Что такое невырожденная матрица

Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе Неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Для квадратной матрицы над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

Полезное

Смотреть что такое «Невырожденная матрица» в других словарях:

невырожденная матрица — неособенная матрица — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] невырожденная матрица Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость векторов).… … Справочник технического переводчика

Невырожденная матрица — [non singular matrix] квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость век­торов). Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная … Экономико-математический словарь

невырожденная матрица — neypatingoji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non singular matrix; regular matrix vok. nichtausgeartete Matrix, f; nichtsinguläre Matrix, f; reguläre Matrix, f rus. невырожденная матрица, f; неособенная матрица, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas

НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА — неособенная матриц а, квадратная матрица, определитель к рой отличен от нуля. Для квадратной матрицы Анад полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий: 1)A обратима; 2) строки (столбцы) матрицы Алинейно независимы; 3)… … Математическая энциклопедия

МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Обратная матрица — Обратная матрица такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для… … Википедия

ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия

Вырожденная матрица — Вырожденной или сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю. Эквивалентные условия вырожденности Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности: Строки или столбцы матрицы … Википедия

Источник

Невырожденные матрицы

Невырожденные матрицы

Основные понятия

Пусть — квадратная матрица -го порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если определитель не равен нулю: . В противном случае () матрица называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице , называется матрица

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие

где — единичная матрица того же порядка, что и матрица . Матрица имеет те же размеры, что и матрица .

Обратная матрица

Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть

, причем .

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц и :

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2).

Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

т. е.

Отметим свойства обратной матрицы:

Пример №3.1.

Найти если .

Решение:

1) Находим : .

2) Находим : поэтому .

3) Находим : .

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера .

Выделим в ней строк и столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из элементов по .)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где — меньшее из чисел и .

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример №3.4.

Найти ранг матрицы:

Решение:

Вес миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, . Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы (см. с. 18).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

ЧАСТЬ 2. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 6114 ; Нарушение авторских прав

3.1. Основные понятия

Пусть А — квадратная матрица n-го порядка

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определи­тель Δ = det А не равен нулю: Δ = det А ≠ 0. В противном случае (Δ = 0) матрица А называется вырожденной.

Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

где A_ij — алгебраическое дополнение элемента а_ij данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).

3.2. Обратная матрица

Теорема 3.1.Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

, причем det А ≠ 0.

Составим союзную матрицу

и найдем произведение матриц А и А *

Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что

Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде

и

Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем

, т.е

Отметим свойства обратной матрицы:

1. ;

Решение: 1) Находим det A:

Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:

Пример 3.3. Показать, что матрица А является обратной для В, если

,

Решение: Найдем произведение матриц А и В:

Аналогично В · А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В.

Рассмотрим матрицу А размера, т х п.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка. (Заметим, что таких миноров можно составить штук, где — число сочетаний из п элементов по k.)

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(А) или rang A.

Очевидно, что 0 ≤ г ≤ min(m; n), где min(m; n) — меньшее из чисел m и п.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 3.4. Найти ранг матрицы:

Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля . Значит, r(А) = 2. Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не из­менится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях ма­трицы (см. с. 12).

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагона­ли. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.

Пример 3.5. Найти ранг матрицы используя результаты примера 1.4.

Решение: В примере 1.4 показано, что

Таким образом, ранг матрицы А равен r(А) = 2.

Источник

НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА

Смотреть что такое «НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА» в других словарях:

невырожденная матрица — неособенная матрица — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] невырожденная матрица Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость векторов).… … Справочник технического переводчика

Невырожденная матрица — [non singular matrix] квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля; ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость век­торов). Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная … Экономико-математический словарь

Невырожденная матрица — (иначе Неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной. Для квадратной матрицы над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий: обратима, то есть… … Википедия

невырожденная матрица — neypatingoji matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. non singular matrix; regular matrix vok. nichtausgeartete Matrix, f; nichtsinguläre Matrix, f; reguläre Matrix, f rus. невырожденная матрица, f; неособенная матрица, f pranc.… … Fizikos terminų žodynas

МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия

Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

Обратная матрица — Обратная матрица такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для… … Википедия

ЖОРДАНОВА МАТРИЦА — квадратная блочно диагональная матрица J над полем к, имеющая вид где Jm(l) квадратная матрица порядка твида Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]) … Математическая энциклопедия

Вырожденная матрица — Вырожденной или сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю. Эквивалентные условия вырожденности Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности: Строки или столбцы матрицы … Википедия

Источник

Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы M над полем невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

Совокупность всех невырожденных матриц порядка n образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Обычно обозначается [1] GL(n). Если требуется явно указать, какому полю K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут [2] : GL(n,K).

Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n,R), а если комплексные числа, то GL(n,C).

Матрица порядка n заведомо невырождена, если это:

Напишите отзыв о статье «Невырожденная матрица»

Примечания

Литература

: неверное или отсутствующее изображение

Отрывок, характеризующий Невырожденная матрица

Помолчав несколько времени, Платон встал.
– Что ж, я чай, спать хочешь? – сказал он и быстро начал креститься, приговаривая:
– Господи, Иисус Христос, Никола угодник, Фрола и Лавра, господи Иисус Христос, Никола угодник! Фрола и Лавра, господи Иисус Христос – помилуй и спаси нас! – заключил он, поклонился в землю, встал и, вздохнув, сел на свою солому. – Вот так то. Положи, боже, камушком, подними калачиком, – проговорил он и лег, натягивая на себя шинель.
– Какую это ты молитву читал? – спросил Пьер.
– Ась? – проговорил Платон (он уже было заснул). – Читал что? Богу молился. А ты рази не молишься?
– Нет, и я молюсь, – сказал Пьер. – Но что ты говорил: Фрола и Лавра?
– А как же, – быстро отвечал Платон, – лошадиный праздник. И скота жалеть надо, – сказал Каратаев. – Вишь, шельма, свернулась. Угрелась, сукина дочь, – сказал он, ощупав собаку у своих ног, и, повернувшись опять, тотчас же заснул.
Наружи слышались где то вдалеке плач и крики, и сквозь щели балагана виднелся огонь; но в балагане было тихо и темно. Пьер долго не спал и с открытыми глазами лежал в темноте на своем месте, прислушиваясь к мерному храпенью Платона, лежавшего подле него, и чувствовал, что прежде разрушенный мир теперь с новой красотой, на каких то новых и незыблемых основах, воздвигался в его душе.

В балагане, в который поступил Пьер и в котором он пробыл четыре недели, было двадцать три человека пленных солдат, три офицера и два чиновника.
Все они потом как в тумане представлялись Пьеру, но Платон Каратаев остался навсегда в душе Пьера самым сильным и дорогим воспоминанием и олицетворением всего русского, доброго и круглого. Когда на другой день, на рассвете, Пьер увидал своего соседа, первое впечатление чего то круглого подтвердилось вполне: вся фигура Платона в его подпоясанной веревкою французской шинели, в фуражке и лаптях, была круглая, голова была совершенно круглая, спина, грудь, плечи, даже руки, которые он носил, как бы всегда собираясь обнять что то, были круглые; приятная улыбка и большие карие нежные глаза были круглые.

Источник