость вообще. Т.е. при неправильном выборе начального приближения метод Ньютона может расходиться. Неплохой стратегией в случае, когда начальное приближение далеко от точного решения, может быть использование нескольких итераций по методу бисекций, а затем использовать метод Ньютона.

Решение нелинейных систем

Таким образом, \( k \)-я итерация метода Ньютона состоит из двух стадий:

2. Находится значение вектора на следующей итерации \( \pmb^ <(k+1)>= \pmb^ <(k)>+ \pmb <\delta>\).

Когда система нелинейных уравнений возникает при решении задач для нелинейных уравнений в частных производных, матрица Якоби часто бывает разреженной. В этом случае целесообразно использовать специальные методы для разреженных матриц или итерационные методы.

Можно также воспользоваться методами, реализованными для систем линейных уравнений.

Источник

Урок 51
§28. Численные методы

Содержание урока

Что такое численные методы?

Что такое численные методы?

Ключевые слова:

Пусть а > 0, 6 Численное решение — это решение задачи для конкретных исходных данных.

Численный метод — это метод, который применяется для поиска численного решения.

Как правило, численные методы дают не точное, а приближённое решение, т. е. решение с некоторой ошибкой. Если эта ошибка будет достаточно мала (например, при вычислении расстояния между городами ошибка составит не более 1 м), то такое решение всех устроит.

Приближённый метод — это метод, который позволяет найти решение задачи с некоторой (допустимой) ошибкой (погрешностью).

Погрешность — отклонение значения величины, полученного в результате измерений или вычислений, от её истинного (действительного) значения.

Рассмотрим уравнение х = cos х, для которого решение в виде формулы получить нельзя.

Как бы вы решали такое уравнение, если бы его очень нужно было решить?

В этом случае можно использовать, например, графический метод решения: построить по точкам графики функций, стоящих в левой и правой частях равенства, и посмотреть, где они пересекаются. В точке пересечения значения функций равны, значит, соответствующее значение х — это решение уравнения (рис. 5.13). Решение можно уточнять, уменьшая шаг построения графика до получения требуемой точности.

Если нужна высокая точность, графический метод требует очень большого объёма вычислений, который можно поручить компьютеру. Однако нужно как-то учесть, что компьютер не способен «посмотреть» на график, и для уточнения решения может использовать только числовые данные. Компьютерный алгоритм решения уравнения может выглядеть примерно так:

1) выбрать отрезок [а₀; b₀] для поиска решения (обычно предполагается, что на этом отрезке есть решение, и притом только одно);

2) с помощью некоторого алгоритма уточнить решение, перейдя к меньшему отрезку [а, b];

3) повторять шаг 2, пока длина отрезка, в который мы «загнали» решение, не станет достаточно малой.

Здесь не совсем ясно, что значит «пока длина отрезка не станет достаточно малой». Обычно задаётся допустимая погрешность ε: отклонение полученного решения от истинного х не должно быть больше, чем ε. Когда мы уменьшаем отрезок, внутри которого находится решение, мы увеличиваем точность: при выборе любой точки этого отрезка в качестве решения ошибка не превышает длины отрезка.

Установлено, что корень уравнения находится на отрезке [а, b]. Какую точку этого отрезка лучше всего считать решением? Какова будет в этом случае наибольшая возможная погрешность?

Цикл (повторение шага 2 алгоритма) нужно остановить тогда, когда длина отрезка станет меньше, чем 2ε. В этом случае при выборе х = (а + b)/2 погрешность будет минимальной: не больше, чем ε.

Часто используется другой вариант, когда требуется знать только одну точку вблизи решения — начальное приближение.

Начальное приближение — это начальное значение неизвестной величины, которое уточняется с помощью приближённого метода.

Процедуры уточнения (они бывают разные!) работают примерно так:

1) выбрать начальное приближение х₀ около решения;
2) с помощью некоторого алгоритма перейти к следующему приближению х, которое находится ближе к точному решению х * ;
3) повторять шаг 2, пока изменение значения х не станет меньше, чем допустимая погрешность ε.

При каждом уточнении повторяются одинаковые действия, поэтому такие методы называют итерационными.

Вспомните, что означает слово «итерация».

Приближённые методы имеют ряд недостатков:

• получается приближённое решение, а не точное; это значит, что нельзя написать х * = 1,2345, нужно использовать знак приближённого равенства: х * ≈ 1,2345;
• мы получаем не формулу, а число, по которому невозможно оценить, как меняется решение при изменении исходных данных (сложно выявить зависимость от параметра);
• объём вычислений может быть слишком велик, это не позволяет использовать приближённые методы в системах, где нужно очень быстро получить результат;
• не всегда можно оценить погрешность (ошибку) результата.

Однако в реальных задачах очень часто аналитическое решение получить невозможно или очень трудно, а приближённые методы позволяют быстро решить задачу с заданной точностью.

Следующая страница Решение уравнений подбором параметра

Cкачать материалы урока

Источник

Что такое начальное приближение функции

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

Источник

Вычислительная математика копия 1

Аппроксимация – замена одной функции f(x) другой, похожей функцией Q(x). Например, функцию, полученную экспериментально в виде таблицы или графика, надо записать в аналитическом виде, либо функцию, достаточно сложную нужно заменить похожей, но более простой.

Простейший способ аппроксимации – замена функции f(x) алгебраическим полиномом

Необходимо так подобрать коэффициенты в формуле (2.1), чтобы Q(x, c_j ) как можно меньше отличалась от f ( x ).

2.1 Меры погрешности аппроксимации

1. Равномерное приближение

a) точечная аппроксимация

Подберем коэффициенты с_j таким образом, чтобы R было минимальным:

Это есть минимаксный подход, который осуществляет равномерное приближение функций.

b) интегральная аппроксимация

Критерий (2.3) перепишется в виде:

2. Метод наименьших модулей

a) точечная аппроксимация

b) интегральная аппроксимация

3. Метод наименьших квадратов

Чаще всего при точечной аппроксимации используют меру

а коэффициенты с j ищут из условия

Это точечная квадратичная аппроксимация.

При интегральной аппроксимации

Описанный подход к задаче аппроксимации называется методом наименьших квадратов. Условия (2.9) и (2.10) геометрически означают: из всех кривых заданного вида выбирают ту, у которой сумма площадей квадратов отклонений – наименьшая.

2.2 Нахождение коэффициентов c_j при точечной аппроксимации методом наименьших квадратов

Пример: построить аппроксимирующую параболу для функции

Источник