Что такое объединение треугольников
Многоугольник
Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.
Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:
Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.
    |
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Обозначение многоугольника
Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).
Соседние вершины многоугольника
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
 |
На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)
Смежные стороны многоугольника
Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)
Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник
Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).
  |
На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
 |
На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.
 |
На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.
Правильный многоугольник
Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.
  |
На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.
Звездчатый многоугольник
Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.
 |
На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)
Периметр многоугольника
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_
Угол многоугольника
Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).
Внешний угол многоугольника
Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.
На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:
Сумма углов выпуклого многоугольника
Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_
 |
Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.
Угол правильного многоугольника
Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.
Основные геометрические фигуры
Содержание:
Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур
На рисунках 2.1 и 2.2 изображены различные геометрические фигуры. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.
Часть любой геометрической фигуры ТЭ.КЖ6 ЯВ-ляется геометрической фигурой.
Определение. Любое множество точек называют геометрической фигурой.
На рисунке 2.3 отрезок АВ есть часть прямой а, на рисунке 2.4 круг 
есть часть круга 
, на рисунке 2.5 шар вписан в куб и является частью куба.
Объединение нескольких фигур есть геометрическая фигура. На рисунке 2.6 фигура состоит из трех кругов, на рисунке 2.7 фигура состоит из треугольника и квадратов, на рисунке 2.8 фигура составлена из двух тетраэдров, на рисунке 2.9 фигура состоит из нескольких кубов. Объединение обозначается знаком 
.
Пересечение геометрических фигур есть также геометрическая фигура. На рисунке 2.10 отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р. На рисунке 2.11 также отрезки MP и РК пересекаются в точке Р. Пересечением же отрезков ЕН и КХ на рисунке 2.12 является отрезок НК. Пересечение обозначается знаком 
.
Пример:
Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения двух треугольников. В каждом случае назовите их пересечение.
Решение:
На рисунках 2.13—2.19 показано, что пересечение двух треугольников может:
а) не содержать точек (рис. 2.13);
б) состоять из одной точки (рис. 2.14);
в) быть отрезком (рис. 2.15);
г) быть треугольником (рис. 2.16);
д) быть четырехугольником (рис. 2.17);
е) быть пятиугольником (рис. 2.18);
ж) быть шестиугольником (рис. 2.19).
На рисунках 2.13—2.19 изображены различные случаи пересечения треугольников, если они лежат в одной плоскости. Однако, если треугольники лежат в разных плоскостях, то пересечением может быть:
б) отрезок (рис. 2.21, 2.22);
в) пустое множество точек (рис. 2.23).
Изображение геометрических фигур
Изображение плоских фигур на листе бумаги (или на доске) подчинено некоторым правилам и выполняется с использованием различных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля.
При изображении или построении плоских фигур мы не меняем формы и размеры тех фигур, которые изображаем. При этом сохраняются длины отрезков, величины углов, параллельность прямых и т. д. В геометрии говорят, что при этом получаются равные фигуры. Если нужно изобразить очень большие или очень маленькие фигуры, то сохраняются формы, а размеры могут быть изменены (в одном и том же отношении). При этом получают так называемые подобные фигуры.
Изображать пространственные фигуры на плоскости (листе бумаги) намного сложнее.
Наиболее важные из правил изображения пространственных фигур:
— все линии, которые не видны, которые закрыты гранями (плоскостями), изображаются пунктирными линиями;
— плоскости на рисунках изображаются иногда параллелограммами (рис. 2.24), а чаще — произвольной областью (рис. 2.25);
— длины отрезков сохраняются не всегда, но всегда середины отрезков изображаются серединами их изображения (это свойство означает, что если на модели у нас отмечена середина ребра, то и на рисунке будет обозначена тоже середина ребра);
— параллельные прямые (отрезки), имеющиеся на реальной модели, на рисунках тоже изображаются параллельными прямыми (отрезками).
Точки и прямые
Точки могут произвольно располагаться в пространстве: лежать и не лежать на плоскости (на рис. 2.26 точки А и Б лежат на плоскости, а точка С не лежит), принадлежать различным фигурам и не принадлежать им (на рис. 2.27 точка А принадлежит шару, а на рис. 2.28 не принадлежит ему).
Пусть даны две точки А и В. Проведем через точки А л В прямую (рис. 2.29). У нас появляется еще одно, важное понятие геометрии — прямая, которая также состоит из точек.
Изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем ее часть (рис. 2.29).
Некоторые важные проблемы в геометрии решают путем введения законов — аксиом, которые принимаются без доказательства.
Слово «аксиома» в переводе с греческого языка означает «бесспорная истина, не требующая доказательств», т. е. очевидный факт, ясный сам по себе.
Аксиома 1.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: 
и т. д., а также соответствующими точками, лежащими на ней. Например, прямую 
на рисунке 2.29 можно обозначить АВ.
Взаимное расположение точек и прямых
Точки и прямые могут по-разному располагаться по отношению друг к другу (рис. 2.30).
Про точки М и К говорят, что они лежат на прямой , или что точки М и К принадлежат прямой . Точки А и В не лежат на прямой или не принадлежат прямой а.
Про прямую иногда говорят, что она проходит через точки. Так, прямая на рисунке 2.30 проходит через точки М, К. Можно также сказать, что прямая не проходит через точку А.
В курсе геометрии применяются некоторые удобные знаки, которые относятся к так называемой теории множеств: знак принадлежности 
и знак непринадлежности 
.
Запись 
читается: точка С принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30, можно записать: 
Запись 
читается: точка D не принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30 можно записать: 
Плоскости
Плоскости расположены в пространстве, в пространстве есть бесконечно много различных плоскостей. На рисунке 2.31 изображены несколько плоскостей, пересекающихся по одной прямой, а на рисунке 2.32 — параллельные друг другу плоскости.
На рисунке 2.33 изображены плоскость 
, прямые 
и точки А, В и С. Про точку А и прямую 
говорят, что они лежат в плоскости или принадлежат ей. Про точки Б и С и прямую 
говорят, что они не лежат в плоскости или не принадлежат ей.
Принадлежность прямой плоскости обозначают знаком 
— включение, который показывает, что некоторое множество точек принадлежит другому множеству точек, например:
— точка А принадлежит плоскости 
; 
— точка Б не лежит в плоскости 
;
— прямая принадлежит плоскости 
; 
— прямая не принадлежит плоскости 
.
Одно из свойств взаимного расположения прямой и плоскости формулируется как аксиома — аксиома прямой и плоскости.
Аксиома 2.
Прямая, проходящая через две точки плоскости, принадлежит этой плоскости. (Аксиома прямой и плоскости.)
Аксиома 3.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. (Аксиома плоскости.)
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна, и только одна плоскость.
Любая прямая разбивает плоскость на два непустых множества (рис. 2.34). Объединение прямой с одним из образовавшихся множеств называется полуплоскостью. Прямую называют границей полуплоскости. На рисунке 2.34 прямая одновременно является границей обеих полуплоскостей.
Плоскость разбивает пространство на два множества, которые на рисунке 2.35 заштрихованы. Объединение этой плоскости 
с одним из образовавшихся множеств и называется полупространством. Плоскость 
называется границей полупространства. Из рисунка 2.35 ясно, что плоскость 
определяет сразу два полупространства.
Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:
Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:
Значение символа Валькнут (три треугольника)
Символ валькнут традиционно относят к скандинавской культуре, однако в некоторых источниках можно встретить мнения, что данный знак имеет древнеегипетские или древнегреческие корни.
Также можно встретить мнение, что это славянский оберег. Вероятно, исследователей натолкнуло на такой вывод обнаружение валькнута в изобразительном искусстве многих народов и отсутствие его на изображениях скандинавского бога Одина, с которым собственно символ и отождествляется.
Знак представляет собой переплетающиеся линии, складывающиеся в три треугольника.
Такая конфигурация называется также «узлом убитых» (или «избранных»).
Магический символ по сей день используется в качестве оберега, но есть теории о нежелательности ношения валькнута живым человеком.
Откуда взялся символ валькнут
Валькнут, представляющий собой знак, вмещающий три треугольника, чаще всего встречается на рунических камнях, жертвенниках и изображениях битв или казней.
Также этот знак обнаруживался на ритуальных принадлежностях для погребения.
Традиционно этот символ выбивался на жертвенных камнях, предназначенных для осуществления казни «кровавый орел».
В ходе казни еще живому человеку рассекали ребра, выворачивали их в стороны и доставали легкие. Последние клали на плечи казнимому наподобие крыльев.
Такой способ казни применялся к врагам, плененным в ходе военных конфликтов, а в некоторых источниках описывается как способ мести (например, за убийство).
Это считалось принесением жертвы Одину, поэтому валькнут, как непременный атрибут такого жертвенника, и связывают с этим богом.
По значению валькнут, скорее всего, отображал некий «путь воина»: от земного существования до Вальхаллы и встречи с Одином.
Очевидно, что таким образом воина заблаговременно готовили к загробной жизни.
КСТАТИ! Любопытно, что в период такого ритуального применения самого названия «валькнут» еще не было. Оно появилось в литературных источниках, датируемых примерно 14 – 15 вв.
Значение валькнута как символа
Буквальное значение термина «валькнут» (valrknut) – «узел павших (воинов)».
Воины, убитые на поле боя, отправлялись в Вальхаллу (в скандинавской мифологии – огромный зал с потолком из позолоченных щитов и стенами из копьев.
Это сооружение находится в Асгарде – небесном городе, где обитают боги). Вальхаллой управляет верховный бог Один.
А так как валькнут наносился, в основном, при отправлении воинов «на встречу с Одином», то и знак этот стал отождествляться с этим божеством.
Символизм знака «валькнут» раскрывается в следующих тезисах:
Суммируя все приведенные трактовки, можно вывести такое значение «узла павших» — связь между мирами и временами.
Именно поэтому при помощи этого символа люди пытались (и пытаются) постичь скрытые знания.
Также знак используется в магических ритуалах. Для «простых» людей (не связанных с магией и тайными учениями) валькнут по своему значению символизирует единство духа, души и тела.
Применение такого талисмана позволяет гармонизировать свою жизнь. Однако подходит оберег валькнут отнюдь не ко всем жизненным ситуациям и не всем людям.
ВНИМАНИЕ! Следует все же помнить, что значение «узла павших» исторически прочно ассоциируется с предопределенностью скорой гибели того, кто несет на себе это знак.
Разновидности символа и их внешний вид
Валькнут состоит из трех равносторонних треугольников, которые соединены между собой.
В зависимости от способа их соединения различают 2 разновидности начертания валькнута:
КСТАТИ! Значение валькнута от начертания не меняется. Некоторое изменение смысла наблюдается только от добавления к знаку рун.
Числовой символизм валькнута
Числа играют очень важную роль во всех языческих религиях. Числовой символизм, соответственно, присущ и скандинавскому язычеству.
Числа, отраженные в изображении «узла павших» — это 3 и 9. Они имеют свое собственные сакральное значение. 9 – это число миров в скандинавской мифологии:
Также 9 – число ветвей мирового ясеня Иггдрассиля (по одному на каждый мир). 9 ветвей – основа рун старшего алфавита (футарка). 3 – число норн (богинь судьбы), отражающее настоящее, прошлое и будущее.
Значение валькнута как единения миров
Значение валькнута обычно трактуется как символ единения трех миров – богов, людей и умерших.
Соответственно, это Асгард, Мидгард и Хельхейм. Соединение всех вышеназванных миров дает огромную силу, способствующую познанию.
Эта функция используется магами и ясновидящими для открытия пути к сокрытым знаниям.
Считается, что специфическое взаимодействие с этим магическим символом (например, медитация) дает энергию для трансформации личности, переосмысления действительности и устройства мироздания, которое не открывается в обычных условиях.
Валькнут в руническом круге
Как было сказано выше, руны, расположенные вокруг валькнута, могут менять его значение.
Как правило, этот символ и изображается в окружении рун. Обычно это Дагаз, Турисаз, Уруз и Феху.
Данные руны циклично повторяются, что символизирует прибавление опыта со временем, а также развитие при постоянном продвижении.
При этом положение знака по отношению к руническим символам может иметь 8 вариантов (вариант определяется в зависимости от тех рун, на которые указывают выступающие углы валькнута), отчего изменяется значение оберега валькнут.
Вот смысл рун, в круг которых заключается рассматриваемый знак:
Руны в кругу повторяются, что символизирует непрерывный жизненный цикл и постоянное самосовершенствование носителя.
Как пользоваться валькнутом в качестве оберега
Значение валькнута в повседневном обиходе – стремление к познанию.
Его носят для погружения в тайны окружающего мира и поиска собственного жизненного смысла.
Также талисман способен развивать у носителя способности к ясновидению и логическому мышлению.
Одновременно он оптимизирует когнитивные функции (память, внимание и т. д.).
Но одновременно с вышеперечисленным такой талисман опасен тем, что призывает на носителя серьезные испытания.
Если человек, носящий этот знак, выдержит свалившиеся на него невзгоды, ему даруется доступ к потаенным знаниям.
Используется валькнут в виде всевозможных украшений: браслет валькнут, кулоны, кольца, перстни, сережки, подвески.
Также до сих пор распространена практика нанесения этого знака на тело в качестве татуировки.
ВНИМАНИЕ! Ношение амулета валькнут требует вдумчивого отношения. Считается, что расположение его у сердца значительно ухудшает здоровье (то есть испытание для носителя предстоит со стороны его физического тела). Поэтому желательно носить этот знак либо выше, либо ниже расположения сердца. Этот знак также несет опасность для военнослужащих, поскольку раньше такой символ несли на себе те воины, что отправлялись в свой последний бой.
Значение валькнута в качестве татуировки
Татуировку в виде валькнута можно встретить и сейчас. Считается, что такой нательный рисунок указывает своему носителю верный путь.
Это подходит весьма амбициозным личностям, которые готовы жертвовать всем ради познания истины.
Такая татуировка показана людям, очень сильным духом, которые не привыкли сворачивать с выбранного пути.
Кстати, не рекомендуется применять в нательном рисунке валькнут в сочетании с рунами.
Считается, что так он приобретает совершенно ритуальный смысл (примерно как у воинов, идущих «на встречу с Одином»).
Символ «валькнут» имеет общее значение единения миров. Такой талисман помогает проникнуть в тайны мироздания, но одновременно и провоцирует проблемы в жизни носителя.
Преодоление этих невзгод означает, что человек готов к постижению тайных знаний.
Носитель валькнута должен быть очень силен духом и готов к противостоянию жизненным трудностям.
Если данный материал оказался интересным и полезным для Вас, поделитесь им в социальных сетях.