какие силы действуют при изгибе
Какие силы действуют при изгибе
В строительной практике изгиб является пожалуй самым распространенным видом деформаций, который в большей степени характерен для балочных конструкций. Если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, считается, что она испытывает чистый изгиб. Однако, в большинстве случаев наряду с изгибающим моментом в балках возникает еще поперечная сила (Q), и такой изгиб, соответственно, называется поперечным.
Деформацию изгиба вызывают силы, направленные перпендикулярно к продольной оси балки, или лежащие в проходящих через эту ось плоскостях. Сама ось при воздействии этих сил из прямолинейной превращается в криволинейную (см. Рис.1).
Рис. 1.
Если все действующие на балку нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой, то изгиб является плоским, а если линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения (силовой линией) совпадает с одной из главных центральных осей, то изгиб принято называть прямым (см. Рис.2).
Рис. 2.
Нормальные напряжения при изгибе
Итак, при прямом и поперечном изгибе в сечениях балки возникают два силовых фактора (внутренних усилия): изгибающий момент M и поперечная сила Q. Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балочных конструкций.
Под действием нагрузки балка прогибается так, что ее нижние волокна удлиняются, а верхние укорачиваются, т.е. изгиб сопровождается появлением нормальных напряжений. При постепенном переходе от удлиняющихся волокон к укорачивающимся (или наоборот) встречается промежуточный слой волокон, который не меняет своей длины. Этот слой называется нейтральным, а линия его пересечения с плоскостью поперечного сечения балки – нейтральной линией или осью. Таким образом, нейтральная линия является геометрическим местом концентрации точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.
Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю чистого изгиба, характерный пример которого приведен ниже на Рис.3(а).
Рис. 3.
На выше представленной схеме (Рис.3, а) двумя бесконечно близкими сечениями выделен участок балки длиной dz и изображен в укрупненном масштабе (Рис.3, б). Будучи параллельными друг другу до деформации оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол dθ после приложения нагрузки. Длина отрезка нейтрального слоя при этом не изменится.
Любое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительное удлинение волокон, расположенных на расстоянии «y» от нейтрального слоя, составляет: 
где ρ – радиус кривизны изогнутой оси балки.
После некоторых преобразований выражение (2) превращается в следующую формулу: 
которая позволяет вычислять нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее поперечного сечения. Изгибающий момент «Mx» и координату «y» удобнее всего брать по абсолютному значению, а знак напряжения устанавливать исходя из характера деформирования балки (при растяжении – плюс, при сжатии – минус), т.е. по эпюре «М», ординаты которой откладывают со стороны растянутых волокон. Нетрудно догадаться, что максимальные значения напряжений возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения. Последние усложняю картину деформирования, приводя к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако тщательные исследования показывают, что искажения, вносимые касательными напряжениями, незначительно влияют на нормальные напряжения. Таким образом, при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба вполне применима теория чистого изгиба. Касательные напряжения в расчетах на прочность как правило не учитываются.
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Понятие о деформации изгиба
Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.
Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.
Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.
Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.
При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Qу и изгибающий момент Мх; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым.
Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.
Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.
Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений, а момент М– сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.
Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость
которая используется при построении и проверке эпюр Q и M.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.
Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения
1) Выполняется гипотеза плоских сечений.
2) Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.
3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.
4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.
5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.
6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения, определяемые по формуле :
где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.
Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.
Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений относительно нейтральной линии
Характер эпюр нормальных напряжений для сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии
Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.
Выберем некоторое сечение
Для любой точки сечения,назовем ее точкой К, условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:
, где н.о. — это нейтральная ось
Условие прочности по нормальным напряжениям:
Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.
При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные, так и касательные напряжения.
В случае изгиба, когда присутствует поперечная сила, сечения не будут плоскими. Они будут искривляться. Но опытные данные показывают, что искривления небольшие, поэтому применяют формулу чистого изгиба для определения нормальных напряжений.
Условие прочности по касательным напряжениям:
, Максимальное касательное напряжение равно отношению: в числителе произведение максимального значения поперечной силы на статический момент площади отсеченной части; в знаменателе произведение осевого момента инерции относительно нейтральной оси на ширину рассматриваемого сечения.
Текст книги «Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов»
Автор книги: Роман Сиренко
Жанр: Физика, Наука и Образование
Текущая страница: 4 (всего у книги 9 страниц) [доступный отрывок для чтения: 4 страниц]
34. Понятие о деформации изгиба. Изгибающий момент и поперечная сила
Вид деформации бруса, когда в нем возникает изгибающий момент, называется изгибом. Часто вместе с изгибающим моментом возникают еще и поперечные силы, и тогда изгиб называется поперечным. В случае возникновения только изгибающего момента говорят о чистом изгибе. Деформация изгиба возникает в случае воздействия нагрузок, действующих в плоскости продольной оси бруса, перпендикулярных этой оси, и пар сил, лежащих в этих же плоскостях. Если все нагрузки действуют в одной плоскости, изгиб называется плоским. Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из его центральных осей, называется главной плоскостью бруса. Если силовая плоскость воздействия нагрузок совпадает с одной из главных плоскостей бруса, такая деформация называется прямым изгибом бруса, линию пересечения этих плоскостей называют силовой линией. В противном случае говорят о косом изгибе (в том смысле, что плоскости нагрузок и прогибов не совпадают).
Применяя метод сечений, можно увидеть, что на брус действуют два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx, которые определяются следующим образом:
где A – площадь поперечного сечения.
В произвольном сечении бруса поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, приложенных к отсеченной части. Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к отсеченной части относительно точки, проходящей через продольное сечение бруса, через которую проходит и сечение.
Для нахождения изменений силовых факторов по длине бруса и нахождения опасных сечений строят графики, называемые эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов.
В построении эпюров поперечные силы считаются положительными, если они стремятся повернуть тело по часовой стрелке. Изгибающий момент считают положительным, если выпуклость направлена вниз, а его сжатые волокна находятся в верхней части. Это правило для определения знака крутящего момента называется правилом сжатого волокна.
Если оба силовых фактора не равны нулю, изгиб называется поперечным прямым изгибом.
Установлено, что в изогнутом брусе волокна выпуклом части испытывают растяжение, а волокна вогнутой части – сжатие. Между этими областями существует так называемый нейтральный слой, не испытывающий ни растяжения, ни сжатия. Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением бруса носит название нейтральной линии (нулевой оси). Брусья, которые работают на прямой изгиб, называют балками.
35. Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью сплошной нагрузки
Нахождение значений для поперечных сил и изгибающих моментов, а также построение их эпюров значительно упрощаются, если использовать дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Qy и изгибающим моментом Mx.
Рассечем балку двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на бесконечно малое расстояние dz, и будем считать, что по этому элементу нагрузка распределена равномерно. Используя метод сечений, действие отброшенных частей заменим поперечными силами и изгибающими моментами. Вследствие малости выделенного элемента в его пределах к балке не прилагается никаких сосредоточенных внешних сил и моментов. Поперечные силы и изгибающие моменты отличаются друг от друга на бесконечно малые величины dQy и dMx. В проекции на вертикальную ось сумма поперечных сил будет выглядеть таким образом:
Для элемента сумма моментов запишется:
Выполнив математические преобразования, из первого соотношения получим выражение:
Таким образом, производная от поперечной силы по координате длины балки представляет собой интенсивность нагрузки.
Рассмотрим второе выражение равновесия. Отбросим третье слагаемое ввиду его малости и получим:
Производная от изгибающего момента по координате длины балки представляет собой поперечную силу.
Объединяя две полученные дифференциальные зависимости, имеем:
Вторая производная изгибающего момента по координате длины представляет интенсивность нагрузки.
36. Построение эпюров поперечных сил и изгибающих моментов
Для построения эпюров поперечных сил и изгибающих моментов в простейших случаях составляются аналитические выражения для этих функций, а затем по этим строятся графики. В сложных случаях используется способ построения по характерным точкам. Существует ряд правил, использующихся при таком способе построения эпюров. Эти правила вытекают из метода сечений и из дифференциальных зависимостей между интенсивностью нагрузки, поперечными силами и изгибающим моментом. Приведем эти правила.
Если на каком-то участке интенсивность распределенной нагрузки равна нулю, dQy / dz = q = 0, то эпюра Qy = const представляет собой прямую. Из дифференциального соотношения следует, что функция Mx линейна и представляет собой наклонную прямую.
1. Если на каком-то участке балки равномерно распределена нагрузка, то эпюр поперечных сил представляет собой наклонную прямую. Соответственно, изгибающий момент является квадратичной функцией, и его график представляет собой параболу.
2. Если на каком-то участке поперечные силы Qy больше нуля, то изгибающий момент возрастает, если поперечные силы меньше нуля, то изгибающий момент убывает, если Qy = 0, то изгибающий момент постоянен (случай чистого изгиба).
3. Если поперечная сила, изменяясь по какому-либо закону, проходит свое нулевое положение, то изгибающий момент в соответствующем сечении принимает максимальное или минимальное значение. Касательная к эпюре Mx параллельна оси балки.
4. При воздействии сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил происходит скачкообразное изменение ординаты, а на эпюре изгибающего момента – резкое изменение угла наклона смежных участков.
5. В начальной и конечной точке участка с равномерно распределенной нагрузкой параболическая и линейная части эпюра изгибающего момента сопрягаются плавно при условии, что на этом участке отсутствует действие сосредоточенных сил.
6. При распределенной нагрузке, направленной вниз, парабола изгибающего момента обращается выпуклостью вверх.
7. Если на свободном конце балки не приложена сосредоточенная пара сил, то изгибающий момент равен нулю, если приложена – изгибающий момент равен моменту этой пары. Поперечная сила в таком сечении равна внешней сосредоточенной силе.
8. На участке приложения к балке сосредоточенной пары сил эпюр изгибающего момента имеет скачкообразное изменение ординаты, эпюр поперечных сил остается неизменной.
9. В совпадающем с заделкой сечении поперечные силы и изгибающий момент равны опорной реакции и реактивному моменту.
37. Определение нормальных напряжений
Рассмотрим случай чистого изгиба. В поперечных сечениях возникает только изгибающий момент, представляющий равнодействующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении, интенсивность которых есть нормальное напряжение σ.
Для определения нормальных напряжений σ введем ряд экспериментально основанных допущений. Во-первых, будем считать, что при изгибе поперечные сечения остаются плоскими, что позволяет использовать известный метод сечений. Во-вторых, считаем, что в средней части бруса имеется слой с неизменной длиной (т. е. в этом слое нет нормальных напряжений). Этот слой называется нейтральным, линия пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением называется нейтральной. В-третьих, продольные волокна бруса не надавливают друг на друга, а подвергаются только растяжению или сжатию.
Рассмотрим участок балки малой длины dz, ограниченный двумя плоскими сечениями. Действие внешних сил отброшенных частей заменим изгибающими моментами Mx. Выберем одно из волокон АВ, относительная деформация для него запишется в виде:
где ρ – радиус кривизны нейтрального слоя;
y – расстояние от выбранного волокна до нейтрального слоя.
Подставим полученное выражение в закон Гука, считая, что волокна подвергаются только растяжению и сжатию.
Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения бруса прямо пропорциональны расстоянию от нейтральной линии до этой точки.
Мы установили закон распределения напряжений по сечению. Составим уравнения равновесия и из них определим значения нормальных напряжений. Из параллельности внутренних сил σdA оси z следует, что ΣX = 0, ΣY = 0, ΣMz = 0.
Приравняем к нулю сумму проекций на ось z.
Интеграл по определению представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, он равен нулю. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. Приравниваем сумму моментов относительно оси y нулю:
Полученный интеграл представляет собой центробежный момент относительно осей x, y, эти оси являются главными осями инерции, силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны. Приравнивая сумму моментов относительно оси x нулю, получим:
Последнее соотношение позволяет вычислять значение нормального напряжения в любой точке поперечного сечения. Произведение EIx носит название жесткости сечения балки.
38. Прямой изгиб
Изгиб – это такой вид деформации стержня, при котором в его поперечном сечении возникают изгибающие моменты.
Рассмотрим прямой изгиб на примере бруса.
С геометрической точки зрения изгиб характеризуется тем, что ось бруса, прямолинейная по деформации, при изгибе становится кривой линией (условно говоря, изогнутая ось бруса).
Деформация изгиба возникает при нагружении бруса силами, действующими в плоскостях, проходящих через его продольную ось, и перпендикулярными этой оси, и парами сил, действующими в тех же плоскостях. Рассмотрим брусья, поперечные сечения которых имеют, по меньшей мере, одну ось симметрии. Ось симметрии и перпендикулярная ей центральная ось являются главными центральными осями сечения. Плоскость, проходящая через продольную ось бруса и одну из главных центральных осей его поперечного сечения, называют главной плоскостью бруса.
Если силовая плоскость, т. е. плоскость действия нагрузок, совпадает с одной из главных плоскостей, то имеет место прямой изгиб бруса. Линию пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения бруса называют силовой линией. При прямом изгибе она совпадает с одной из главных центральных осей поперечного сечения.
При прямом изгибе деформация происходит в силовой плоскости, т. е. в этой плоскости располагается ось изогнутого бруса.
Применяя к брусу метод сечений и рассматривая условия равновесия отсеченной части, в общем случае прямого изгиба в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент Мх.
Внешние силы лежат в плоскости хОу и при этом перпендикулярны оси Ох, следовательно, их проекции на оси Ох и Оz, так же как и моменты относительно осей Оу и Оz равны нулю. Такой изгиб называют чистым прямым изгибом. Общий случай прямого изгиба, при котором изгибающий момент и поперечная сила не равны нулю, называется поперечным прямым изгибом.
Брус при изгибе деформируется таким образом, что часть его волокон испытывает растяжение, а часть – сжатие. Волокна, расположенные в выпуклой части изогнутого бруса, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Брусья, работающие на прямой изгиб, принято называть балками.
Поперечной силой Qу называется равнодействующая внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении бруса.
Изгибающим моментом Мх, называется результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, взятый относительно нейтральной оси этого сечения. Зависимости между поперечной силой Q и изгибающим моментом Мх в поперечном сечении бруса таковы:
Поперечная сила представляет собой производную от изгибающего момента по координате y.
39. Косой изгиб при упругих деформациях
Рассмотрим косой изгиб на примере изгиба бруса. Изгиб называют косым, если плоскость действия изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении бруса, не совпадает ни с одной из его главных плоскостей.
Различают плоский косой изгиб и пространственный косой изгиб.
При плоском косом изгибе все нагрузки расположены в одной плоскости, т. е. существует общая для всего бруса силовая плоскость. Следовательно, углы, составляемые силовыми линиями с главными центральными осями, во всех поперечных сечениях бруса одинаковы.
В рассматриваемом случае упругая линия бруса – плоская кривая, которая, в отличие от прямого изгиба, расположена в плоскости, не совпадающей с силовой плоскостью. Именно эта особенность характера деформации обуславливает наименование «косой изгиб».
При пространственном косом изгибе нагрузки, вызывающие косой изгиб, расположены в разных продольных плоскостях бруса. Соответственно, углы между главными центральными осями поперечных сечений и силовыми линиями не постоянны по длине бруса.
Упругая линия бруса в этом случае – пространственная кривая.
Силы, перпендикулярные продольной оси бруса, но не совпадающие по направлению ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения, всегда могут быть разложены на составляющие по эти осям. Моменты, действующие в произвольных продольных плоскостях, могут быть разложены на составляющие относительно главных центральных осей.
При поперечном косом изгибе (как при плоском и пространственном) в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx и Qy и изгибающие моменты Мx и Мy. При чистом косом изгибе поперечные силы отсутствуют.
Для расчетов на прочность и жесткость практически безразлично, будет ли изгиб чистым или поперечным, так как влияние поперечных сил, как правило, не учитывают.
Косой изгиб можно рассматривать как совокупность двух прямых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Расчет на прочность при косом изгибе ведется только при нормальном напряжении.
Нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения бруса определяется на основе принципа независимости действия сил как алгебраическая сумма нормальных напряжений σмх и σмy, каждое из которых обусловлено одним из прямых изгибов:
Условие прочности в случае косого изгиба имеет вид:
где Wx, Wy – осевые моменты сечения.
40. Поперечный изгиб
Поперечному изгибу обычно подвергают элементы конструкций, называемые балками. Балка – это стержень, работающий на изгиб. Поперечный изгиб возникает в том случае, если система внешних силовых факторов (сосредоточенных сил (H, кН), моментов (Нм, кНм) или распределенных нагрузок (Н/м, кН/м)) действуют в одной плоскости, которая совпадает с одной из плоскостей симметрии балок.
На балку могут действовать разнообразные внешние силовые факторы: сосредоточенные силы; сосредоточенные моменты; равномерно распределенная нагрузка; нагрузка, распределенная по участку балки в виде треугольника, меняющаяся от 0 до Q, и произвольно распределенная нагрузка по длине балки Q = f(x) (Рис. 14).
На балку также действуют поперечные силы и изгибающие моменты. Момент, создаваемый внутренними упругими силами, действующими в сечении, называется изгибающим моментом.
Для определения напряжений, возникающих в различных сечениях балки, необходимо знать величину и направление внутренних усилий в любом сечении, выразив их через внешние силы:
Величины сил Q и моментов М одинаковы, но направлены в разные стороны.
Таким образом, в любом поперечном сечении балки внутренние усилия приводятся к силе Q и паре с моментом М, совместно заменяющих действие одной отсеченной части балки на другую.
Сила Q складывается из элементарных касательных усилий, действующих в сечении, и называется поперечной или прорезывающей силой.
Эта сила сдвигает сечение относительно другого, следовательно, она создает внутренние касательные напряжения в поперечных сечениях. Поперечная сила Q считается положительной, если внешние силы, лежащие слева от проведенного сечения, направлены вверх или справа от него – вниз.
Момент внутренней пары, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, называется изгибающим моментом.
Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно основного, чем и обусловлено искривление балки, т. е. изгиб ее. Создают изгибающий момент внутренние упругие силы, действующие перпендикулярно поперечным сечениям.
Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки, или для правой части балки, если равнодействующий момент сил, лежащих правее сечения, направлен против часовой стрелки.
41. Прогиб и поворот сечения балки
Расчет на жесткость при изгибе требует предварительного изучения вопроса о перемещении поперечных сечений.
Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения балки.
При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущения о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения обозначается ν, а наибольший прогиб – стрела прогиба – f.
Во многих случаях по эксплуатационным соображениям максимальные прогибы балок ограничиваются определенной величиной – допускаемым прогибом vadm (fadm).
Допускаемый прогиб зависит от назначения сооружения или машины.
Геометрическое место центров тяжести поперечного сечения деформированного бруса, т. е. ось изогнутого бруса, называется изогнутой осью (или – чаще – упругой линией). Эта линия – плоская кривая, лежащая в силовой плоскости.
При повороте поперечные сечения остаются перпендикулярными изогнутой оси бруса.
Следовательно, угол поворота θ поперечного сечения равен углу касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.
Ордината упругой линии и угол наклона касательной, проведенной к ней в данной точке, полностью определяют линейное и угловое перемещение соответствующего поперечного сечения балки. Отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.
Определить углы поворота заданной балки и прогиб посредине пролета.
Опорные реакции показаны на Рис. 15.
Изгибающий момент в произвольном сечении равен:
Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии:
После первого интегрирования:
Окончательно получаем следующее уравнение углов поворота и упругой линии:
Из последнего соотношения найдем прогиб посредине пролета, подставляя в него z = l/2:
42. Поперечный изгиб стержня
Поперечному изгибу обычно подвергают элементы конструкций, называемые балками. Балка – это стержень, работающий на изгиб. Поперечный изгиб возникает в том случае, если система внешних силовых факторов (сосредоточенные силы H, кН), моменты (Нм, кНм или распределенные нагрузки (Н/м, кН/м) действуют в одной плоскости, которая совпадает с одной из плоскостей симметрии балок (Рис. 16).
Здесь силы Р1, Р2 и Р3 выступают как активные, а силы R1 и R2 – как реактивные.
На балку могут воздействовать разнообразные внешние силовые факторы: сосредоточенные силы; сосредоточенные моменты; равномерно распределенная нагрузка; нагрузка, нагрузка, распределенная по участку балки в виде треугольника, меняющаяся от 0 до q, и произвольно распределенная нагрузка по длине балки q = f(x).
На балку также действуют поперечные силы и изгибающие моменты. Момент, создаваемый внутренними упругими силами, действующими в сечении, называется изгибающим моментом.
Для определения напряжений, возникающих в различных сечениях балки, необходимо знать величину и направление внутренних усилий в любом сечении, выразив их через внешние силы.
Величины сил Q и моментов М одинаковы, но направлены в разные стороны.
Таким образом, в любом поперечном сечении балки внутренние усилия приводятся к силе Q и паре с моментом М, совместно заменяющими действие одной отсеченной части балки на другую.
Сила Q складывается из элементарных касательных усилий, действующих в сечении, она называется поперечной, или прорезывающей, силой.
Эта сила сдвигает сечение относительно другого, следовательно, она создает внутренние касательные напряжения в поперечных сечениях. Поперечная сила Q считается положительной, если внешние силы, лежащие слева от проведенного сечения, направлены вверх или справа от него – вниз.
Момент внутренней пары, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, называется изгибающим моментом.
Изгибающий момент поворачивает это сечение относительно основного, чем и обусловлено искривление балки, т. е. ее изгиб. Создают изгибающий момент внутренние упругие силы, действующие перпендикулярно поперечным сечениям.
Изгибающий момент считается положительным, если алгебраическая сумма моментов, расположенных слева от сечения, дает равнодействующий момент, направленный по ходу часовой стрелки, или для правой части балки, если равнодействующий момент сил, лежащих правее сечения, направлен против часовой стрелки.
Внимание! Это не конец книги.
Данное произведение размещено по согласованию с ООО «ЛитРес» (20% исходного текста). Если размещение книги нарушает чьи-либо права, то сообщите об этом.