Что такое невязка угловая невязка
Замкнутый теодолитный ход: обработка и методика рассчета координат
Самой распространённой процедурой в инженерной геодезии считается построение теодолитного хода – системы ломаных линий и измеренных между ними углов. Замкнутым его называют, если он опирается только на один исходный пункт, а его стороны образуют многоугольную фигуру. Рассмотрим подробнее, как создается теодолитный ход замкнутого типа и какие у него особенности.
Разновидности теодолитных ходов
Ходы могут образовывать целые сети, пересекаясь между собой и охватывая значительные территории, а их форма определяется особенностями местности. Их принято разделять на:
– замкнутый (полигон);
– разомкнутый;
– висячий;
– диагональный (прокладывают внутри других ходов).Если необходимо заснять ровный участок, вроде строительной площадки, лучшим выбором будет полигон. На объектах вытянутого типа, вроде автодорог, принято использовать разомкнутый ход, а висячий – для съемки закрытой местности, вроде глухих улиц.
Замкнутый ход по своей сути является многоугольной фигурой и опирается только на один базовый пункт с установленными координатами и дирекционным углом. Вершинами стороны выступают точки, закрепленными на местности, а отрезками – расстояние между ними. Его чаще всего создают для съемки стройплощадок, жилых зданий, промышленных сооружений или земельных участков.
Порядок выполнения работ
Как и другие геодезические мероприятия, эта процедура проводится с предварительной подготовкой для получения точных метрических данных. Немаловажную роль играет также их математическая обработка. Сами работы выполняются по принципу от общего к частному и состоят из следующих этапов:
Рекогносцировка и полевые измерения выполняются непосредственно на объекте и являются наиболее трудоемкими и затратными мероприятиями. Тем не менее, от качества их проведения зависит дальнейший результат.
Обработка данных проводится уже в помещении. Сегодня она осуществляется при помощи специального программного обеспечения, хотя и ручные расчеты все также остаются актуальными и могут быть использованы геодезистом в целях проверки.
Обработка данных
Обработка результатов измерений замкнутого теодолитного хода позволит оценить качество проделанной работы и внести исправления в полученные геометрические величины. Чтобы убедится в том, что угловые и линейные измерения находятся в допуске, еще во время полевых работ выполняют первичные расчеты.
Для вычисления значений координат точек замкнутого хода используют такие данные:
– координаты исходного пункта;
– исходный дирекционный угол;
– горизонтальные углы;
– длины сторон.
Полевые измерения, выполненные даже при соблюдении всех правил и требований, будут иметь неточности. Они обусловлены систематическими и техническими ошибками, а также человеческим фактором.
Расчеты проводятся в определенной последовательности, которую рассмотрим далее.
Уравнивание
n- количество точек полигона;
\(\sum \beta _<изм>\)– значение измеренных угловых величин;
Для получения \(f_<\beta >\), необходимо рассчитать разность между \(\beta _<изм>\), в которой присутствуют погрешности, и \(\sum \beta _<теор>\).
В уравнивании \(f_<\beta >\) выступает как показатель точности проведенных измерительных работ, а ее значение не должно быть выше предельной величины, определяемой из следующей формулы:
t-точность измерительного устройства,
n – количество углов.
Уравнивание заканчивается равномерным распределением полученной невязки между угловыми величинами.
Определение дирекционных углов
При известном значении дирекционного угла (\(\alpha \)) одной стороны и горизонтального (\(\beta \)) можно определить значение следующей стороны:
\(\beta _<пр>\)– значение правого по ходу угла, из чего следует:
Для левого (\(\beta _<лев>\)) эти знаки будут противоположными:
Поскольку значение дирекционного угла не может быть больше, чем \(360^<\circ>\), то из него, соответственно, отнимают \(360^<\circ>\). В случае с отрицательным углом, необходимо к предыдущему \(\alpha \) добавить \(180^<\circ>\) и отнять значение \(\beta _<испр>\).
Вычисление румбов
У румбов и дирекционных углов существует взаимосвязь, а определяют их по четвертям, которые носят название четырех сторон света. Как видно из табл.1. расчёты проводят согласно установленной схеме.
Таблица 1. Расчеты румба в зависимости от пределов дирекционного угла.
| Четверть | Название относительно стороны света | Пределы α | Формула | Знаки приращений | |
| ΔХ | ΔУ | ||||
| I | СВ (северо-восточный) | 0° – 90° | r = α | + | + |
| II | ЮВ (юго-восточный) | 90°-180° | r = 180° – α | – | + |
| III | ЮЗ (юго-западный) | 180°-270° | r = α – 180° | – | – |
| IV | СЗ (северо-западный) | 270°-360° | r = 360° – °α | + | – |
Приращения координат
Для приращений координат в замкнутом ходе применяют формулы, использующиеся при решении прямой геодезической задачи. Ее суть состоит в том, что по известным значениям координат исходного пункта, дирекционного угла и горизонтального приложения можно определить координаты следующего. Исходя из этого, формула приращения значений будет иметь следующий вид:
\(\Delta X = d\cdot cos \alpha \)
\(\Delta Y = d\cdot sin \alpha \)
d-горизонтальное проложение;
α-горизонтальный угол.
Для полигона, который имеет вид замкнутой геометрической фигуры, теоретическая сумма приращений будет равняться нулю для обеих координатных осей:
Линейная невязка и невязка приращения значений координат
Несмотря на вышесказанное, случайные погрешности не позволяют алгебраическим суммам выйти в ноль, поэтому они будут равняться другим невязкам приращений координат:
Переменные \(f_
\) на координатной оси, которую можно рассчитать по формуле:
При этом \(f_
\), не должно быть боле, чем 1/2000 от доли периметра полигона, а распределения \(f_
В этих формулах \(\delta X_\) и \(\delta Y_\) – поправки приращения координат.
і- номера точек;
В расчетах важно не забывать о значениях алгебраической суммы, иначе говоря – знаках. При внесении поправок они должны быть противоположны знакам невязок.
После приращений и внесения поправок в данные измерений, проводят расчет их исправленных значений.
Вычисление координат
Когда будут произведены увязки приращений точек полигона, следует определение координат, которое осуществляют с использованием следующих формул:
Значения \(X_<пос>\) \(Y_<пос>\) – координаты последующих пунктов, \(X_<пр>\) и \(Y_<пр>\) – предыдущих.
\(\Delta X_<исп>\) и \(\Delta Y_<исп>\) – исправленные приращения между этими двумя значениями.
Если координаты первой и последней точки совпадают, то обработку можно считать завершённой.
На основе полученных координат и составленных во время полевых измерений абрисов в дальнейшем составляется план теодолитного хода.
Уравнивание угловых измерений
(вычисление угловой невязки и ее распределение)
Разность между суммой измеренных углов и теоретической их суммой называется угловой невязкой хода и обозначается fβ.
Уравнивание – это процесс математической обработки, в результате которой вычисляется и распределяется невязка.
Вычисляется сумма измеренных углов полигона Σβизм и теоретическая сумма углов Σβтеор. Теоретическая сумма для правых внутренних углов полигона вычисляется по формуле:
Угловая невязка хода fβ вычисляется по формуле
f β =Σβ изм −Σβ теор.
где fβ – фактическая невязка хода, мин; f β доп – предельно допустимая невязка, мин; n – количество измеренных углов полигона.
Вычисленная и допустимая невязки сравниваются.
Средние горизонтальные углы вычисляются с точностью 0,5′, поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью.
Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 0,5′ для исключения десятых долей минуты или 1′.
Контроль. Для контроля распределения поправки находим Σδβ. Если вычисления верны, то Σδβ = − f β.
Вычисляются исправленные углы:
Контроль. Если вычисление и распределение угловой невязки выполнены верно, то сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме:
Вычисление угловой невязки:
Σβ изм =100°37′+102°35′+137°11′+94°53′+104°42′= 539°58′.
Σβ теор = 180°(n − 2) = 180°(5 − 2) = 540°.
f β =Σβ изм −Σβ теор = 539°58′ − 540° = −2′.
Допустимая угловая невязка
Вычисленная угловая невязка меньше допустимой.
Распределение угловой невязки на измеренные углы.
Поправка равна +1′. Ее величина прибавляется к двум измеренным горизонтальным углам:
Σβ испр =100°37′+ 102°36′ + 137°12′+ 94°53′104°42′= 540°.
Вычисление дирекционных углов
По известному дирекционному углу исходной стороны 5–1(α5–1) и по исправленным горизонтальным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формулам для правых горизонтальных углов:
т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправленный горизонтальный угол правый по ходу.
Величина дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°. Если величина дирекционного угла больше 360°, то из результата вычислений необходимо вычесть 360°
Контроль. В замкнутом теодолитном ходе в результате вычислений должен получиться дирекционный угол исходной стороны.
Вычисления дирекционных углов:
Дирекционный угол исходной стороны α5–1 равен 32°47′
Вычисляются остальные дирекционные углы:
Вычисление приращений координат
Вычисление приращений координат выполняется по формулам
где d – горизонтальное проложение (длина) линии;
α – дирекционный угол этой линии.
Приращения координат вычисляются с точностью до двух знаков после запятой.
Вычисления приращения координат
Уравнивание линейных измерений
(уравнивание приращений координат)
Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической их суммой называется линейной невязкой хода и обозначается fХ и fY. Уравнивание линейных измерений выполняется раздельно по осям Х и Y.
Линейные невязки по осям вычисляются по формулам
Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. В замкнутом теодолитном ходе она равна нулю, тогда линейные невязки
Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для чего вычисляются:
– абсолютная невязка хода
– относительная невязка хода
где Р – периметр хода (сумма горизонтальных проложений Σdi), м.
Контроль. После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма равняется невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно, т.е.
Вычисляются исправленные приращения координат по формулам
Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям и получаются исправленные приращения.
Контроль. Вычисляется сумма исправленных приращений.
В замкнутом теодолитном ходе она должна равняться нулю, т.е. должно выполняться равенство
Вычисления линейной невязки
fY = ΣΔY = 114,09+(-16,58)+(−82,31)+ (−87,85)+72,620 = −0,03;
Вычисления поправок в приращения координат:
Вычисления исправленных приращений координат
Сумма исправленных приращений равна нулю, т.е. контроль выполняется.
Вычисление координат точек теодолитного хода
Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам
т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение координат.
Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек замкнутого теодолитного хода должны получиться координаты исходной точки.
Вычисления координат точек теодолитного хода
X4 = X3 + ΔX = 497,98 + (−64,63) = 433,35;
X5 = X4 + ΔX = 433,35+ 100,74 = 534,09;
X1 = X5 + ΔX = 534,09 +111,25 = 645,34;
Y2 = Y1 + ΔY = 896,45+114,095 = 1010,545;
Y4 = Y3 + ΔY = 993,97+ (-82,303) = 911,667;
Y5 = Y4 + ΔY = 911,667 + (−87,843) = 823,824;
Y1 = Y5 + ΔY = 823,824+ 72,626 = 896,45.
Контроль получился, т.е. в результате вычислений получились координаты исходной точки.
1.3.6 Построение контурного плана теодолитной съемки
Из ведомости вычисления координат выбираются максимальное и минимальное значения координат по оси Х и Y и вычисляются средние значения:
Xср = 0,5⋅(Xmax + Xmin ) = 0,5⋅(645,34 + 433,35) = 539,345;
Yср = 0,5⋅(Ymax +Ymin ) = 0,5⋅(1010,545+ 823,824) = 917,1845
В геодезии вертикальная ось – это ось абсцисс (Х), горизонтальная ось – это ось ординат (Y).
Затем вычисляются отрезки аb и cd:
ab = Xср − 500 = 539,45 − 500 = 39,345;
cd = Yср − 700 = 917,1845− 500 = 17,1845.
ЗАДАНИЕ 2. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ И СОСТАВЛЕНИЕ ПРОФИЛЯ ТРАССЫ
2.1 Условия и исходные данные
Трасса длиной L = 0,5 км разбита на пикеты по 100 м. Начало трассы совпадает с пикетом 0. Конец трассы совпадает с пикетом 5.
Для высотной привязки трассы были использованы репера Rp 19 (начало) и Rp 20 (конец).
Трасса имеет один угол поворота – левый. Его величина φ = 60°20′,
Радиус поворота кривой для всех вариантов R = 100 м. Вершина угла поворота – пк3 + 88,62 м.
Румб первоначального прямолинейного участка трассы имеет значение 48°50′ СВ.
Проект сооружения составляется по следующим условиям:
– на пк0 запроектирована насыпь высотой 0,5 м.
– на участке от пк0 до пк1 + 80 уклон проектной линии i1 = –0,020
– на участке от пк1 + 80 до пк4 уклон i2 = 0;
– на участке от пк4 до пк5 уклон i3 = +0,015.
Необходимо:
– вычислить отметки пикетов и плюсовых точек;
– построить продольный и поперечный профили;
Отметки исходных реперов
(Rp20) = Н(Rp19) – 2,101 м + К =190,190 – 2,101 + 0,01 = 188,099 м.
Вычисление превышений между связующими точками
Превышения вычисляются по формулам
где hч и hкр – превышения, определяемые по черной и красной сторонам рейки, мм;
Зч и Зкр – отсчеты по черной и красной сторонам задней рейки;
Пч и Пкр – отсчеты по черной и красной сторонам передней рейки. Если ч кр h − h ≤ ±5 мм
Средние превышения вычисляются до целых миллиметров, т.е. при необходимости результат округляется по правилу округления.
– превышение между пикетами пк0–пк1:
hч = Зч − Пч= 1582−1684 = −102;
hкр = Зкр − Пкр = 6266 − 6370 = −104;
hср = 0,5⋅(hч + hкр) = 0,5⋅ (−102) + (−104) = −103.
Превышение между пикетом 1 и «иксовой» точкой х1:
hч = Зч − Пч =1406 − 2311 = −905;
hкр = Зч − Пч = 6090 − 6995 = −905;
hср = 0,5⋅ (hч + hкр) = 0,5⋅ (−905) + (−905) = −905
Постраничный контроль
Затем на каждой странице производят постраничный контроль, т.е. контрольные вычисления с целью выявления возможных погрешностей, допущенных в процессе вычислений превышений.
Данный контроль выполняется для каждой страницы отдельно.
Для контроля вычисления превышений суммируются числа по столбцам Σ(3); Σ(4); Σ(6); Σ(7); Σ(8); Σ(9) для каждой страницы. Если вычисления превышений и средних превышений выполнены без ошибок, то выполняется равенство
Σ(3) − Σ(4) = Σ(6) − Σ(7) ≈ 2(Σ(8) − Σ(9)).
За счет округления величина 2(Σ(8) − Σ(9)) может отличаться от разности Σ(6) − Σ(7) не более чем на 4–5 мм. Расхождения объясняются возможными отклонениями вследствие округлений при выведении среднего.
Угловые невязки замкнутого и разомкнутого теодолитных ходов
Вследствие ошибок измерений значения горизонтальных углов теодолитного хода всегда будут отличаться от истинных значений. Следовательно, вычисленные дирекционные углы будут отличаться от истинных даже в тех случаях, когда исходные дирекционные углы не содержат ошибок. Поэтому при обработке теодолитных ходов всегда необходимо выполнить оценку точности измерения горизонтальных углов. Оценка точности измерения горизонтальных углов может быть выполнена сравнением суммы измеренных углов с ее теоретическим значением. При этом следует различать обработку замкнутых и разомкнутых ходов.
Замкнутый теодолитный ход представляет собой многоугольник. Если при проложении хода измерялись внешние углы, то внутренние углы многоугольника легко вычисляются как дополнение каждого внешнего угла до 360°, то есть
, (i=1,…, n)
Из геометрии известно, что сумма внутренних углов плоского многоугольника с n сторонами вычисляется по формуле
.
Эту величину называют теоретической суммой углов замкнутого теодолитного хода.
Рассмотрим теперь, чему равна сумма углов разомкнутого теодолитного хода. Для определенности примем, что были измерены правые углы. Тогда мы можем последовательно написать формулы для вычисления каждого последующего дирекционного угла по правилу: дирекционный угол следующей стороны равен дирекционному углу предыдущей плюс 180° и минус правый по ходу угол
;
;
.
Сложим полученные равенства, учитывая, что все дирекционные углы, за исключением 
и 
, встречаются слева и справа от знака равенства. Тогда сумма будет равна
.
Из данной формулы следует выражение для вычисления теоретической суммы правых углов разомкнутого теодолитного хода
.
Аналогичным образом можно получить формулу для теоретической суммы левых углов теодолитного хода
.
Угловая невязка 
теодолитного хода есть разность между суммой 
измеренных углов и ее теоретическим значением 
, то есть
.
Допустимая угловая невязка 
вычисляется по формуле
,
где t – погрешность измерения горизонтального угла одним приемом, n – число измеренных углов.
Если полученная угловая невязка по модулю не превышает допустимую невязку, то есть имеет место соотношение
,
то обработка теодолитного хода может быть продолжена. Если полученная угловая невязка больше допустимой невязки, то вначале необходимо проверить вычисления. Если в результате проверки недопустимость полученной угловой невязки подтверждается, то необходимо более тщательно повторить измерения горизонтальных углов теодолитного хода.
Допустимая угловая невязка должна быть распределена, что означает введение поправок в измеренные значения горизонтальных углов. Распределение угловой невязки теодолитного хода осуществляется в соответствии с принципом равенства поправок во все измеренные углы. (Данный принцип является общим для любых равноточных измерений и уже упоминался при обсуждении распределения поправок в превышения.) Вычисление поправок v в горизонтальные углы выполняется по формуле
,
где n – число измеренных углов, с их округлением до 0.1¢. Говорят, что поправка равна угловой невязке, взятой с противоположным знаком и поделенной на число измеренных углов.
После этого выполняется контроль вычисления поправок в углы: сумма поправок должна равняться угловой невязке, взятой с противоположным знаком:
.
Вследствие ошибок округления при вычислении поправок данное равенство может не выполняться. Чтобы обеспечить выполнение последнего равенства, значения некоторых поправок изменяют на 0.1¢ в нужную сторону. Желательно, чтобы такие поправки располагались равномерно по ходу.
Тема: Основы математической обработки результатов теодолитной съёмки. Вычисление координат вершин теодолитного хода. Составление плана
1. Проверка полевых вычислений и определение поправок в измерения длин линий
_______ Далее вычисляются средние значения длин линии:
 |
_______ В каждую длину линии вводятся поправки по формуле:
 |
_______ Поправки вводятся при:
 |
_______ После уравнивания углов производится вычисление дирекционных углов всех сторон теодолитного хода. _______ Вычисленные дирекционные углы переводятся в румбы.
2. Связь между дирекционными углами и горизонтальными углами теодолитного хода
 |
 |
_______ Дирекционный угол линии последующей равен дирекционному углу линии предыдущей плюс 180 0 минус угол вправо по ходу лежащий.
3. Обработка угловых измерений замкнутого теодолитного хода
 |
 |
_______ где fβ – угловая невязка.
 |
_______ где n –вершина углов, следовательно:
 |
4. Угловая невязка разомкнутого теодолитного хода
 |
Для вычисления ∑β теор. найдем дирекционные углы всех сторон хода:
 |
 |
 |
 |
_______ где αнач. и αкон. – дирекционные углы сторон опорной сети, тогда:
 |
5. Невязки в диагональном ходе
 |
 |
_______ После обработки угловых измерений вычисляются дирекционные углы и румбы всех сторон хода.
6. Прямая и обратная геодезические задачи
6.1. Прямая геодезическая задача: по координатам отрезка прямой (начала), его длине и направлению определить координаты конца отрезка
 |
 |
_______ Прямая геодезическая задача применяется при вычислении координатных точек теодолитного хода.
6.2. Обратная геодезическая задача: по координатам начала и конца отрезка прямой найти его длину и направление
 |
 |
_______ Далее вычисляют arctg и находят числовое значение румба. Название румба определяют по знакам приращений координат, от румба переходят к дирекционному углу.
Длина линии может быть найдена по следующим формулам:
 |
_______ Обратная геодезическая задача применяется при подготовке данных для перенесения проектов сооружений в натуру.
7. Уравнивание приращений координат
_______ Уравниванием называется совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.
_______ Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнвиания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).
7.1. Вычисление координат точек теодолитного хода
 |
_______ Из решения прямой геодезической задачи по известным длинам сторон и румбам вычисляются приращения координат для каждой стороны хода по формулам:
 |
_______ Далее вычисляются невязки в приращениях координат замкнутого хода.
7.2. Вычисление невязок в приращениях координат замкнутого хода
_______ Из геометрии известно, что сумма проекций сторон многоугольника на любую ось равна нулю, следовательно:
 |
_______ Под влиянием ошибок измерений замкнутый полигон будет разомкнутым на величину fр – абсолютная невязка в периметре полигона.
 |
 |
_______ Если полученная невязка недопустима, то необходимо произвести повторное измерение длин линий.
_______ Если невязки допустимы, то они распределяются на приращения координат пропорционально длинам сторон с противоположным знаком, то есть сумма исправленных приращений должна быть точно равна теоретической сумме – в данном случае равна нулю.
7.3. Вычисление невязок в приращениях координат разомкнутого теодолитного хода
_______ Определение допустимости невязок и их распределения производится так же, как для замкнутого теодолитного хода.
 |
 |
Для диагонального хода, например:
 |
 |
_______ По исправленным значениям приращений координат вычисляются координаты всех точек хода по формулам:
 |
8. Построение плана
_______ Построение плана выполняются в следующей последовательности :
1) построение координатной сетки,
2) нанесение вершин теодолитного хода по координатам,
3) нанесение на план контуров местности,
4) оформление плана.
8.1. Построение координатной сетки
_______ 1) построение сетки с помощью линейки Дробышева:
 |
_______ Построение сетки основано на построении прямоугольного треугольника с катетами 50×50 см и гипотенузой 70,711 см ;
2) построение сетки с помощью циркуля, измерителя и масштабной линейки:
 |
_______ Вершины теодолитного хода наносятся на план по координатам относительно сетки с помощью измерителя и поперечного масштаба.
_______ Контроль правильности построения точек выполняется по известным расстояниям между точками. Допустимое расхождение – 0,3 мм в масштабе плана.
_______ Контуры местности наносятся на план в соответствии с абрисами.
_______ Оформление плана выполняется в строгом соответствии с условными знаками, установленными для данного масштаба.