какие фигуры называются симметричными относительно данной прямой

Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Записаться на марафон

Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)

Источник

Геометрия. 8 класс

Конспект
Рассмотрим прямую a и точку, не принадлежащую ей.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если:
— эта прямая проходит через середину отрезка АА₁
— а ⊥ АА₁.
Прямая a называется осью симметрии. Если точка принадлежит прямой а, то она симметрична сама себе.
Составим алгоритм построения точки, симметричной данной.
Алгоритм построения
• Провести прямую b перпендикулярную прямой а
• Отложить от точки О на прямой b расстояние, равное ОА
• Получить точку А₁

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

(Цвет линий и букв черный)
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Неразвернутый угол имеет одну ось симметрии – прямую, содержащую биссектрису угла.

Подумайте, какие из данных фигур имеют ось симметрии и сколько?
Рассмотрим симметрию относительно точки.
Симметрия относительно точки
Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА₁.

Составим алгоритм построения точки, симметричной данной относительно точки О.
Алгоритм построения
• Соединить точку А и точку О прямой и продолжить прямую за точку О
• От точки О отложить расстояние равное ОА
• Получить точку А₁

Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Центр симметрии имеет круг, квадрат.

Подумайте, какие из данных фигур имеют центр симметрии?

Слово «симметрия» греческое (συμμετρία), оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей», неизменность при каких-либо преобразованиях.
В словаре С.И. Ожегова симметрия – это соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра.
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, искусстве, технике и быту. Симметрия в одежде – это символ строгости. Симметрия в архитектуре – это признак красоты и надежности. Некоторые люди утверждают, что симметрия – это совершенство.
Симметрией обладают некоторые буквы латинского и русского алфавита. Например, буква М обладает осевой симметрией, а буква Х – центральной симметрией.
Многие дорожные знаки обладают осевой или центральной симметрией. Гуляя по городу, приглядитесь к знакам. Найдите такие, которые имеют несколько осей симметрии и такие, которые не имеют осей симметрии.

Есть ось симметрии, центра симметрии нет Есть центр симметрии и 4 оси симметрии
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Источник

ВИДЫ СИММЕТРИИ

СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ (ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ)

Одна точка называются симметричной другой относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно некоторой точки той же фигуры.

зеркальная симметрия

Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии.

Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка или ботинок не подходит для правой руки или ноги и наоборот). Они называются зеркально равными.

центральная симметрия

Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра О, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, проходит через центр О и делится в этой точке пополам. Точка О называется центром симметрии.

поворотная симметрия (симметрия вращения)

При поворотной симметрии переход частей фигуры в новое положение или преобразование исходной фигуры происходит при повороте фигуры на определенный угол вокруг точки, которая называется центром поворота. Поворотная симметрия может рассматриваться на плоскости и в пространстве.

Тело (фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360°/n (n – целое число, например, 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию.

симметрия подобия

Представляет собой своеобразный аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что она связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.

переносная (трансляционная симметрия)

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса.

примеры симметрии геометрических фигур

Разными видами симметрии могут обладать и плоские и объемные фигуры. Например, квадрат, прямоугольник, ромб имеют и центр симметрии и оси симметрии.

Окружность и круг имеют центр симметрии и бесконечно много осей симметрии. Объемные фигуры могут иметь центр симметрии, оси симметрии и обладать зеркальной симметрией.

Правильные многогранники своей симметрией с древних времён привлекали к себе внимание учёных, архитекторов, художников. Их по праву называют самыми симметричными из всех многогранников.

Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида.

Очень симметричной фигурой является, например, куб. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).

Источник

Урок 92 Понятие симметричной фигуры

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Описание презентации по отдельным слайдам:

ПОНЯТИЕ СИММЕТРИЧНОЙ ФИГУРЫ. НАХОЖДЕНИЕ ОСЕЙ СИММЕТРИИ ФИГУР. 6 класс

Устная работа 1. Вычислите: а) 1,23 + 5,57; д) 11,42 – 5,2; з) 3,8 + 7,6; б) 8,33 – 1,25; е) 6,7 + 5,3; и) 10 – 4,7; в) 3,7 + 5,13; ж) 8,5 – 2,35; к) 3,2 – 1,5. г) 9,25 + 7,5;

Правильно идущие часы отражаются в зеркале. Который сейчас час?

Что такое симметрия? Что называют осью симметрии? Какие фигуры называют симметричными?

а) фигура не имеет общих точек с прямой, относительно которой строится симметричная ей фигура

б) фигура имеет одну общую точку с данной прямой

в) одна из сторон фигуры лежит на данной прямой

Вывод: если фигура имеет общие точки с прямой, относительно которой строится симметричная фигура, то после построения в целом получается симметричная фигура, а данная прямая является осью симметрии этой фигуры.

На рис. 1, 2 изображены две фигуры и проведены прямые а и b. Как можно доказать, что эти прямые не являются осями симметрии фигур? Рис.1 Рис.2

Вывод: для того чтобы доказать, что данная прямая не является осью симметрии фигуры, достаточно найти одну точку, для которой нет симметричной на фигуре.

Выполните задания. № 577 № 578; № 586 (а,б);

Задача. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) угол; в) прямая?

Закрепление № 579; № 588.

Оси симметрии равнобедренный прямоугольник квадрат равносторонний окружность прямая

Итог урока. – Какая фигура называется симметричной? – Что такое ось симметрии фигуры? – Как доказать, что данная прямая не является осью симметрии фигуры? – Какие из известных вам фигур являются симметричными? Сколько осей симметрии они имеют?

Домашнее задание. № 576; № 583; № 586 (в).

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Номер материала: ДБ-659109

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Онлайн-конференция о дизайн-мышлении в современной дошкольной педагогике

Время чтения: 2 минуты

Мишустин поручил проводить международную олимпиаду по философии

Время чтения: 0 минут

В Иркутской области продлили школьные каникулы

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки утвердило перечень вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

В школе в Пермском крае произошла стрельба

Время чтения: 1 минута

Кабмин утвердил список вузов, в которых можно получить второе высшее образование бесплатно

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Методическая разработка «Урок геометрии в 8 классе «Виды симметрии»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

2. Понятие симметрии и ее виды

3. Осевая симметрия

3.2. План построения

4. Центральная симметрия

4.2. План построения

5.1. Обобщающая таблица

5.2. Применение симметрии в различных областях

6. Домашнее задание

· Дать определение симметрии, познакомить с основными ее видами, научить строить симметричные фигуры относительно центра и оси.

· Дать представление о симметрии в русском языке, литературе, химии, физике, биологии.

· Показать возможности использования понятия «симметрия» при решении задач.

· Активизировать самостоятельную деятельность

· Развивать познавательную активность

· Учить обобщать и систематизировать полученную информацию

· Прививать культуру общения.

компьютер
мультимедийная приставка
видеоприставка
экран

2. Основные понятия симметрии и ее виды

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

3. Осевая симметрия.

3.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

3.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же расстояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и получаем симметричную фигуру данной относительной оси.

3.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

Примем без доказательства, что при симметрии прямые переходят в прямые, причем сохраняются расстояния и углы.

4. Центральная симметрия

4.1 Основные определения

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

4.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно центра О.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М₁, N и N₁ симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точ ки, равны.

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диагоналей.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок симметричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметричный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и систематизируем полученные знания.

5.1 Обобщающая таблица

Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.

Все точки фигуры должны симметричны относительно точки, выбранной в качестве центра симметрии.

1. 1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой.

2. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки.

3. 3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы.

4. 4. Сохраняются размеры и формы фигур.

5. 1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры.

6. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки.

3. Сохраняются размеры и формы фигур.

5.2 Применение симметрии

С симметрией мы часто встречаемся на всех уроках и в окружающей жизни. Рассмотрим некоторые примеры.

На уроках алгебры мы изучили графики функций y = x и y = x

На рисунках представлены различные картинки, изображенные с помощью ветвей парабол.

(б) ромбический додекаэдр, (в) гексагональной октаэдр.

Печатные буквы русского алфавита тоже обладают различными видами симметрий.

А Д Л М П Т Ф Ш – вертикальная ось

Б Г И Й Р У Ц Ч Щ Я – ни какой оси

Радар шалаш Алла Анна

Могут быть палиндромическими и предложения.

Посмотрите на четверостишие А.С.Пушкина «Медный всадник». Если провести линию после второй строчки мы можем заметить элементы осевой симметрии

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. ( Державин)

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел».

В гранит оделася Не ва ;

Мосты повисли над вод ами;

Темно-зелеными сад ами

Ее покрылись остро ва …

рис1.

Обратите внимание на побеги листорасположения – это тоже своеобразный вид спирали – винтовая. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, что в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Посмотрите на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Различные виды симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного полей (рис. 1)

Во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрично распространение электромагнитных волн (рис. 2)

В произведениях искусства часто можно наблюдать зеркальную симметрию. Зеркальная» симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). : Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота) (рисунок 8). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности (рис. 9).

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия.

В городе Осло, столице Норвегии, есть выразительный ансамбль природы и художественных произведений. Это Фрогнер – парк – комплекс садово-парковой скульптуры, который создавался в течение 40 лет.

Дом Пашкова Лувр ( Париж)

Сегодня на уроках мы познакомились с понятием «симметрия», ее основными видами, научились строить симметричные фигуры, убедились, что симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать.

Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

6. Домашнее задание

Дается по вариантам задание домой на листочках, а также задание : провести свою исследовательскую работу по симметрии в области одного предмета.

3. Какие прямые при центральной симметрии переходят сами в себя?

4. Какая фигура симметрична окружности? Почему?

5. Нарисуйте фигуры симметричные фигурам, изображенным на рисунке 1.

7. Какие буквы русского алфавита имеют центр симметрии?

А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я.

8. Какие буквы латинского алфавита имеют центр симметрии?

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.

3. Какие прямые при осевой симметрии переходят сами в себя?

4. Какая фигура симметрична окружности? Почему?

5. Нарисуйте фигуры симметричные фигурам, изображенным на рис. 1.

6. Восстановите фигуру, зная ее оси симметрии (рис. 2).

7. Какие буквы русского алфавита имеют оси симметрии?

А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я.

8. Какие буквы латинского алфавита имеют оси симметрии?

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.

Защита исследовательских работ учащихся проведена на очередном уроке.

Источник