Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».
И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.
Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.
Существует всего пять типов элементарных функций:
2. Показательные Это функции вида y = a x
4. Тригонометрические В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x 2 · e x — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(a x ) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.
Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.
Показательная функция y = a x
a > 1
0 1
0 2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».
Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.
Почему в уравнении 3 x = 3 5 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3 x возрастает и каждое значение принимает только один раз.
Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.
Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.
Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».
В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций.
Содержание
Элементарные функции
Алгебраические функции
Алгебраические функции являются функциями, которые могут быть описаны как многочлен с целыми коэффициентами.
Трансцендентные функции
Специальные функции
Базовые специальные функции
Функции теории чисел
Первообразные элементарных функций
Гамма-функции
Эллиптические функции
Функции Бесселя
Дзета-функция Римана и связанные с нею
Гипергеометрические функции
Повторяющиеся экспоненциальные функции
Другие специальные функции
Прочие функции
Полезное
Смотреть что такое «Список математических функций» в других словарях:
Список математических аббревиатур — Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия
Список систем интерактивной геометрии — Содержание 1 Сравнение интерактивных геометрических систем 1.1 Лицензиро … Википедия
Список обозначений в физике — Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия
Список сервисов и инструментов Google — Кроме обычного поиска, Google предлагает ряд сервисов и инструментов для различных нужд. Большинство из них веб приложения, требующие от пользователя только наличия браузера, в котором они работают, и интернет подключения. Это позволяет… … Википедия
Список САПР — Список САПР. САПР программное обеспечение, предназначенное для создания чертежей, конструкторской и технологической документации, а также 3D моделей. В данный список включены наиболее распространённые CAx программы (CAD, CAM, CAE).… … Википедия
Список систем автоматизированного проектирования — Список САПР. САПР Система автоматизированного проектирования, предназначенная для создания чертежей, схем, конструкторской и технологической документации, а также 3D моделей. В данный список включены наиболее распространённые CAx программы… … Википедия
Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера — Существует множество математических и физических объектов, названных в честь Леонарда Эйлера: Содержание 1 Теоремы 2 Лемма 3 Уравнения 4 … Википедия
Список объектов, названных в честь Лейбница — Существует несколько математических и другого рода объектов, названных в честь Лейбница: Содержание 1 Теоремы 2 Формулы 3 Прочее 4 См … Википедия
Википедия:Проект:Армения/Список известных армян в Список известных армян — Это служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы. Данное предупреждение не ус … Википедия
Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления. в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций». и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
С 17.04.21 до экзаменв просмотр по кнопке ОТКРЫТ.
В школьном курсе математики изучаются следующие элементарные функции.
Степенная
y = x 3
Кубическая парабола
Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Степенная
y = x 1/2
График функции y = √x
Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Показательная
y = a x
График показательной функции
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая
y = logax
График логарифмической функции
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2
На сервере youtube.com открыт канал Mathematichka, на котором размещаются видео, связанные с изучением графиков функций и экзаменационными задачами на эту тему. Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.
Пример такого видео.
Перейти на главную страницу.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.
Основные элементарные функции: их свойства и графики
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Постоянная функция
Свойства постоянных функций:
Корень n-й степени
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
Степенная функция
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
Степенная функция при нечетном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
Степенная функция при четном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
Степенная функция при нечетном отрицательном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Степенная функция при четном отрицательном показателе степени
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)
Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.
Свойства степенной функции при 0 a 1 :
Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Свойства степенной функции при a > 1 :
Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)
Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)
Показательная функция
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
Логарифмическая функция
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
График данной функции называется синусоида.
Свойства функции синус:
График данной функции называется косинусоида.
Свойства функции косинус:
График данной функции называется тангенсоида.
Свойства функции тангенс:
График данной функции называется котангенсоида.
Свойства функции котангенс:
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
, где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.
