какие случаи расположения прямой и окружности вам известны
Тема урока: Взаимное расположение прямой и окружности
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема урока: Взаимное расположение прямой и окружности
Цель урока: усвоение новых знаний о взаимном расположении прямой и окружности и о взаимном расположении двух окружностей
Задачи урока: разобрать теоремы о взаимном расположении прямой и окружности
1 этап: Орг момент, приветствие, проверка домашнего задания
Рассмотрим, как могут располагаться между собой прямая и окружность и две окружности.
Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности
Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (они не пересекаются). 
Прямая и окружность имеют только одну общую точку ( касаются ).
точка А – точка касания,
прямая а – касательная.
Определение : Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Точки К и М – точки пересечения прямой и окружности.
Прямая имеет с окружностью две общие точки (пересекаются).
Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки,
КМ – хорда окружности.
Диаметр окружности, разделяющий хорду пополам, перпендикулярен к этой хорде.
Теорема 2 (обратная теореме 1):
Если диаметр окружности перпендикулярен к хорде, то он разделит хорду на две равные части.
Следствие 1 : Если расстояние от центра окружности до секущей прямой меньше длины радиуса окружности, тогда прямая пересекает окружность в двух точках.
Следствие 2: Хорды окружности, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, равны.
Теорема 3: Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Следствие 3 : Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной.
Следствие 4 : Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не пересекается с окружностью.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-086163
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В России запустили «Школу общественной дипломатии» для малочисленных народов
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах
Время чтения: 1 минута
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки утвердило перечень олимпиад для школьников на 2021-2022 учебный год
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения объявило конкурс «Учитель-международник»
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Геометрия. 9 класс
Две окружности могут пересекаться, не пересекаться либо касаться друг друга.
Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей.
Рассмотрим окружность с центром О1 и окружность с центром О2. Тогда расстояние между их центрами равно О1О2.
I. Пересекающиеся окружности имеют две общие точки.
Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей больше разности, но меньше суммы их радиусов:
II. Не пересекающиеся окружности не имеет общих точек.
Если одна окружность лежит внутри другой, то расстояние между центрами меньше разности их радиусов:
Если одна окружность находится вне другой, расстояние между центрами больше суммы их радиусов:
III. Касающиеся окружности имеют одну общую точку – точку касания.
При внешнем касании расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов:
При внутреннем касании расстояние между центрами равно разности радиусов:
Если центры окружностей совпадают, то такие окружности называются концентрическими.
Концентрические окружности разного радиуса не пересекаются: О1О2 = 0
В случае равенства радиусов они совпадают.
Если же радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой – образуется кольцо.
Кольцом называют фигуру, заключенную между концентрическими окружностями.
НАШИ ПАРТНЁРЫ
© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»
Презентация по математике «Взаимное расположение двух окружностей» 6 класс
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Кулешовская средняя общеобразовательная школа №17 Азовского района Урок математики в 6 классе по учебнику Г.В. Дорофеева, И.В. Шарыгина по теме: учитель математики Головань Ольга Георгиевна «Две окружности на плоскости»
Какие случаи расположения прямой и окружности вам известны? Повторение Для каждого случая сравните радиус окружности расстояние от центра окружности до прямой Какая прямая называется касательной? Какая прямая называется секущей? Как проходит касательная по отношению к радиусу окружности?
Взаимное расположение двух окружностей Могут не пересекаться – не иметь общих точек. Могут пересекаться – иметь две общие точки. Могут касаться – иметь одну общую точку.
Решение упражнений по учебнику № 421, № 423, №429 Домашнее задание № 419, № 420, №422, №415
1) Как могут располагаться две окружности? 1) В каком случае окружности имеют одну общую точку? 3) Как называется общая точка двух окружностей? 4) Какие касания вам известны? 5) Когда окружности пересекаются? 6) Какие окружности называются концентрическими? Итог урока
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1355195
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Минобразования Кузбасса рекомендовало техникумам и школам уйти на каникулы до 7 ноября
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Google сможет удалять снимки с детьми из результатов поиска по запросу
Время чтения: 1 минута
Фальков поручил проверить знания студентов после нерабочих дней
Время чтения: 1 минута
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Конспект урока «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Раздел долгосрочного планирования:
Школа: К ГУ «Школа-лицей №20 г.Темиртау»
ФИО учителя: Мисник В.С.
Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей.
Цели обучения, достигаемые на этом уроке (Ссылка на учебный план)
анализировать случаи взаимного расположения прямой и окружности, двух окружностей;
Все : выполняют построения по условию задачи, находят расстояние от центра окружности до прямой, между центрами окружностей;
Большинство: анализируют случаи взаимного расположения прямой и окружности, двух окружностей;
Некоторые: по заданному расстоянию определяют взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.
Решает задачи на определение взаимного расположения прямой и окружности
Решает задачи на определение взаимного расположения двух окружностей
Языковая цель обучения
Объясняют случаи взаимного расположения прямой и окружности, двух окружностей, используя придаточное предложения причины предложения с «если».
Предметная лексика и терминология:
Прямая, окружность, расстояние от центра окружности до прямой, концентрические окружности, касательная к окружности, секущая
Серия полезных фраз для диалога/письма:
Если прямая и окружность имеют …, то …
Если две окружности имеют …, то …
Формирование навыков культуры общения (уважение, сотрудничество)
Знают понятия окружность, расстояние от точки до прямой
Запланированные этапы урока
Виды упражнений, запланированных на урок:
Учитель приветствует учащихся
О чем пойдет речь на уроке вы узнаете разгадав ребус
Сегодня мы будем говорить о взаимном расположении прямой и окружности, двух окружностей.
Учащиеся ставят свои цели на урок, учитель обобщает их и ставит цели урока.
Участвуют в обсуждении.
Презентация Power Point
Изучение нового материала
Стратегия «Горячий стул»
Учитель задает вопросы:
1) Дайте определение окружности
2) Назовите элементы окружности.
3) Что называется расстоянием от точки до прямой?
4) Что такое перпендикуляр?
Стратегия «Берешь одно-даешь другое»
Учащиеся, сидящие за первым вариантом, разбирают по учебнику тему «Взаимное расположение прямой и окружности», за вторым вариантом – «Взаимное расположение двух окружностей».
1) изучите материал учебника;
2) выпишите основные мысли и выполните к ним чертежи;
3) по хлопку объясняете друг другу изученный вами материал.
II. Проверяет уровень усвоения теоретического материала с помощью диктанта.
1) Как могут располагаться прямая и окружность на плоскости?
2) Может ли прямая иметь с окружностью три общие точки?
3) Как нужно провести касательную к окружности через точку, лежащую на окружности?
4) Сколько касательных можно провести к окружности через точку:
а) лежащую на окружности;
б) лежащую внутри окружности;
в) лежащую вне окружности?
5) Дана окружность ω (O; r) и точка А, лежащая внутри окружности. Сколько точек пересечения будет иметь: а) прямая ОА; б) луч ОА; в) отрезок ОА?
6) Как разделить хорду окружности пополам?
Совместное решение задачи:
1) Определить взаимное расположении прямой и окружности, если:
а) прямая и окружность не имеют общих точек;
б) прямая является касательной к окружности;
в) прямая пересекает окружность.
2) Радиусы двух окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между наиболее удаленными точками этих окружностей равно: а) 18 см, б)16 см, в) 13 см, г) 8 см. определить взаимное расположение данных окружностей.
Задание 1 Найдите расстояние между центрами окружностей радиусов 5 м и 7 м, которые касаются:
a) внешним способом
b) внутренним способом
— выполняет чертеж касания окружностей внешним образом/внутренним образом;
— находит расстояние между центрами.
Задание 2 Каково взаимное расположение прямой и окружности, если:
a) радиус окружности равен 16 см, расстояние от центра окружности до прямой 12 см;
b) радиус окружности равен 5 см, расстояние от центра окружности до прямой 4,2 см
c) радиус окружности равен 7,2 см, расстояние от центра окружности до прямой 3,7 см
Сделайте чертеж и объясните свой ответ в каждом случае.
— описывает расположение прямой и окружности в каждом случае;
— выполняет соответствующий чертеж;
— поясняет свой ответ.
Найдите радиусы двух касающихся окружностей, если они пропорциональны числам 1 и 3, а расстояние между центрами окружностей равно 16 см. Рассмотрите два варианта.
— определяет варианты расположения двух окружностей;
— составляет выражения, определяющее расстояние между центрами окружностей при каждом варианте касания;
— находит радиус меньшей окружности;
— находит радиус большей окружности.
Отвечают на вопросы
Изучают материал учебника.
Делают необходимые пометки.
Объясняют в паре друг другу
Письменно отвечают на вопросы
Выполняют работу самостоятельно
Самопроверка по образцу
— Что интересного и нового вы узнали на уроке?
Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?
Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?
Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности
В этом разделе напишите чему научились ученик на уроке и методы и приемы, испольуемые на уроке.
Использование на уроках разминочных упражнений и активные виды работы.
Была ли реальной и доступной цель урока или учебные цели?
Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?
Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?
Используйте данный раздел урока для рефлексии. О тветьте на вопросы, которые имеют важное значение в этом столбце.
Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
Какие две вещи могли бы улучшить Ваш урок (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?
Что нового я узнал из этого урока о своем классе или об отдельных учениках, что я мог бы использовать при планировании следующего урока?
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Похожие материалы
Конспект урока по математике «Цифра 3»
Конспект по математике «Нумерация» 4 класс
Конспект урока по математике «Математика вокруг нас»
«Сложение целых чисел» карточка-тренажёр.
Презентация по математике «Вверху, внизу, слева, справа»
Презентация и игра по математике «Сколько? Который по счету?»
Разноуровневые упражнения «Умножение чисел, значение которых оканчивается нулями»
Урок математики во 2 классе «Состав числа 12»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5243850 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Власти Амурской области предложили продлить каникулы в школах в связи с эпидобстановкой
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор оставил за регионами решение о дополнительных школьных каникулах
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
В Москве стартует онлайн-чемпионат для школьников Soft Skills — 2035
Время чтения: 1 минута
Средняя зарплата учителей в Москве достигла 122 тыс. рублей
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Взаимное расположение прямой и окружности
Взаимное расположение прямой и окружности Выясним, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух концах диаметра, лежащего на. этой примой.
Пусть прямая р не проходит через центр О окружности радиуса r. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим буквой d длину этого перпендикуляра, т. е, расстояние от центра данной окружности до прямой (рис. 1). Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между d и r. Возможны три случая.
1) d ОН= r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно , точка М не лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
3) d>r В этом случае -ОН> r поэтому .для любой точки М прямой р 0М
ОН.> r(рис.1,а) Следовательно точка М не лежит на окружности. Итак, .если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.
Мы доказали, что прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 2 прямая р — касательная к окружности с центром О, А— точка касания.
Докажем теорему о свойстве касательной.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Предположим, что это не так. Тогда радиус: ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояния от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию; прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказала.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и С (рис. 3). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касательных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойством, вытекающим из доказанной теоремы:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Для доказательства этого утверждения обратимся к рисунку 3. По теореме о свойство касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ=АС и 
3=4, что и требовалось доказать. Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве касательной (признак касательной).
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности, Теорема доказана.
На этой теореме основано решение задач на построение касательной.
Прямая и окружность могут, очевидно, находиться только в следующих трех относительных положениях:
1) Расстояние (ОС) центра от прямой (АВ) (т. е, длина перпендикуляра ОС, опущенного из центра на прямую) больше радиуса окружности (рис. 1). Тогда точка С прямой удалена от центра больше, чем радиус, и потому лежит вне круга. Так как все остальные точки прямой удалены от О еще более, чем точка С (наклонные длиннее перпендикуляра), то они все лежат вне круга, значит, тогда прямая не имеет никаких точек, общих с окружностью.
2) Расстояние (ОС) центра от прямой меньше радиуса. В этом случае (рис.2) точка С лежит внутри круга и тогда, очевидно, прямая пересекается с окружностью.
3> Расстояние (ОС) центра от прямой равно радиусу. Тогда точна С (рис. 3) принадлежит и прямой, и окружности, все же остальные точки прямой, будучи удалены от О более, чем точка С, лежат вне круга. Значит, в этом случае Прямая и окружность имеют только одну общую точку, именно ту, которая служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра на прямую.
Такая прямая, которая с окружностью имеет только одну общую точку, называется касательной к окружности; общая точка называется точкой касания.
Относительно касательной мы докажем следующие две теоремы (прямую и обратную) (рис. 4):
1) если прямая (MN) перпендикулярна к радиусу (ОА) в конце его (А), лежащем на окружности, то она касается окружности, и обратно (рис. 4);
2) если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.
Теорема. Если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.
Пусть прямая АВ касается окружности в точке М (рис. 5) и параллельна хорде CD; требуется доказать, что 
.
Проведя через точку касания диаметр МЕ, будем иметь: 
; поэтому
Зависимость между дугами, хордами и расстояниями хорд от центра.
Теоремы. В одном круге или в равных кругах:
1) если дуги, равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;
2) если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру.
1) Пусть дуга АВ равна дуге CD (рис. 1), требуется доказать, что хорды АВ и CD равны, а также равны и перпендикуляры ОЕ и OF, опущенные из центра на хорды.
Повернем сектор OAJB вокруг центра О в направлении, указанном стрелкой на столько, чтобы радиус ОБ совпал с ОС. Тогда дуга ВА. пойдет по дуге CD и вследствие их равенства эти дуги совместятся. Значит, хорда AS совместится с хордой CD и перпендикуляр ОЕ совпадет с OF (из одной точки можно опустить на прямую только один перпендикуляр), т. е. AB=CD и OE=OF.
2) Пусть дуга АВ (рис. 2) меньше дуги CD, и притом обе дуги меньше полуокружности; требуется доказать, что хорда АВ меньше хорды CD, а перпендикуляр ОЕ больше перпендикуляра OF. Отложим на дуге CD дугу СК, равную АВ, и проведем вспомогательную хорду СК, которая, по доказанному, равна хорде АВ и одинаково с ней удалена от центра. У треугольников COD и СОК две стороны одного равны двум сторонам другого (как радиусы), а углы, заключенные между этими сторонами, не равны; в этом случае, как мы знаем, против большего из углов, т. е. lCOD, должна лежать большая сторона, значит, CD>CK, и потому CD>AB.
Для доказательства того, что OE>OF, проведем OLXCK и примем во внимание, что, по доказанному, OE=OL; следовательно, нам достаточно сравнить OF с OL. В прямоугольном треугольнике 0FM (покрытом на рисунке штрихами) гипотенуза ОМ больше катета OF; но OL>OM; значит, и подавно OL>OF. и потому OE>OF.
Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной и для равных кругов, потому что такие круги один от другого отличаются только положением.
Обратные теоремы. Так как в предыдущем параграфе рассмотрены всевозможные взаимно исключающие случаи относительно сравнительной величины двух дуг одного радиуса, причем получились взаимно исключающие выводы относительно сравнительной величины хорд и расстояний их от центра, то обратные предложения должны быть верны, в. именно:
В одном круге или е равных кругах:
1) равные хорды одинакова удалены от центра и стягивают равные дуги;
2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;
3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;
4) из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.
Эти предложения легко доказываются от противного. Например, для доказательства первого из них рассуждаем так: если бы данные хорды стягивали неравные дуги, то, согласно прямой теореме, они были бы не равны, что противоречит условию; значит, равные хорды должны стягивать равные дуги; а если дуги равны, то, согласно прямой теореме, стягивающие их хорды одинаково удалены от центра.
Теорема. Диаметр есть наибольшая из хорд.
Как уже было сказано, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеют одинаковую длину. Эту длину называют касательным расстоянием от точки до окружности.
Без теоремы о касательных не обходиться решение не одной задачи о вписанных окружностях, иными словами, об окружностях, касающихся сторон многоугольника.
Касательные расстояния в треугольнике.
Найдем длины отрезков, на которые стороны треугольника АВС разбиваются точками касания с вписанной в него окружностью (рис. 1,а), например касательное расстояние tа от точки А до окружности. Сложим стороны b и c, а затем из суммы вычтем сторону а. Учитывая равенство касательных, проведенных из одной вершины, получим 2tа. Итак,
где p=(a+b+c)/2 – полупериметр данного треугольника. Длина отрезков сторон, прилегающим к вершинам В и С, равны соответственно p-b и p-c.
Заметим, что эти формулы можно использовать и «в обратную сторону».
Пусть в угол ВАС вписана окружность, причем касательное расстояние от вершины угла до окружности равно p или p-a, где p – полупериметр треугольника АВС, а а=ВС. Тогда окружность касается прямой ВС (соответственно снаружи или внутри треугольника).
В самом деле, пусть, например, касательное расстояние равно p-a. Тогда наши окружности касаются сторон угла в тех же самых точках, что и вписанная окружность треугольника АВС, а значит, совпадает с ней. Следовательно, она касается прямой ВС.
Описанный четырехугольник. Из теоремы о равенстве касательных сразу получается (рис. 2,а), что
если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
Отметим, что описанный четырехугольник обязательно выпуклый. Верно и обратное:
Если четырехугольник выпуклый и суммы его противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Докажем это для четырехугольника, отличного от параллелограмма. Пусть какие-то две противоположные стороны четырехугольника, например AB и DC, при продолжении пересекутся в точке Е (рис. 2,б). Впишем окружность в треугольник ADE. Ее касательное расстояние te до точки E выражается формулой
Но по условию суммы противоположных сторон четырехугольника равны, а значит, AD+BC=AB+CD, или AD=AB+CD-BC. Подставив это значение в выражение для te, получим
а это – полупериметр треугольника BCE. Из доказанного выше условия касания следует, что наша окружность касается BC.
Две касательные, проведённые к окружности из точки вне её, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром, что следует из равенства прямоугольных треугольников АОВ и АОВ1