какие формулы равносильны на множестве

Какие формулы равносильны на множестве

Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).

Определение. Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Определение. Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Утверждение. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Связь между понятиями равносильности и эквивалентности: если формулы A и B равносильны, то формула A ↔ B тавтология, и обратно, если формула A ↔ B тавтология, то формулы A и B равносильны.

Равносильности алгебры логики можно разбить на 3 группы:

1. Основные равносильности.

· – законы идемпотентности;

· ;

· ;

· ;

· ;

· – закон противоречия;

· – закон исключенного третьего;

· – закон снятия двойного отрицания;

· – законы поглощения.

1. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

· ;

· ;

· ;

· ;

· ;

Замечание. Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение операций невозможно. Например, если использовать только конъюнкцию, то уже такая простая формула, как не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из 5 логических операций:

1) Связка Шеффера – дизъюнкция отрицаний.

Обозначение. x | y ≡ (« x не совместно с y »).

Логические значения связки Шеффера описываются следующей таблицей истинности:

2) Связка Лукасевича – конъюнкция отрицаний.

Логические значения связки Лукасевича описываются следующей таблицей истинности:

2. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

· – коммутативность конъюнкции;

· – коммутативность дизъюнкции;

· – ассоциативность конъюнкции;

· – ассоциативность дизъюнкции;

· – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

· – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Замечание. Равносильности группы 3 показывают, что над формулами алгебры логики можно проводить те же преобразования, что и в алгебре чисел.

Равносильные преобразования формул

Используя равносильности групп 1–3 можно часть формулы или формулу заменить равносильной ей формулой. Такие преобразования формул называются равносильными.

Источник

Равносильные формулы алгебры высказываний

Равносильные формулы алгебры высказываний

Равносильные формулы алгебры высказываний

Например, равносильны формулы:

Тождественно истинная формула

Тождественно ложная формула

Выполнимая формула

Ясно, что отношение равносильности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Группы равносильностей

Важнейшие равносильности алгебры высказываний можно разбить на следующие группы.

Равносильности алгебры Буля

Равносильности, выражающие одни логические операции через другие

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\rightarrow Y)\wedge (Y\rightarrow X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (\overline < X >\vee Y)\wedge (\overline < Y >\vee X)$

$X\leftrightarrow Y\equiv (X\wedge Y)\wedge (\overline < Y >\wedge \overline < X >)$

$X\rightarrow Y\equiv \overline < X >\vee Y$

$X | Y\equiv \overline < X\cdot Y >$

$X \downarrow Y\equiv \overline < X\vee Y >$

$X \rightarrow Y\equiv \overline < X >\vee Y$

$X \bigoplus Y\equiv (X \cdot \bar < Y >)\vee (\bar < X >\cdot Y)$

$X \sim Y\equiv \overline < X \bigoplus Y >\equiv (XY)\vee (\bar < X >\bar < Y >)$

Далее:

Теорема об алгоритме распознавания полноты

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Свойства тройного интеграла

Несобственные интегралы от неограниченной функции

Упрощение логических функций

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Нормальные формы

Теорема Остроградского

Полином Жегалкина. Пример.

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Источник

MT1102: Линейная алгебра (введение в математику)

Определение

Формулы алгебры высказываний %%X%% и %%Y%% называют равносильными (эквивалентными, тождественными), если при любых значениях переменных, входящих в эти формулы, значение истинности формул %%X%% и %%Y%% совпадают.

Пример

Построим таблицу истинности для этих двух формул

Как видно из таблицы, истинностные значения данных формул совпадают при любых значениях %%A%% и %%B%%, следовательно, эти две формулы равносильны. Равносильность формул %%X%% и %%Y%% записывается в виде %%X \equiv Y%%.

Теоремы о равносильности формул

Теорема. Справедливы следующие равенства формул.

A \land 0 \equiv 0 \\ A \lor 0 \equiv A,

Где %%1%% — тождественно истиннная формула, а %%0%% — тождественно ложная формула.

Теорема дается без доказательства, так как эти формулы легко проверить, используя таблицы истинности.

Теорема. Для произвольной формулы существует равносильная ей формула, которая содержит только знаки отрицания и дизъюнкции.

Действительно, в произвольной формуле %%X%% могут присутствовать знаки конъюнкции, импликации и эквиваленции. Избавимся от этих знаков, заменяя подформулы, содержащие эти знаки, на равносильные им по следующим правилам:

Но использование только двух знаков очень неудобно, так как приводит к очень громоздким формулам, именно поэтому, обычно, используют три основных знака: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция.

Обратная и противоположная теоремы

Назовем теорему %%T = A \rightarrow B%% прямой теоремой. Составим следующие высказывания:

Между этими теоремами есть следующие связи:

Источник

09.3. Равносильность формул. Основные отношения равносильности

Определение 9.7. Формулы А, В алгебры предикатов сигнатуры σ Называются равносильными на алгебраической системе М(σ), если они принимают на М(σ) одинаковые значения при любом наборе значений предметных переменных, имеющих свободные вхождения переменных в А или В.

Определение 9.8. Формулы алгебры предикатов сигнатуры σ называются Равносильными, если они равносильны на любой алгебраической системе сигнатуры σ. Равносильность формул А, В, как и равносильность высказываний будем обозначать в виде А º В.

Отметим следующие очевидные свойства равносильности формул.

Отношение равносильности формул является отношением эквивалентности на множестве всех формул сигнатуры σ, и, следовательно, все указанные формулы разбиваются на классы равносильных формул.

Если формула A¢ получена из А заменой некоторой подформулы В равносильной ей формулой В¢, то А¢ = А.

Приведем примеры равносильностей, называемых иногда основными равносильностями алгебры предикатов.

Перечисленные равносильности являются следствиями свойств логических операций, а потому имеют место для любых систем. В связи с этим их называют основными законами логики предикатов. Они постоянно (явно или неявно) используются при доказательствах утверждений во всех разделах математики.

Так, зачастую вместо теоремы вида А ® В доказывается равносильное утверждение`А ®`В. При этом используется закон контрапозиции 13 (табл.9.1). Закон исключенного третьего 15 обычно используется при доказательствах от противного, когда для доказательства теоремы А опровергают утверждение`А и отсюда на основании равносильности`A Ú A º и делают вывод об истинности А. Правило силлогизма 17 позволяет сводить доказательства теоремы вида А ® С к доказательству цепочек более простых утверждений, например, А ® В, В ® С.

Источник