какие скорости бывают в математике
Понятие и основные термины
Под скоростью понимается величина, определяющая быстроту и направление перемещения материальной точки в выбранной системе отсчёта. Термин широко применяется в математике, физике, химии. Так, с его помощью описывают реакции, изменения температуры, передвижение тел, используют как производную рассматриваемой величины.
Слово «скорость» произошло от латинского «velocitas», обозначающее движение. В качестве единицы измерения, согласно Международной системе единиц (СИ), для неё выбран метр, делённый на секунду (м/с). Обозначается скорость буквой V, вне зависимости от науки, в которой её применяют. Простейшая формула, с помощью которой определяют величину, выглядит следующим образом: V = S: t. Где:
Это обобщённое уравнение, но в то же время позволяющее получить представление о понятии. Часто это неравенство называют уравнением пути. Формула используется для вычисления только в том случае, если движение не изменяется на всём исследуемом участке.
Впервые с выражением знакомят учащихся на уроках математики в пятом классе. Учитель предлагает научиться решать простые задачи на нахождение характеристики при известной длине пройденного пути и потраченного на это времени. Например, автомобиль за четыре часа проехал 16 километров. Необходимо найти, с какой скоростью он двигался. Решение задачи сводится к двум действиям. В первом все заданные величины переводятся в систему СИ: 4 часа = 240 минут = 10240 секунд; 16 километров = 16000 метров. Во втором действии данные подставляют в формулу и вычисляют ответ: V = 16000/10240 = 1,6 м/с.
Но, помимо равномерного движения, то есть при котором скорость является константой, есть ещё и другие виды перемещений. Использовать обобщённое уравнение для них нельзя. Для каждого вида движения применяется своя формула. Существующую скорость разделяют на следующие виды:
Равноускоренное движение
Если в течение времени положение тела изменяется относительно предметов, находящихся в покое, то считается, что оно движется. При этом в качестве основного параметра, описывающего перемещение, используется скорость. Движение тела или точки можно представить в виде линии, повторяющей путь прохождения. Называется она траекторией. Если линия прямая, то движение считается прямолинейным.
Неравномерное движение характеризуется перемещением по различной траектории с непостоянной величиной скорости. При этом изменение положения может быть равноускоренным, то есть параметр на одинаковых промежутках увеличивается или уменьшается на одно и то же значение. В качестве примера можно привести падение камня.
В произвольно взятой точке скорость перемещения равна ускорению свободного падения.
Таким образом, если векторы V и ускорения A лежат вдоль прямой, то в проекциях такое направление можно рассматривать как алгебраические величины. При равноускоренном движении по прямой траектории скорость точки вычисляется по формуле: V = V0 + A*t. Где:
Это основная формула в физике. На графике она изображается как прямая линия v (t). По оси ординат откладывается время, а абсцисс — скорость. Построив график, по наклону прямой можно определить ускорение точки A. Для этого используется формула нахождения сторон треугольника: A = (v-v0) / t.
Среднее значение
В кинематике для нахождения характеристики используется усреднённый параметр. Используют его при изучении движения материальной точки или любого физического тела. Для определения средней скорости используют две величины: скалярную и векторную. Первой обозначают путевое движение, а второй — перемещение.
Путевая скорость определяется как отношение расстояния пройденного тела ко времени, затраченному на его прохождение: V = Σs / Σt.
По сути, среднее значение находится как среднеарифметическое от всех скоростей, если рассматриваемая точка передвигалась одинаковые отрезки времени. В ином же случае найденная величина будет взвешенной среднеарифметической величиной.
Математически формулу средней скорости записывают так: V (t + Δ t) = Δ s/ Δ t = (s (t + Δ t) — s (t)) / Δ t. Учитывая, что Δs зависит от длины пути, которую преодолела точка за время Δt, верной будет запись: Δ s = s (t + Δt) — s (t). Если же затраченное время стремится к нулю, получится формула, совпадающая с выражением для нахождения мгновенной скорости.
Вектор материальной точки находится из отношения положения тела к отрезку времени: V (t + Δt) = Δr / Δt = (r (t + Δt) — r (t)) / Δt, где r — радиус-вектор. Когда тело выполняет равномерно-прямолинейное перемещение, то справедливым будет равенство:
Например, мяч первую половину пути длиной 100 метров катился с одной скоростью в течение двадцати секунд, а вторую с другой и одну минуту. Необходимо вычислить среднюю скорость. Согласно формулам, интервал движения на первом участке пути будет равен: t1 = s/2*V1, а на втором t2 = s/2*V2. Решением задачи будет: Vср = s/(t1+t2) = s/(s/2*v1 + s/2*v2) = 2*V1*V2/(V1+V2) = 100/(20 +60) = 1,25 м/с.
Угловая скорость
Проявляется этот вид при вращении тела вокруг оси. Траектория представляет собой круговое движение. Основным параметром, учитывающимся при его нахождении, является угол поворота (f). Все элементарные угловые движения являются векторами. Обычный поворот равен углу вращения тела df за небольшой отрезок времени dt в противоположную сторону от хода часовой стрелки.
В математике формулу для нахождения углового параметра записывают как w = df/dt. Угловая скорость — аксиальная величина, располагающаяся вдоль мгновенной оси и совпадающая с поступательным вращением правого винта. Равномерное вращение, то есть движение, при котором происходит поворот на один и тот же угол, называют равномерным. Модуль угловой скорости определяют по формуле: w = f/t, где f — угол поворота, t — время, в течение которого происходило вращение. Учитывая, что Δf = 2p, формулу можно переписать до вида: w = 2p/T, то есть с использованием периода.
Существует связь между угловой скоростью и числом оборотов: w = 2*p*v. Это понятие используется для решения заданий при описании неравномерного вращения. Есть также выражение, связывающее линейную скорость с угловой: v = [w*R], где R — компонента, проведённая перпендикулярно к радиус-вектору. В качестве единицы измерения параметра используется радиан, делённый на секунду (рад/с).
Например, необходимо определить угловую скорость вариатора в тот момент, когда подвешенная масса пройдёт расстояние, равное 10 метрам. Радиус плеча составляет 40 сантиметров. В начальный момент подвес находится в состоянии покоя, а затем начинает опускаться с ускорением A = 0,04 м/с2.
Учитывая, что линейная скорость вариатора совпадает с движением груза по прямой, можно записать: V = (2*a*S)½. Должен получится ответ: V = (4*0,04*10)½ = 1,26 м/с. Угловую же скорость находят по формуле: w = v/R, так как R = 40 см = 0,4 м, то W = 1,26/0,4 = 3,15 рад/с.
Закон сложения
Для разных систем отсчёта движения материальных точек существует закон, связывающий их между собой. Согласно ему, скорость чего-либо относительно системы, находящейся в покое, определяется суммой силы перемещения скоростей в подвижной области и более быстрой системы отсчёта по отношению к неподвижной.
Чтобы понять суть закона, лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть по железной дороге движется вагон со скоростью 80 км/ч. В этом вагоне перемещается пассажир со скоростью 3 км/ч. Приняв за систему отсчёта неподвижный железнодорожный путь, можно утверждать, что скорость пассажира относительно неё равна сумме скорости вагона и человека.
Если движение вагона и пассажира происходит в одном направлении, то значения просто складываются, V = 80+3 = 83 км/ч, в противоположном — вычитаются V = 80−3 = 77 км/ч. Но это правило будет верным лишь тогда, когда перемещение происходит по одной линии. Поэтому, если человек будет передвигаться в вагоне под углом, следует учитывать и этот фактор, так как по своей сути искомый параметр — величина векторная. Фактически рассчитываются две скорости: сближения и удаления.
Рассматриваемое событие происходит за время Δt. За этот промежуток человек преодолеет расстояние ΔS1, вагон же сможет проехать путь ΔS2. Используя закон, перемещение пассажира будет определяться по формуле: ΔS = ΔS1 + ΔS2. Собственное движение человека относительно железнодорожного пути будет равно V = ΔS1 / Δ t. Выразив значение из формулы нахождения ΔS, можно найти скорость вагона относительно железной дороги: V2 = ΔS2 / Δt.
Использование онлайн-калькулятора
В интернете существуют сервисы, позволяющие находить параметр даже тем, кто не знает формулы или слабо ориентируется в теме. С их помощью можно решать довольно сложные задания, которые требуют скрупулёзного расчёта и немалой затраты времени. Онлайн-вычисление обычно занимает не более нескольких секунд, а за достоверность результата можно не беспокоиться.
Воспользоваться сайтами-калькуляторами сможет любой пользователь, имеющий подключение к интернету и установленный веб-браузер с поддержкой Flash-технологии. Никакой регистрации или указания личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют. Система автоматически рассчитает ответ.
Из множества сайтов можно выделить три наиболее популярных среди потребителей:
Все они имеют интуитивно понятный интерфейс и, что примечательно, на своих страницах содержат таблицы всех формул, используемых для решения заданий, правильные условные обозначения и описания процессов вычисления.
Расчёт скорости любого тела несложен. Главное, знать формулы и правильно определить вид перемещения. При этом всегда можно воспользоваться услугами онлайн-калькуляторов. Через них решить поставленную задачу или проверить свои расчёты.
Скорость. Единицы скорости
Урок 29. Математика 4 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Скорость. Единицы скорости»
Ну я вчера и накаталась – объехала наш замок и его окрестности на моноколесе.
Конечно, когда я ехала на нём – это получалось так быстро – р-раз, и готово. А вот пешком идти довольно долго.
И всё потому, что движение на моноколесе и пешком происходит с разной скоростью. И сегодня я хочу поговорить с вами именно о скорости.
Я познакомлю вас с точным определением понятия «скорость». И ещё – с новым видом задач, которые называются «Задачи на движение».
Итак, приступим. В задачах на движение постоянно используются такие величины, как расстояние, время и скорость. Расстояние и время – знакомые вам величины.
И, конечно, вы знаете единицы их измерения. А вот с такой величиной как скорость, вам ещё не приходилось сталкиваться на уроках математики.
Но с этим понятием вы постоянно встречаетесь в жизни – когда идёте в школу или из школы, когда соревнуетесь в чём-нибудь. Да мало ли разных ситуаций в жизни, когда мы говорим: Ого! Вот это скорость! Или, наоборот: Ну и скорость! Как у черепахи.
Для того, чтобы вы поняли, что такое «скорость», разберём вот такую задачу.
Как-то раз я два часа ехала на моноколесе. И проехала за это время двадцать четыре километра. Как вы думаете, по сколько километров я проезжала за каждый час?
Посмотрите на рисунке, как это выглядело.
Вот я ехала один час, а вот второй. Весь путь, который я проехала за два часа, называется «расстояние». Оно равно двадцати четырём километрам. Вот те отрезки пути, которые я проезжала за каждый час. Так как ехала я два часа, то таких отрезков тоже два. А теперь надо узнать, сколько километров я проезжала за каждый час.
Ехала я равномерно, не останавливалась, не ускоряла и не замедляла движение. Поэтому эти отрезки пути одинаковые. А это значит, что узнать, по сколько километров за каждый час я проезжала, нужно действием деления. Двадцать четыре разделить на два, получится двенадцать. По двенадцать километров я проезжала за каждый час.
Ответ: скорость Решалочки на моноколесе 12 км/ч.
В пояснении к числу двенадцать так и указывается, что это расстояние, пройденное за один час. Это и есть скорость, с которой я двигалась.
Скорость – это расстояние, пройденное за одну единицу времени. Например, за один час, или за одну минуту. Поэтому и обозначают скорость двойным пояснением. Не просто двенадцать километров, а двенадцать километров в час.
А вот когда я те же двадцать четыре километра решила пройти пешком, на дорогу у меня ушло целых шесть часов. Посмотрите, как я шла.
Конечно, пешком я двигалась значительно медленнее, чем на колесе. Что сейчас произошло с отрезком, изображающим весь путь? Он разделён на шесть отрезков. Их количество равно количеству часов, которые были потрачены на дорогу. А эти маленькие отрезки – те части расстояния, которые я проходила за каждый час. Ещё раз напоминаю, что расстояние, пройденное за одну единицу времени, например, за один час, или за одну минуту, за одну секунду называется скоростью.
Как же узнать скорость, с которой я шла?
Ответ: Решалочка шла со скоростью 4 км/ч.
Хочу сказать вам, что я всю дорогу шла не торопясь, но равномерно, в одном темпе, то есть с постоянной скоростью. Итак, для того, чтобы найти расстояние, пройденное за один час, на рисунке я весь отрезок разделила на шесть равных частей. Точно так же выполним и математическое действие. Двадцать четыре делим на шесть – получилось четыре километра. Не забудьте! В час! Так и записываем в пояснении. Значит, пешком я прошла эти двадцать четыре километра со скоростью четыре километра в час.
Давайте сравним две эти решённые задачи.
Видите, расстояние в них одинаковое, но там, где больше скорость – меньше время, затраченное на весь путь. И, наоборот, там, где меньше скорость – больше времени затрачено на весь путь.
А вы знаете, ребята, у меня есть друг по имени Тик с маленькой планеты Мате-Матя.
Он иногда прилетает ко мне в гости и носится здесь на своей летающей тарелке. Так вот, Тик те же двадцать четыре километра пролетает на тарелочке всего за четыре секунды. Давайте узнаем скорость его летающей тарелочки.
Но прежде я хочу показать вам, как записывается краткое условие задач на движение. Это удобно делать в таблице из трёх колонок – скорость, время, расстояние. Кстати, скорость в математике обозначают латинской буквой v, время – буквой t, а расстояние – буквой s. Скорость тарелочки нам неизвестна, время – четыре секунды, расстояние – двадцать четыре километра.
Так как мы найдём скорость летающей тарелочки Тика? Догадались? Конечно, делением. Расстояние делим на время.
Вы обратили внимание, ребята, что скорость Тика на летающей тарелке – шесть километров в СЕКУНДУ? Ведь время дано было именно в секундах.
Ответ: скорость летающей тарелки 6 км/с.
Ну а теперь я предлагаю вам самостоятельно решить ещё одну задачу – про мою любимую черепашку Дюшу, которая живёт в тридцати метрах от нашего замка. Я добегаю до дома черепашки за шесть секунд, а Дюша ползёт до замка пятнадцать минут.
А чтобы вы наглядно представили себе условие задачи, я размещу все данные в таблице.
Я надеюсь, вы не забыли, что для того, чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время. И решили задачу вот так:
1) 30 : 6 = 5 (м/с) – скорость Решалочки
2) 30 : 15 = 2 (м/мин) – скорость Дюши
Ответ: скорость Решалочки 5 м/с, скорость Дюши 2 м/мин.
Ребята, обратите внимание на то, что, когда мы находили мою скорость, делили метры на секунды, и скорость была выражена в метрах в секунду. А когда находили скорость Дюши, делили метры на минуты. И скорость выражена в метрах в минуту.
А вот если необходимо сравнить наши с Дюшей скорости, то время в них должно быть выражено одинаковыми величинами. Моя скорость – пять метров в секунду, а Дюшина – два метра в минуту. Пожалуй, удобнее будет сделать так, чтобы моя скорость тоже была выражена в метрах в минуту.
Как вы думаете, что надо сделать, чтобы узнать скорость не за секунду, а за минуту?
Так как в одной минуте шестьдесят секунд, то за минуту я пробегу в шестьдесят раз больше, чем за одну секунду. И тогда моя скорость будет равна трёмстам метрам в минуту.
Ого, как быстро я бегаю, если сравнивать со скоростью Дюши. Но моя скорость гораздо меньше скорости Тика на летающей тарелке.
Вспомните, ребята, в каких единицах выражена скорость в наших задачах? Километры в час, километры в секунду, метры в минуту, метры в секунду.
Ну что же, пожалуй, пришло время нам попрощаться – за последние дни я так находилась и набегалась, что устала. Пора, наверное, мне отдохнуть. Но прежде я хочу вам ещё раз напомнить.
Не забудьте, пожалуйста, что скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени. Именно одну единицу времени. Например, за одну минуту, или за одну секунду, за один час. Поэтому скорость обозначается двойным пояснением, в котором указывается, какое именно расстояние пройдено, и за какую единицу времени.
И ещё: чтобы найти скорость, надо пройденное расстояние разделить на время, за которое это расстояние преодолели.
Не забудете? Я надеюсь, что нет. Удачи вам, ребята. И до встречи!
Скорость, время, расстояние
Скорость движения – это расстояние, пройденное за единицу времени.
Единицей времени является 1 секунда, 1 минута или 1 час.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.
В качестве единиц измерения скорости мы будем пользоваться единицами длины и единицами времени. Обычно используют такие единицы скорости, как метр в секунду, метр в минуту, километр в час и другие, а записывают так: м/с, м/мин, км/ч. Обратите внимание, что предлог “в” в математике заменили чёрточкой “ / ”.
Прибор для измерения скорости: спидометр.
Чем меньше времени затрачено на дорогу, тем больше скорость движения.
Чем меньше скорость движения, тем больше времени требуется на дорогу.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.
Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.
При решении задач на движение стоит помнить, что при движении навстречу друг другу скорости складываются, а при движении друг за другом – вычитается.
Складывая две скорость при движении в противоположных направлениях, мы получаем скорость, с которой объекты удаляются друг от друга. Её мы будем называть скоростью удаления.
Место встречи всегда ближе к пункту, из которого вышел пешеход, у которого скорость меньше.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Математика. 4 класс
Конспект урока
Математика, 4 класс
Урок № 35. Понятие скорости. Единицы скорости
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— что такое «скорость»?
— какими единицами измеряется скорость?
— как вычислить скорость?
Скорость – это расстояние, пройденное объектом за единицу времени.
Скорость – это величина, её можно измерять и сравнивать.
Чтобы узнать скорость движения, нужно расстояние разделить на время.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 2. М.; Просвещение, 2016. – с.3
3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.54
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Наверняка вы замечали, что в окружающем нас мире постоянно что-то движется. Что-то движется быстрее, а что-то медленнее. Например, по дороге идёт человек, едет автомобиль, в воздухе летит самолёт. Все они движутся, но автомобиль движется быстрее человека, а самолёт быстрее автомобиля. В математике величиной характеризующей быстроту движения объектов, является скорость.
Кто бежит быстрее, зебра или страус, если зебра бежит со скоростью 60 км/ч, а страус за минуту пробегает 500м?
Легковая машина прошла 160 км за 2 часа. В течение каждого часа она проходила одинаковое расстояние. Сколько километров проходила эта машина за один час?
Чтобы найти, какое расстояние машина проехала за один час, нужно все пройденное расстояние, 160 км, разделить на время, 2 часа. Таким образом, скорость движения машины – 80 километров в час. Иначе можно сказать, что за один час машина проходила 80 километров.
Сокращенно записывается так: 80 км/ч.
Космический корабль пролетает 8 тысяч метров в секунду. Его скорость можно записать так: 8000 м/с.
Вы знаете, что 1000 м = 1 км. Значит, скорость космического корабля можно записать иначе: 8000 м/с = 8 км/с.
Например, черепаха за минуту проползает пять метров, это значит, что скорость движения черепахи – пять метров в минуту. Улитка за одну секунду может проползти один сантиметр, то есть скорость улитки – один сантиметр в секунду.
Скорость движения – это расстояние, пройденное за единицу времени.
Единицей времени может быть одна секунда, одна минута или один час.
Чтобы узнать скорость движения, нужно расстояние разделить на время.
Скорость = Расстояние : Время
Задания тренировочного модуля:
1. Соотнесите значение скорости с объектом.