какие функции не являются степенными

Степенная функция, её свойства и график.

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

2) Область значений функции – множество неотрицательных чисел, если :

множество неположительных чисел, если :

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным натуральным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

2) Область значений функции – множество всех действительных чисел: Е( y ) = (−; +).

3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным натуральным показателем, а на правом – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

множество всех отрицательных чисел, если : Е( y ) = (-; 0).

Если функция убывает при х (- ; 0), возрастает при х (0; + ).

На первом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с чётным целым отрицательным показателем, а на втором рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

1) Область определения функции:

2) Область значений функции:

3) Значит, функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат.

На левом рисунке изображены примеры графиков степенных функций с нечётным целым отрицательным показателем, а на правом рисунке – графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде положительной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной правильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

1) Областью определения функции, исходя из определения степени с рациональным показателем, является множество неотрицательных чисел:

3) Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как её область определения не содержит противоположных значений.

4) Если функция убывает при х ;

На рисунке изображены примеры графиков степенных функций с показателем, представленным в виде отрицательной неправильной дроби и графики тех же функций, но с растяжением и сжатием.

Источник

Степенные функции, их свойства и графики

Урок 6. Алгебра 11 класc

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Степенные функции, их свойства и графики»

· рассмотреть степенные функции;

· рассмотреть свойства и графики степенных функций, в зависимости от основания.

Степенными функциями называют функции вида:

Случаи, когда r – натуральное или целое число мы с вами уже изучали.

Давайте повторим основные моменты.

Сегодня на уроке мы познакомимся с функцией:

Для начала рассмотрим случай, когда показатель степени больше 0. Этот случай можно разбить ещё на два: когда показатель степени находится в (0; 1) и когда показатель степени больше 1.

Первым рассмотрим случай, когда показатель степени находится в промежутке (0; 1).

Рассмотрим частный случай такой степенной функции:

Как выглядит график этой функции, мы знаем.

Точно так же будут выглядеть графики любой степенной функции вида:

По графику мы очень просто можем записать основные свойства таких функций.

Областью определения будет являться луч [0; +∞).

Областью значения является промежуток [0; +∞).

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на всей области определения.

Она не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Наименьшее значение равно 0, а наибольшего значения нет.

Функция непрерывна на всей области определения.

График функции выпуклый вверх на всей области определения.

Теперь рассмотрим степенную функцию, показатель которой – любое рациональное число больше единицы.

Графиком функции будет ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0) и (1; 1), причём чем больше показатель, тем круче будет идти график.

Запишем основные свойства функции.

Областью определения является луч [0; +∞).

Область значений – это промежуток (0; +∞).

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на всей области определения.

Функции не ограничена сверху, но ограничена снизу.

Наименьшим значением будет 0, наибольшего значения нет.

Функция непрерывна на всей области определения.

График функции выпуклый вниз на всей области определения.

Теперь рассмотрим функцию:

График имеет горизонтальную асимптоту игрек равно нулю и вертикальную асимптоту икс равно нулю.

Запишем основные свойства функции.

Областью определения будет промежуток (0; +∞).

Областью значения будет промежуток (0; +∞).

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция убывает на всей области определения.

Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

Функция не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения.

Функция непрерывна на всей области определения.

График функции выпуклый вниз на всей области определения.

Обратите внимание, что при рассмотрении функций мы нигде не проверяли функцию на дифференцируемость. Прежде чем говорить о дифференцируемости давайте посмотрим, как находится производная таких функций.

Производную функции игрек равно x в натуральной степени эн мы знаем, это табличное значение.

Эти две формулы можно объединить в одну:

Ещё одним табличным значением является производная функции:

Эту формулу можно записать следующим образом:

Если x > 0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = x r вычисляется по формуле:

Поскольку производные данных функции существуют на всей области определения, то в свойства можно дописать, что функции дифференцируемы на всей области определения.

Рассмотрим несколько примеров.

Давайте повторим ещё раз основные свойства и графики функций.

Источник

Степенная функция

Расскажем подробно об этих функциях и их графиках.

1. Линейная функция y = kx + b. График — прямая линия. Для её построения достаточно двух точек.

Если k > 0, линейная функция возрастает. Чем больше k, тем круче идет график. Число k называется угловым коэффициентом прямой и равно тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси X:

Если k 2 + bx + c мы уже рассказывали.

Кратко повторим основные моменты:

— Если a > 0, ветви параболы направлены вверх. Если a 2 + bx + c = 0. Если корней нет (дискриминант уравнения меньше нуля), парабола не пересекает ось X.

— Точку пересечения параболы с осью Y находим, подставив в её уравнение x = 0.

4. Заметим, что между функциями y = x 2 и y = x 4 есть определенное сходство. Оба этих графика симметричны относительно оси Y. Такие функции называются чётными.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если:
1) область определения функции симметрична относительно нуля;
2) для каждого x из области определения выполняется равенство f(−x) = f(x).

Графики функций y = x 3 и y = x 5 симметричны относительно начала координат. Эти функции — нечётные.

Очевидно, функция y = x α является чётной при чётных значениях α и нечётной при нечётных α.

Выражение определено при x ≥ 0, поэтому область определения функции — все неотрицательные числа.

Кроме того, принимает только неотрицательные значения, поскольку ≥ 0.

Мы используем эти свойства при решении уравнений и неравенств. Уравнение вида имеет смысл только при f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0. Это его область допустимых значений.

Правильный ответ:

Запомните это. Проверить легко: возьмём, например, a = −2.

Сейчас нас интересует правая ветвь параболы, при x ≥ 0. Мы видим, что эта часть параболы и график функции словно нарисованы по одному шаблону, по-разному расположенному в координатной плоскости. Они симметричны относительно прямой y = x. То, что для одной из них — область определения, для другой — область значений.

Напомним, что такие функции называются взаимно-обратными. Подробно об этом можно прочитать в статье «Логарифмическая функция»).

7. Легко убедиться, что функция является обратной к функции y = x 3

Источник

Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

Постоянная функция

Свойства постоянных функций:

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

Степенная функция

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

Степенная функция при четном положительном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.

Свойства степенной функции при 0 a 1 :

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a > 1 :

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

Показательная функция

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

Логарифмическая функция

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

График данной функции называется тангенсоида.

Свойства функции тангенс:

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

Свойства функции арксинус:

Свойства функции арккосинус:

Свойства функции арктангенс:

Свойства функции арккотангенс:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №18. Степенная функция. Дробно-линейная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие степенной функции;

2) основные свойства функций и ;

3) понятия взаимно обратной и дробно- линейной функций;

4) особенности построения графика дробно-линейной функции.

Определение. Функция вида , где n- любое действительное число, называют степенной функцией.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

При n=1, y=x 1 или y=x — прямая (Рисунок 1).

Рисунок 1 – график функции y=x 1

При n=2, y=x 2 — парабола.

При n=3, y=x 3 — кубическая парабола.

Функции такого вида называются дробно-линейными.

Рассмотрим графики степенных функций y=x m/n с положительным дробным показателем m/n.

1. Степенная функция , где > неправильная дробь (числитель больше знаменателя).

График — ветвь параболы:

Рисунок 6 – , где

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

2. Степенная функция , где — правильная дробь (числитель меньше знаменателя).

Свойства функции , где

3. не является ни чётной, ни нечётной;

4. возрастает при x∈[0;+∞);

5. не имеет наибольшего значения, y_наим=0;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

Рассмотрим степенные функции с отрицательным дробным показателем степени

График — ветвь гиперболы.

График имеет горизонтальную асимптоту у=0 и вертикальную асимптоту х=0.

Свойства функции .

3. не является ни чётной, ни нечётной;

5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;

6. не ограничена сверху, ограничена снизу;

Итак, на основании всего вышеперечисленного, можно сделать вывод в виде таблицы:

Рассмотрим еще одну функцию.

Определение. Функцию y=f(x), x∈X называют обратимой, если любое своё значение она принимает только в одной точке множества X (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции).

Если функция y=f(x), x∈X монотонна на множестве X, то она обратима.

Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y=x.

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Пользуясь формулой y=f(x), следует выразить x через y, а в полученной формуле x=g(y) заменить x на y, а y на x.

Заданная функция возрастает на промежутке [0;+∞), значит, она имеет обратную функцию. Из уравнения y=x 2 находим: или . Промежутку [0;+∞) принадлежат лишь значения функции . Это и есть обратная функция, которая определена на промежутке [0;+∞).

Рисунок 9 – график функции, обратной y=x 2

Разборы и примеры решения заданий тренировочного модуля

Изобразите схематически график функции

Графиком данной функции является гипербола.

Источник