Что такое несвободное тело

Свободные и несвободные тела. Связи и реакции связей

В механике различают свободные и несвободные тела. Материальное тело называется свободным, если ничто не препятствует его перемещениям в любом направлении. Если же какие-либо другие тела ограничивают свободу перемещений данного тела, то оно называется несвободным. Тела, ограничивающие свободу перемещений данного тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на данное несвободное тело, называется реакцией связи.

Все силы, действующие на несвободное тело, можно разделить на активные силы и реакции связей. Активными будем называть те силы, которые продолжают действовать на тело и после освобождения его от связей.

Рассмотрим примеры некоторых связей и их реакций.

Поскольку направление этой реакции заранее неизвестно, (рис.8а), то при решении задач ее раскладывают на две составляющие вдоль осей координат . Модуль реакции определяется по формуле:

Условное обозначение данного шарнирного соединения представлено на рис. 8б.

Реакция подвижной шарнирной опоры всегда направлена перпендикулярно плоскости, на которую опираются ее катки.

Реакция сферического шарнира может иметь любое, заранее неизвестное, направление в пространстве и раскладывается на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 10).

Модуль этой реакции определяется формулой:

Как и в предыдущем случае, реакция подпятника может иметь любое, заранее неизвестное, направление в пространстве и раскладывается на три составляющие, направленные вдоль осей координат (рис. 11). Модуль этой реакции определяется формулой, аналогичной предыдущей.

8. Стержень

Пусть тело опирается на жесткий невесомый стержень, прикрепленный с помощью шарниров в точке тела и к какой неподвижной опоре в точке (рис. 12).

Реакция направлена вдоль прямой, проходящей через центры шарниров и , причем от стержня к телу, если стержень сжимается, и от тела к стержню, если он растягивается.

На рис. 12 изображен случай сжатия стержня.

Рассмотрим тело, которое жестко заделано в точке в другое тело так, что их взаимные перемещения невозможны (рис. 13). Реакция в этой точке раскладывается на три составляющие: это составляющие , , направленные вдоль осей координат, а также реактивный момент в заделке .

Основные законы механики сформулированы для свободных материальных тел. В подавляющей же части механики решаются вопросы статики и динамики несвободных тел. При этом используется принцип освобождаемости от связей: несвободное материальное тело можно рассматривать как сво бодное, если мысленно отбросить связи и заменить их действие реакциями связей.

Заметим, что в процессе решения задач не приводят отдельного чертежа с изображением тела, освобожденного мысленно от связей, а показывают реакции связей на исходном чертеже.

Применяя принцип освобождаемости от связей можно записать основное уравнение динамики для несвободной материальной точки в виде,

, (10)

где и – равнодействующие активных сил и реакций связей, приложенных к точке.

В отличие от активных сил, значения реакций связей обычно заранее неизвестны.

Поскольку основные законы механики не сформулированы применительно к гибким телам, необходимо дополнить эти законы принципом отвердевания, утверждающим, что кинематическое состояние тела или системы тел не нарушается, если гибкие тела отвердеют.

Вопросы для самопроверки к разделу 1

1. Что называется материальной точкой, абсолютно твердым телом, механической системой?

2. Чем отличается абсолютно твердое тело от реального твердого тела?

3. Почему сила является векторной величиной?

4. Что такое инерция или инертность материальных тел?

5. Сформулируйте основной закон механики.

6. Какой принцип механики позволяет изучать движение точки в случае, когда на нее действует система сил?

7. Разложите вектор силы по координатным осям.

8. Какой принцип механики позволяет изучать механику несвободных материальных тел?

9. Решите самостоятельно задачи 2.7, 2.11, 2.16, 2.17, 6.3, 6.7 из или .

Источник

Несвободное тело. Связи и реакции связей.

СТАТИКА

Основные определения и задачи статики.

Предмет статики: Статика – раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием сил.

Равновесие механической системы – состояние механической системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил остаются в покое относительно рассматриваемой системы отсчета. Изучают не реальные тела, а их модели (материальная точка, механическая система, абсолютно твердое тело).

Материальная точка – точка, обладающая массой. Механическая система – совокупность материальных точек (материальное тело). Абсолютно твердое тело – материальное тело, в котором расстояние между двумя любыми точками всегда остаются неизменным.

Сила:Механическое действие – действие на данное материальное тело со стороны других материальных тел, которое приводит к изменению скоростей точек этого тела ил следствием которого является изменение относительного положения частей данного тела.

Сила– векторная величина, являющаяся мерой механического действия одного материального тела на другое (Н). Сила характеризуется: 1) величиной или модулем 2) направлением действия 3) точкой приложения. Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлен вектор, изображающий силу.

Система сил. Классификация сил:Система сил – любая совокупность сил, действующих на систему (F1, F2, …, Fn).

Плоская система – линия действия сил которой лежат в одной плоскости.

Пространственная – линия действия сил которой лежат в одной плоскости.

Уравновешенная – система сил, которая, будучи приложенной к свободному твердому телу, находящемуся в покое, не выходит из этого состояния.

Эквивалентные – две или несколько систем сил, имеющих одну и ту же уравновешивающую систему сил.

Равнодействующая – сила, эквивалентная данной системе сил.

Уравновешивающая сила – сила, равная равнодействующей по модулю и действующая вдоль той же прямой в противоположном направлении.

Силы действующие на механическую систему или тело. Разделяют на внутренние и внешние. Внешняя сила – сила действующая на какую-либо материальную точку механической системы со стороны тел, не принадлежащая рассматриваемой механической системе. Внутренняя – действует на какую-либо материальную точку механической системы со стороны других материальных точек, принадлежащих рассматриваемой механической системе.

Сосредоточенная – сила, приложенная к какой-нибудь точке тела.

Поверхностные и массовые силы представляют собой распределенные силы. Система распределенных сил характеризуется интенсивностью q. (интенсивность есть сила, приходящаяся на единичную длину (Н/м), площадь (Н/м²) или объем (Н/м³)). При решении задач статики систему распределенных сил заменяют ее равнодействующей. Равнодействующая плоской системы равномерно распределенных параллельных сил R = lq.Система сил распределенных в виде прямоугольного треугольника имеет равнодействующую R = ½*lqmax, линия действия которой отстоит отqmaxна 1/3 длины l.

Основные задачи статики:1) определение условий равновесия твердого тела под действием различных систем сил; 2) преобразование систем сил, действующих на твердое тело, в системы, им эквивалентные, в частности, приведение данной системы сил к более простой, оказывающей то же воздействие на движение тела, что и исходная система сил.

Аксиомы статики.

Условие равновесия тела при действии двух сил: Свободное твердое тело находится в равновесии при действии сил F1 и F2 тогда и только тогда, когда они равны по модулю и направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны.

Присоединение и исключение уравновешенных систем сил: К любой системе сил, действующей на твердое тело, можно добавлять уравновешенную систему сил. Следствие этой аксиомы: действие силы на твердое тело не измениться, если перенести ее в любую точку на линии действия силы. Вектор силы есть скользящий вектор.

Параллелограмм и параллелепипед сил: Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке твердого тела под углом друг к другу, изображается вектором – диагональю параллелограмма, стороны которого образуют векторы этих сил. Равнодействующая R = F1 + F2. Модуль равнодействующей R = √F1+F2+2F1F2cos(F1˄F2). Закон параллелограмма: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Закон равенства действия и противодействия: два тела взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю и противоположно направленными. При этом силы F1 и F2 не образуют уравновешенную систему сил, так как приложены к разным телам.

Принцип отвердевания: условия равновесия деформируемого тела не нарушается, если считать его абсолютно твердым.

Несвободное тело. Связи и реакции связей.

Свободное твердое тело – тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений (воздушный шар в воздухе).

Несвободное твердое тело – тело, на перемещение которого наложены ограничения, на такие тела наложены связи.

Связи – ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.

Реакции связей – силы, действующие на материальные точки механической системы со стороны материальных тел, осуществляющих связи, наложенные на эту систему. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.

Если сила действует на связь, то реакция связи будет противодействием.

Принцип освобождения от связей: любое несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если условно освободить его от связей и заменить их действие на тело реакциями связей.

Виды связей и их реакции:Основные связи механических систем:

Гладкая поверхность: поверхности гладкие, если силами трения, возникающими в точках контакта, можно пренебречь. Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция RA направлена по нормали к другой поверхности.

Гибкая нерастяжимая нить: реакция RA или RВ направлена вдоль нити к точке подвеса.

Невесомый жесткий стержень: — это стержень, массой которого можно пренебречь. Связь выполняется с помощью жесткого стержня, концы которого закреплены шарнирно. Реакция RA или RВ направлена вдоль прямой, соединяющей центры шарниров.

Неподвижный шарнир: такая опора состоит из двух обойм, между которыми расположен цилиндрический стержень. Одна опора закреплена на балке, а другая – на неподвижном основании. Балка и стержень могут только поворачиваться относительно оси шарнира. Реакция связи действует в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира.

Подвижный шарнир: Нижняя обойма в опоре установлена на цилиндрические катки. Балка имеет возможность поворачиваться относительно оси шарнира и перемещаться вдоль опорной плоскости катков. Реакция связи RA направлена перпендикулярно к опорной плоскости катков.

Сферический шарнир: Такая связь допускает вращение соединяемых тел относительно координатных осей, но без перемещения вдоль этих осей. Реакция связи проходит через центр шарнира, а ее определяется составляющими по координатным осям: R= Rx+ Ry+ Rz.

Подпятник: препятствует осевым и радиальным перемещениям тела. Реакция подпятника может иметь произвольное направление в пространстве.

Шероховатая поверхность: Реакцию обычно определяют по двум ее составляющим: нормальной реакции и касательной-силе трения: R= Rn+Ff. Сила трения может принимать значения от 0 до max-го значения, кот достигается в момент выхода тела из положения равновесия. Ffmax=fRn. При скольжении Ff =fvRn.

Система сходящихся сил.

— система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Ломаная линия, звенья которой равны и параллельны векторам заданных сил, называется силовым многоугольником или многоугольником сил.

Равнодействующая системы сходящихся сил определяется замыкающей стороной многоугольника сил, приложена в точке пересечения линий действия исходных сил и равна их геометрической сумме: R=F1+F2+…+Fn=ΣFj.

Главным вектором системы сил называется величина, равная геометрической сумме всех сил системы: R=ΣFj. Равнодействующая системы сходящихся сил равна их главному вектору. Модуль равнодействующей R=√(R²x+R²y+R²z), а косинусы – косинусы углов между R и осями координат: cos(R˄i)=Rx/R …

Условия уравновешенности системы сходящихся сил: для уравновешенности системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю: R=ΣFj=0.

Для равновесия тела при действии на него пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих тел на каждую из координатных осе была равна 0: Σ=Fjх=0, Σ=Fjу=0, Σ=Fjz=0.

Теорема о трех непараллельных силах: Если твердое тело находится в равновесии при действии трех непараллельных сил и линии действия двух из них пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и линии их действия пересекаются в одной точке.

Источник

Лекция 2. Связи и их реакции

2.1. Понятие о связях

В Лекции 1 были даны определения свободных и несвободных тел. Возможное движение таких тел, соответственно, ничем не ограничено или же, наоборот, стеснено другими телами. Любые ограничения, накладываемые на движение тела, называют связями. Как правило, связи реализуются с помощью других тел.

Пример. Для лежащего на столе карандаша стол служит связью – он не дает карандашу падать вниз.

Пытаясь двигаться, тело вступает с наложенной на него связью в механическое взаимодействие и действует на нее с силой, которую называют силой давления на связь. Согласно закону равенства действия и противодействия, связь действует на тело с силой, равной по модулю, но противоположной по направлению. Сила, с которой связь действует на тело, называется силой реакции или реакцией связи. Она направлена в сторону, противоположную той, куда связь мешает телу двигаться. В более сложных случаях связь описывается не одной силой, а системой сил.

В теоретической механике применяется принцип освобождаемости от связей:

Пример. Карандаш, лежащий на столе, под действием силы тяжести \(\vec G\) должен двигаться вниз. Этого не происходит, потому что на карандаш действует реакция стола \(\vec N\), направленная вверх и уравновешивающая силу тяжести (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Карандаш под действием силы тяжести и реакции связи

Как правило, проектируемые сооружения, конструкции и механизмы не «плавают свободно» в пространстве; их перемещения стеснены какими-то связями. Поэтому поиск реакций связей, наложенных на тело, – важная задача. Знать реакции связей, наложенные на тело, необходимо по двум причинам:

Требуется знать, выдержит ли связь давление, оказываемое на нее телом. Это давление равно реакции, которую развивает связь.

Пример. Мосты и путепроводы могут выдерживать строго определенную нагрузку, поэтому на них устанавливают ограничения по массе въезжающих автомобилей и устанавливают соответствующие дорожные знаки (рис. 2.2). В этом примере мост служит связью для изучаемого твердого тела (автомобиля).

Пример. Спускаемые модули космических кораблей проектируют таким образом, чтобы они выдерживали жесткую посадку (удар о Землю). При ударе на эти модули действует сила реакции Земли, не дающей им падать дальше.

2.2. Простейшие виды связей

Ниже рассматриваются некоторые виды связей и указываются направления их реакций.

Гладкая поверхность (опора). Будем называть гладкой поверхность, трением о которую можно пренебречь. Реакция \(\vec N\) этой связи направлена перпендикулярно поверхности. Это объясняется тем, что при движении вдоль гладкой поверхности сопротивления не возникает; зато связь мешает телу «проваливаться» внутрь поверхности. Если поверхность искривлена, то сила ее реакции направлена перпендикулярно к касательной плоскости (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Направление реакции плоской горизонтальной, плоской наклонной и искривленной поверхности

Замечание. Соприкосновение тела и поверхности может происходить не в единственной точке, а на некоторой площадке. Это значит, что действие тела на поверхность (как и ее реакция) будут представлять собой распределенную силу. Для простоты вычислений ее заменяют сосредоточенной равнодействующей.

Из-за того, что вектор \(\vec N\) направлен перпендикулярно (по нормали) к поверхности, эту реакцию также называют нормальной.

Пример. Гладкой поверхностью можно считать стол, на котором покоится некий предмет, например, карандаш (см. рис. 2.1).

Если одна поверхность опирается на другую своим ребром (изломом), то направление реакции перпендикулярно той поверхности, к которой в месте контакта можно провести касательную. Так, на рис. 2.4 а) показаны реакции поверхности в двух точках – A и B. Если же обе поверхности в месте соприкосновения имеют излом, как в точке A на рис. 2.4 б), то направление реакции нельзя определить заранее.

Однако положение равновесия, подобное рис. 2.4 б), крайне неустойчиво. Если представить себе, что на рисунке изображена балка, положенная на бордюр, то она упадет при малейшем сотрясении. Поэтому указанный случай представляет, скорее, теоретический интерес.

Нить. Представление о такой связи дает леска, на которой подвешен груз. Нить предполагается невесомой, гибкой (она может сминаться), тонкой и нерастяжимой (сохраняющей свою длину). Эпитет «тонкая» означает, что ее толщина много меньше длины, и поэтому свойства нити одинаковы во всех точках ее поперечного сечения. Такая связь препятствует движению тела лишь в одном направлении – вдоль по нити в сторону ее растяжения. Поэтому реакция данной связи (натяжение \(\vec T\)) направлена вдоль нити в сторону точки подвеса (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Направление натяжения нити

Пример. На груз маятника действуют две силы: тяжести \(\vec G\) и натяжения нити \(\vec T\) (рис. 2.6). Согласно правилу параллелограмма, они имеют равнодействующую, которая в положении, указанном на рисунке, направлена вниз и налево. Поэтому маятник, выведенный из вертикального положения и предоставленный сам себе, начнет двигаться в обозначенную сторону.

Цилиндрический шарнир (подшипник). Эта связь соединяет два тела так, что одно может вращаться относительно другого вокруг оси, называемой осью шарнира. Считается, что реакция \(\vec R\) шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной его оси; но заранее определить направление реакции в этой плоскости, как правило, нельзя. Дело в том, что подобное закрепление тела не позволяет ему двигаться в любом направлении, перпендикулярном указанной оси.

Пример. Соединение двери и косяка с помощью петель (рис. 2.7) можно считать шарниром. Действительно, прикладывая усилие, перпендикулярное оси вращения, нельзя «сдернуть» дверь с петель, не повредив косяка.

В двух предыдущих случаях (опора и нить) задача об определении реакции связи содержала одну неизвестную величину – модуль (числовое значение) реакции. В случае цилиндрического шарнира искомых величин две – надо узнать еще и направление реакции в плоскости вращения. Но выбирают неизвестные разными способами, в зависимости от удобства.

Во-первых, можно искать модуль реакции R и угол α, образуемый данным вектором с какой-либо прямой в плоскости вращения. Если ввести в этой плоскости систему координат, этой прямой может быть, например, ось абсцисс, как на рис. 2.8 а). Во-вторых, можно разложить искомый вектор \(\vec R\) на две составляющие, направленные вдоль осей координат, как на рис. 2.8 б). Тогда потребуется найти числовую величину каждой из составляющих.

Рис. 2.8. Тело AB закреплено в точке А с помощью цилиндрического шарнира

Сферический шарнир соединяет тела так, что они могут вращаться друг относительно друга вокруг одной точки – центра шарнира (рис. 2.9).

Указанная точка не может совершить никакого перемещения относительно обоих тел. Поэтому реакция сферического шарнира в пространстве может иметь любое направление. Аналогично цилиндрическому шарниру, при решении задач эту реакцию часто раскладывают на три компоненты, направленные вдоль координатных осей (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Сферический шарнир A реагирует на тело AB с силой \(\vec R\), которая раскладывается на компоненты \(\vec X_\), \(\vec Y_\) и \(\vec Z_\)

Частным случаем сферического шарнира является подпятник – подшипник с упором. Его схематичное изображение представлено на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Тело AB в точке A связано подпятником

Реакция подпятника также имеет произвольное направление в пространстве.

Подвижный шарнир. Конструктивно эта связь представляет собой цилиндрический или сферический шарнир, соединяющий тело с некоторой поверхностью и способный перемещаться по ней. Такая способность может достигаться водружением шарнира на катки (из-за чего его также называют опорой на катках). Поскольку шарнир не препятствует движению тела вдоль поверхности, его реакция направлена перпендикулярно ей (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Реакция подвижного шарнира

Пример. Подвижные шарниры могут использоваться при строительстве металлических мостов. Если оба конца такого моста закрепить неподвижно, то летом, удлинняясь при повышении температуры, мост будет выгибаться дугой (рис. 2.13 а). Зимой при охлаждении конструкция станет сужаться, пытаясь сорвать крепления (рис. 2.13 б).

Рис. 2.13. Металлический мост при нагревании и охлаждении

Такие деформации малозаметны, но, повторяясь из года в год, они могут не только привести в негодность дорожное покрытие, но и вызвать разрушение самого моста. Поэтому один из неподвижных шарниров заменяют подвижным (рис. 2.14). Это дает мосту возможность растягиваться и сжиматься без катастрофических последствий.

C математической точки зрения подвижный шарнир полностью аналогичен опоре: реакции обеих связей перпендикулярны рассматриваемой поверхности. Тем не менее, из-за его конструктивных особенностей подвижный шарнир лучше рассматривать отдельно.

Невесомый стержень служит для соединения двух тел; предполагается, что к обоим телам он прикреплен шарнирами (как правило, сферическими, если тела рассматриваются в пространстве, и цилиндрическими, если речь идет о плоской задаче). Аналогично нити, толщина стержня обычно много меньше его длины, и ее не берут в расчет. Кроме того, как понятно из названия, весом такого стержня по сравнению с наложенной на него нагрузкой можно пренебречь.

Замечание. «Невесомость» стержня – это очередная идеализация. Металлические стержни, составляющие каркас многих строительных конструкций, могут иметь массу в десятки и сотни килограммов (соответственно, их вес может составлять тысячи ньютонов). Но они воспринимают нагрузку во много раз большую: например, достаточно сравнить массу металлической арматуры со всей массой железобетонной плиты. Поэтому весом стержней зачастую пренебрегают.

Реакция \(\vec S\) прямого невесомого стержня, имеющего шарнирное закрепление, направлена вдоль самого стержня. Действительно, пусть стержень AB соединяет два тела: AC и BC (рис. 2.15).

Рис. 2.15. Определение направления реакции прямого стержня

Это значит, что к нему приложены две силы – в точках A и B. Поскольку стержень неподвижен, они находятся в равновесии. Согласно первой аксиоме статики, это значит, что эти силы направлены вдоль стержня. По закону равенства действия и противодействия, стержень реагирует на это воздействие с силой, равной по модулю, но противоположной по направлению. Поэтому реакция также направлена вдоль стержня.

Рассуждая аналогичным образом, легко показать, что реакция криволинейного шарнирно закрепленного стержня направлена вдоль хорды, соединяющей его концы (рис. 2.16).

Рис. 2.16. Определение направления реакции изогнутого стержня

Следует учитывать, что имеется два возможных направления реакции данной связи; выбор конкретного направления зависит как от состояния, в котором находится стержень, так и от того, в каком из концов тела эта реакция рассматривается. Так, выше на рис. 2.15 и рис. 2.16 изображены случаи, в которых стержень сжат (например, он удерживает плиту BC от падения на горизонтальную поверхность AC). Противодействуя этому сжатию, он стремится растянуться, поэтому реакция \(\vec S\) в точке B направлена в сторону от стержня. Если стержень растянут (например, он скрепляет тела AC и BC, а мы стараемся оторвать одно тело от другого), то он попытается сжаться, и направление вектора \(\vec S\) следует изменить на противоположное – развернуть его внутрь стержня.

Иногда можно рассматривать стержень как результат отвердевания нити. Например, с точки зрения теоретической механики безразлично, как груз маятника соединяется с часовым механизмом: с помощью тонкой нити или стержня. Тем не менее, между двумя этими связями существует разница. В отличие от нити, стержень не может сминаться. Кроме того, направление реакции нити определено однозначно, а реакция стержня может быть направлена двумя разными способами.

Существуют и другие виды связей, которые будут рассмотрены в Лекции 3.

2.3. Тело на гладкой наклонной плоскости

Ниже мы рассмотрим простой, но важный пример, на котором покажем последовательность решения задач о равновесии твердого тела.

Пусть груз веса P находится на гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α, и удерживается нитью, натянутой вдоль самой поверхности. Требуется найти реакцию плоскости N и натяжение нити T. Параметр α может меняться в пределах от 0° до 90°.

Разобьем решение на несколько этапов.

Выберем тело, равновесие которого будет рассматриваться (в нашем случае – груз) и сделаем первоначальный чертеж (рис. 2.17)

Изобразим силы, действующие на выбранное тело. В нашем случае на груз действует сила тяжести \(\vec G\), направленная вертикально вниз и численно равная его весу P. Движение груза ограничено двумя связями – поверхностью и нитью. Согласно принципу освобождаемости от связей, их можно отбросить, заменив реакциями – нормальной реакцией \(\vec N\) и натяжением \(\vec T\), соответственно (рис. 2.18).

Составим условия равновесия. Поскольку система сил, действующих на тело, сходится (мы пренебрегаем размерами груза), то условие равновесия выражается единственным векторным равенством:

Введем систему координат так, как показано на рис. 2.19: ось x направим параллельно поверхности, ось y – перпендикулярно ей.

Спроецируем обе части равенства (2.1) на оси координат и получим систему линейных уравнений относительно неизвестных N и T:

При нахождении проекций мы воспользовались известным из планиметрии фактом: если соответственные стороны двух углов перпендикулярны, то эти углы равны. Фактически это утверждение означает, что один угол получается из другого поворотом на 90° и последующим переносом в другое место на плоскости.

Горизонтальная прямая перпендикулярна линии действия силы \(\vec G\), оси x и y также перпендикулярны. Поэтому угол между вектором \(\vec G\) и отрицательным направлением оси y равен углу α между горизонтальной прямой и осью x.

В более сложных задачах, в которых к телу прикладывается большое количество сил, можно оформлять вычисление проекций на координатные оси в виде таблицы:

Уравнения в проекции на ту или иную ось получаются суммированием (с учетом знаков) всех слагаемых в соответствующей строке таблицы.

Решим полученную систему и проанализируем решение. Из (2.2) получаем, что T = P sin α, N = P cos α. Тем самым, реакции связей найдены; выясним, как они ведут себя в зависимости от угла α. При α = 0° получаем N = P, T = 0, что согласуется с чисто физическими соображениями: если опорная поверхность горизонтальна, то она полностью воспринимает вес груза, а удерживающая нить остается ненатянутой. При α = 90° (вертикальная поверхность) N = 0, T = P, т.е. груз удерживается только нитью, а поверхность его движению не препятствует.

В общем случае, если убрать нить (положить T = 0 независимо от веса P), то груз не будет находиться в равновесии. Действительно, проекция вектора \(\vec G+\vec N\) на ось y равна нулю, а на ось x она составляет –P sin α. При α ≠ 0° эта проекция меньше нуля, а значит, тело станет двигаться в сторону, противоположную оси y (вниз).

Из нашего решения и закона равенства действия и противодействия следует, что сила давления груза на опорную плоскость равна P sin α, а на нить – P cos α. Если максимально допустимые для опоры и нити нагрузки меньше указанных значений, то связи не выдержат указанного давления: плоскость может деформироваться или разрушиться, а нить – оборваться.

Замечание. Направление координатных осей выбирается из соображений удобства. Как правило, они проводятся параллельно или перпендикулярно неизвестным реакциям. Это сводит к минимуму число неизвестных проекций; тем самым, уравнения типа (2.2) упрощаются. Оси координат можно было бы провести и каким-либо другим образом. Например, ось x можно было бы направить по горизонтали направо, а ось y – вертикально вверх; их можно было бы ориентировать относительно сил совершенно произвольным образом. Конечный ответ задачи при этом бы не изменился, но нахождение проекций и последующее решение системы уравнений усложнилось бы. Приемы упрощения уравнений равновесия с помощью выбора системы координат излагаются далее в п. 4.3.

Вопросы для самоконтроля

Груз располагается на конце невесомого стержня, который с помощью цилиндрического шарнира закреплен в неподвижной точке A. Стержень отклонили от вертикали на угол α (рис. 2.20). При каких значениях α груз будет находиться в равновесии? Что изменится, если заменить стержень нитью?

Задачи к лекции

Лампа веса 40 Н подвешена к потолку на двух одинаковых цепочках длины 26 см каждая. Расстояние между точками их подвеса составляет 40 см (рис. 2.21). Найти натяжение каждой из цепочек.

Прибор веса 1200 Н хотят установить на легкую треногу, каждая из ножек которой имеет длину 2 м. В рабочем состоянии основания ножек образуют правильный треугольник со стороной 1 м (рис. 2.22). Выдержит ли тренога нагрузку, создаваемую прибором, если каждая из ее опор рассчитана на максимальную нагрузку 380 Н?

Ответы. 1. 52 Н. 2. Не выдержит: нагрузка на каждую опору составит около 417.79 Н.

Также рекомендуется решить задачи из §§1, 2, 6 [2].

Источник