Что такое недействительные числа
Математика
Тестирование онлайн
Натуральные числа
Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3. и т.д.
Ноль не является натуральным.
Натуральные числа принято обозначать символом N.
Целые числа. Положительные и отрицательные числа
Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.
Рациональные числа
Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.
Иррациональные числа
Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например: 
Множество иррациональных чисел обозначается J.
Действительные числа
Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа обозначаются символом R.
Округление чисел
Округлить 8,759123. с точностью до целой части.
Округлить 8,759123. с точностью до десятой части.
Округлить 8,759123. с точностью до сотой части.
Округлить 8,759123. с точностью до тысячной части.
Действительные числа
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение действительных чисел
Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определение действительных чисел:
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Множество рациональных чисел —
Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел —
Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел. Это множество R иначе обозначается как область действительных чисел (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:
Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то определение действительных чисел можно сформулировать по-другому.
Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби. Их иногда называют вещественными.
Примеры действительных чисел:
Число нуль также является действительным числом, так как 0 — рациональное число.
Из определения действительных чисел можно сделать вывод, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль — ни положительное, ни отрицательное действительное число.
При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.
Действительные числа на координатной прямой
Координатная прямая — это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.
Интересный факт: действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.
Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Представления действительных чисел
По определению действительными числами являются:
Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.
Также из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений
будут действительные числа.
Сравнение действительных чисел
Любые действительные числа можно сравнивать. Для сравнения действительных чисел есть два способа:
Виды чисел.
У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.
Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…
Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…
Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида: 
где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например: 
Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида
Например: √2; √5; π; e
Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка: 
Видно их вложенность друг в друга.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Действительные числа: определение, примеры, представления
Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.
Определение действительных чисел
Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?
Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:
Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.
Координатная прямая и действительные числа
Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.
Представления действительных чисел
Под определение дейситвительных чисел попадают:
Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.
Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.
ЧИСЛА
У меня плохая память на числа. Нужно, например, запомнить чей-нибудь адрес — обязательно забуду номер дома или квартиры, а уж про номера телефонов и говорить нечего. И вот однажды иду из школы и вижу новый дом стоит, у входа вывеска: «Стол находок забытых чисел». Ура! Значит, забытое число можно найти, как зонтик. Вошёл. Вижу стол, за столом сидит человек, наверное заведующий. «Что тебе надо? — спрашивает.— Забыл какое-нибудь число? Ну, что ж, сейчас мы его найдём. У меня здесь хранятся все числа, какие есть на свете. Что за приметы у твоего числа?» «Разве у чисел бывают приметы?» — удивился я. «Очень много! И обычные, и особые, и всякие признаки, свойства. Прежде чем забыть какое-нибудь число, надо запомнить хотя бы несколько его примет. Иначе его не найти».
Заведующий выдвинул ящичек из шкафа и достал карточку. На ней было написано: 28 017.
«Какая огромная ЦИФРА!» — воскликнул я. «Что ты такое говоришь!? — всплеснул руками заведующий.— Разве цифры могут быть огромными или маленькими? Цифры — это знаки, которыми записывается число, как слово — буквами. Таких знаков всего десять.
А 28 017 — число, оно записано пятью цифрами и потому называется пятизначным. Вот первый важный признак целого числа». «Целого?» — переспросил я.— Значит, есть и разбитые?» «Если тебе так нравится, называй их разбитыми. Хотя лучше всё-таки называть эти числа дробными. Но вернёмся к числу 28 017. Какой у него ещё признак? Это число положительное». «Разве есть отрицательные?»— спросил я. «Конечно».— «А какая между ними разница?» — «Прежде всего то, что положительное число всегда больше НУЛЯ, а отрицательное — меньше нуля».— «Что же это за число, которое меньше нуля? Ведь нуль — ничего, пустое место».— «Ошибаешься, в математике нуль тоже число. Пограничное число между положительными и отрицательными числами». «Неужели нельзя обойтись без отрицательных чисел?»— проворчал я. «Вот именно нельзя. Без них математики как без рук. Но вернёмся всё-таки к нашему числу 28 017. Какие ещё у него есть признаки? Ну, хотя бы то, что это число действительное». «В таком случае есть числа недействительные?»— засмеялся я. «Нечего смеяться. Недействительных нет, а есть числа, которые называют мнимыми. Но хоть они и мнимые, с ними можно производить все математические действия. Число 28 017 обладает ещё одним признаком: оно рациональное». Дело в том, что есть числа, которые можно записать только приближённо. Это иррациональные числа. Нельзя, например, точно сказать, сколько раз диаметр ОКРУЖНОСТИ укладывается в самой окружности. Он укладывается больше, чем 3,14 раза, но меньше, чем 3,15 раза. Точно указать это число невозможно. Это иррациональное число». «Ну, теперь всё,— обрадовался я.— 28 017 — число пятизначное, целое, положительное, действительное и рациональное». «Добавь ещё, что оно нечётное,— сказал заведующий.— Ещё у числа могут быть особые признаки. Например, сумма его цифр: 2 + 8 + 0 + 7 = = 18. Обрати также внимание на то, что число 28 017 составное. Это значит, что его можно разложить на множители. Ты, конечно, знаешь, что есть числа простые, которые, кроме как на единицу и само на себя, ни на что не делятся. Вот первые десять простых чисел: 2, 3, 5, 7, 1 1, 13, 17, 19, 23, 29. Но это только первые, а их — бесконечное множество. Самое большое известное нам простое число тридцатидевятизначное! Какое стоит за ним, ещё неизвестно». «А почему вы думаете, что 28 017—число составное?»— спросил я. «Потому что оно обязательно делится на 3, на 9 и на 11».— «Как вы догадались?» — «Я не догадывался, я просто взглянул на сумму его цифр — 18 — и увидел, что эта сумма делится и на 3, и на 9. А раз так, то и само число обязательно разделится на 3 и на 9». «А как вы узнали, что оно делится на 11?» — не унимался я. «Я сложил цифры этого числа через одно, сначала 2 + 0 + + 7 = 9, затем 8 + 1=9. И тут и там получилась одна и та же сумма. А уж в этом случае число обязательно разделится на 11. Всё это называется признаками делимости чисел на 3, 9 и 11».— «Интересно! А есть признаки делимости на другие числа?» — «Есть. И на 2, и на 4, и на 5. А теперь я тебе расскажу об одной замечательной особенности числа 28 017. Первые две его цифры образуют двузначное число 28. Это — замечательное число. Его называют совершенным. Сложи все его младшие делители, и ты получишь в сумме само число 28: 1 + + 2 + 4 + 7+14 = 28. Таких совершенных чисел известно пока только шесть. Я мог бы тебе рассказать и о других числах, да это, пожалуй, рановато. Поэтому отложим до другого раза. А сейчас — до свиданья!»
Теперь я очень внимательно отношусь к числам. Увижу какое-нибудь число и думаю: а какие у него свойства? Между прочим, память у меня стала гораздо лучше.
А кроме того, я прочитал книгу В. Лёвшина «Три дня в стране Карликании». Там о числах рассказано очень много интересного.