какие функции называются элементарными

Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.

Почему в уравнении 3 x = 3 5 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3 x возрастает и каждое значение принимает только один раз.

Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.

Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.

Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».

Источник

Классификация элементарных функций

Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

Что такое элементарные функции

Начнем с базового определения.

Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

Таким функции бывают:

В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

Понятие алгебраических функций

Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f ( x ) = x и f ( x ) = 1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

Понятие трансцендентных функций

Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

Источник

Элементарная функция

Элементарные функции — функции, которые можно получить из основных элементарных функций:

с помощью конечного числа арифметических действий и композиций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.

Содержание

Элементарные функции по Лиувиллю

Дифференцирование элементарных функций

Элементарные функции непрерывны и бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространенные функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае имеет место теорема:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от y берется в элементарных функциях, то верно

где ψ — алгебраическая функция, z_{r + 1} — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где ρ_i — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида p(x)e q(x)

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

где p,q — полиномы, берется в элементарных функциях, то

,

где r(x) — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

Пример. В частности, интеграл

не берется, поскольку подстановка

Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе C верно

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

Интегрирование алгебраических функций

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в

Вычисление пределов

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Не известно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности дает ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность . [3]

См. также

Литература

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Элементарная функция» в других словарях:

элементарная функция — Функция, которая, если ее разделить на более мелкие функции, не сможет быть однозначно определена в иерархии цифровой передачи. Следовательно, с точки зрения сети она является неделимой (МСЭ T G.806). [http://www.iks… … Справочник технического переводчика

элементарная функция — elementarioji funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elementary function vok. elementare Funktion, f rus. элементарная функция, f pranc. fonction élémentaire, f … Fizikos terminų žodynas

функция адаптации — Элементарная функция, которая выполняет адаптацию между уровнем клиента и уровнем сервера сети. (МСЭ T G.806). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN adaptation functionA … Справочник технического переводчика

функция взаимодействия между уровнями сети — Элементарная функция, которая обеспечивает взаимодействие характеристической информации между двумя уровнями сети. (МСЭ T G.806). [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN layer… … Справочник технического переводчика

функция соединения — Элементарная функция, в пределах уровня, которая, при наличии соединения, передает набор информационных объектов между группами элементарных функций. Она не изменяет информационные объекты, входящие в этот набор, хотя она может быть пунктом… … Справочник технического переводчика

Функция (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

Показательная функция — экспоненциальная функция, важная элементарная функция (См. Элементарные функции) f (z) = ez, обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z… … Большая советская энциклопедия

Монотонная функция — Монотонная функция это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется строго монотонной. Монотонная… … Википедия

Булева функция — В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия

Источник

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Постоянная функция

Свойства постоянных функций:

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

Степенная функция

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

Степенная функция при четном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.

Свойства степенной функции при 0 a 1 :

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a > 1 :

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

Показательная функция

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

Логарифмическая функция

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

График данной функции называется тангенсоида.

Свойства функции тангенс:

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Свойства функции арксинус:

Свойства функции арккосинус:

Свойства функции арктангенс:

Свойства функции арккотангенс:

Источник

• ← антхилл в мобайл легенд что
• Разбираемся с понятием развал схождения в автомобильном мире →