какие соединения называются размещениями

Какие соединения называются размещениями

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Источник

Размещение (комбинаторика)

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Например, — это 4-элементное размещение 6-элементного множества <1,2,3,4,5,6>.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов <1,2,3>(то есть, совпадают как сочетания).

Содержание

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое , дается формулами:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту , в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

Размещение с повторениями

Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно 10 3 = 1000.

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Размещение (комбинаторика)» в других словарях:

Размещение:Комбинаторика — В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется упорядоченный набор … Википедия

РАЗМЕЩЕНИЕ — см. Комбинаторика … Большой Энциклопедический словарь

Размещение — В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется… … Википедия

размещение — я; ср. 1. к Разместить размещать и Разместиться размещаться. Р. людей по квартирам. Р. нового оборудования в цехе. Дать время на р. 2. Порядок, система расположения чего л. Р. электродов. Р. производительных сил. Р. промышленных объектов по… … Энциклопедический словарь

РАЗМЕЩЕНИЕ — см. Комбинаторика … Естествознание. Энциклопедический словарь

История комбинаторики — освещает развитие комбинаторики раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, а также перечисление и смежные… … Википедия

Сочетание — В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ — комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру. Первые несколько чисел Каталана: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430 … Википедия

Источник

Размещения

п.1. Размещения без повторений

Например:
Для создания 3-значного пароля используются символы из алфавита <+,*,A. 2>.
Сколько всего паролей без повторения символов можно составить?
По условию n = 5, k = 3. Рассматриваем размещение 5 символов по 3 позициям без повторений: \(\mathrm< A_5^3=\frac<5!><(5-3)!>=5\cdot 4\cdot 3 = 60 >\)
Всего 60 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции – 5 вариантов символов, на второй – 4 оставшихся, на третьей – 3 оставшихся. Итого, по правилу произведения: 5 · 4 · 3 = 60 паролей.

п.2. Размещения с повторениями

п.3. Примеры

Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений 〈3,2〉-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

1) Для перестановок, 〈3,3〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельная перестановка. Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1 Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок.

2) Для размещений без повторений, 〈3,2〉-выборок, получаем:

В каждом ряду – отдельное размещение. В первом столбце слева – 3 варианта по цвету. Во втором столбце остается только 2 варианта. Итого: \(\mathrm\) размещений.

Пример 2. Исследуйте перестановки без повторений и размещения для 〈4,3〉 выборок и для 〈4,2〉 выборок без повторений из 4 разноцветных фишек.
Изобразите полученные решения.

Рассматриваем фишки:

В каждом ряду – отдельная перестановка. Итого: P4=4·3·2·1=24 перестановки.

В каждом ряду – отдельное размещение. Итого: \(\mathrm\) размещения.

В каждом ряду – отдельное размещение. Итого: \(\mathrm\) размещений.

Пример 3. Исследуйте различие между перестановкой с повторениями и размещением с повторениями. Сделайте вывод.
Перестановка с повторениями: сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «МАМА»? Запишите все эти слова в лексикографическом порядке.
Размещение с повторениями: сколько 4-буквенных слов можно получить, используя две буквы: «М» и «А»? Запишите все эти слова в лексикографическом порядке.

1) Для перестановки с повторениями получаем: \begin \mathrm< a_1=M,k_1=2,\ \ \ a_2=A,k_2=2 >\\ \mathrm< k=k_1+k_2=2+2=4 >\\ \mathrm< P_4(2;2)=\frac<4!><2!\cdot 2!>=\frac<24><2\cdot 2>=6 > \end Все 6 слов в лексикографическом порядке:

Вывод: вариантов для размещения с повторениями получается больше, т.к. они включают слова с одной, тремя и четырьмя «М» и «А». А в перестановки с повторениями входят только слова с двумя «М» и двумя «А».

Пример 4. В базе данных с номерами телефонов содержатся все 7-значные номера.
1) Сколько в книге номеров, в которых цифры не повторяются?
2) Сколько в книге всего номеров?
3) Сколько в книге номеров, у которых 4 последних цифры одинаковые?
4) Сколько в книге номеров, у которых 4 последних цифры одинаковые, а 3 первых цифры отличаются от 4 последних?
1) Цифр – всего 10:

Источник

Размещение:Комбинаторика

В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Например, — это 4-элементное размещение 6-элементного множества <1,2,3,4,5,6>.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов <1,2,3>(то есть, совпадают как сочетания).

Содержание

Количество размещений

Количество размещений из n по k, обозначаемое , дается формулами:

Последнее выражение имеет естественную комбинаторную интерпретацию: каждое размещение из n по k однозначно соответствует некоторому сочетанию из n по k и некоторой перестановке элементов этого сочетания; число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту , в то время как перестановок на k элементах ровно k! штук.

Размещение с повторениями

Например, количество вариантов 3-x значного кода, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно 10 3 = 1000.

Пример алгоритма получения размещений с повторениями для массива объектов на Java

Пример получения размещений с повторениями для списка на Haskell

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Размещение:Комбинаторика» в других словарях:

Размещение (комбинаторика) — В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется упорядоченный набор … Википедия

РАЗМЕЩЕНИЕ — см. Комбинаторика … Большой Энциклопедический словарь

Размещение — В комбинаторике размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны. Более формально, размещением (из n по k) называется… … Википедия

размещение — я; ср. 1. к Разместить размещать и Разместиться размещаться. Р. людей по квартирам. Р. нового оборудования в цехе. Дать время на р. 2. Порядок, система расположения чего л. Р. электродов. Р. производительных сил. Р. промышленных объектов по… … Энциклопедический словарь

РАЗМЕЩЕНИЕ — см. Комбинаторика … Естествознание. Энциклопедический словарь

История комбинаторики — освещает развитие комбинаторики раздела конечной математики, который исследует в основном различные способы выборки заданного числа m элементов из заданного конечного множества: размещения, сочетания, перестановки, а также перечисление и смежные… … Википедия

Сочетание — В комбинаторике сочетанием из по называется набор элементов, выбранных из данного множества, содержащего различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания… … Википедия

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ — комбинаторная математика, комбинаторика, раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов нек рого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения… … Математическая энциклопедия

Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики. Последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана, хотя была известна ещё Л. Эйлеру. Первые несколько чисел Каталана: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430 … Википедия

Источник

Основные понятия

Перестановки

Обычно начинают объяснять с размещений, но я сознательно хочу начать с перестановок, так как на их примере проще понять логику вычисления.

Итак, вернемся к задаче из примера: Сколькими способами можно создать числа, переставляя цифры в числе 12345?

У нас есть пять цифр (пусть это будет пять кубиков с цифрами): 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Начинаем постепенно заполнять эти позиции: на первую позицию (в первую коробочку) мы можем поместить одну из пяти цифр (один из пяти кубиков). То есть у нас есть пять вариантов заполнения первой позиции.

Предположим, мы взяли кубик с номером 4.

Теперь у нас осталось четыре цифры (кубика): 1,2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первая уже заполнена, то есть свободных позиций четыре: 4▢▢▢▢.

На размещение во второй коробочке у нас осталось 4 «претендента». Мы взяли кубик с номером 4. Но если бы мы взяли любой из других кубиков, у нас все равно было бы 4 варианта заполнения второй коробочки (просто мы выбирали бы из другого набора ставшихся кубиков), то есть на каждый вариант заполнения первой коробочки у нас приходится по четыре варианта заполнения второй.

Предположим, мы взяли кубик с номером 1.

У нас осталось три цифры (кубика): 2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первые две уже заполнены: 41▢▢▢.

Почему последние два числа совпадают? Все просто: на последнем этапе у нас остается всего один кубик, но и одна пустая коробочка. То есть у нас уже нет вариантов размещения. Поэтому последний шаг уже не оказывает влияния на число перестановок.

Нетрудно догадаться, что сколько бы элементов (цифр, чисел, воздушных шариков и так далее) нам ни дали, мы можем узнать число из перестановок умножая последовательно число элементов на все целые числа меньше него.

В математике для подобной операции существует функция, которая называется факториал и обознается восклицательным знаком, стоящим за числом, факториал которого нужно вычислить.

Обозначается число перестановок из n так:

В итоге мы получаем следующую формулу для вычисления количества перестановок для n элементов:

Размещения

Размещение очень похоже на перестановку, с одной лишь разницей: у нас обычно «не хватает» позиций (коробочек) для размещения всех элементов (кубиков).

Обозначается размещение n из k так:

При k = n (то есть когда число «коробочек» равно числу «кубиков») количество размещений равно количеству перестановок порядка n.

Возьмем задачу из примера: Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр от 1 до 5?

Если мы по аналогии с перестановками попробуем по шагам считать, то увидим, что мы остановились после заполения третьей (последней) «коробочки»:

Мы можем записать так:

а в общем виде так:

Размещение с повторением

Существует вариант, когда мы можем повторно использовать один и тот же элемент, независимо от того, использовали мы его до этого, или нет. В случае с кубиками и коробочками это будет выглядеть так: у нас есть не по одному кубику с каждым номером, а неограниченное число кубиков с каждым из чисел. Это называется размещение n из k с повторением и обозначается:

Начнем заполнять «коробочки».

У нас есть пять кубиков с цифрами: 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Положим, в первую мы кладем номер 4.

Значит у нас осталось четыре свободных «коробочки»: 4▢▢▢▢.

Начинаем заполнять вторую коробочку. Их у нас четыре, как я уже сказал. Но кубиков у нас, в отличии от размещения без повторения осталось всё равно пять. Значит у нас на каждый вариант заполения первой коробочки приходится пять вариантов заполения второй.

Соотвественно две первые коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5 = 25 способами (а не 5⋅ 4 = 20, как в случае без повторения).

Повторяя рассуждения мы вычислим, что три коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5⋅ 5 = 125 способами.

В общем случае число размещений равно числу элементов (кубиков) в степени числа возможных позиций для размещения (коробочек).

Сочетания

Сочетания похожи на размещения, однако для сочетаний совершенно не важно, в каком порядке расположены коробочки. Обозначаются сочетания так:

Как нам вывести формулу для сочетаний? Для начала возьмем число размещений и разделим на число всех вариантов «перемешивания» каждого набора (ведь при «перемешивании» получается тот же набор, просто расположенный в другом порядке). Но чему равно число этих «перемешиваний», спросите вы? А если не спросите, то значит я не зря писал эту статью, потому что внимательный читатель сам заметит, что в данном случае речь идет о перестановках. Обратите внимание, что тут мы переставляем не кубики, а коробочки, которых k штук, поэтому речь идет не о P_n, а о P_k. В итоге мы получаем формулу:

А теперь вернемся к задаче из примера: В вазе есть тюльпаны пяти цветов: белые, желтые, оранжевые, красные и розовые. Сколькими способами можно создать букет из трех тюльпанов, если в букете должно быть по одному цветку каждого цвета?

Сочетания с повторениями

Я думаю, вы уже догадались, что такое сочетания с повторениями. Это сочетания, при которых можно использовать элементы повторно. Обозначается сочетание с повторением так:

А теперь задание для особо внимательных: могли ли мы совершить такой же «фокус» в случае с размещением с перестановками? Если могли, то почему не сделали? А если не могли, то почему? Жду ответов в комментариях.

Ну и пара примеров задач.

Есть гвоздики двух цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

Есть гвоздики четырех цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

Проведем аналогию с кубиками и коробочками. Можно преобразовать эту задачу к виду «Нужно разместить шесть кубиков в трех коробочках». И решение:

Источник