какие способы решения систем уравнений

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

Теперь сложим уравнения.

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник

Разбираемся в решении линейных уравнениях раз и навсегда

Одной из наиболее важных тем курса алгебры является решение систем линейных уравнений. Давайте узнаем, как научиться с ними расправляться разными методами.

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется объединение n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных:

Отметим, что не всегда количество неизвестных будет совпадать с количеством уравнений в системе, но системы такого уровня рассматриваются в старшей школе. В данной статье речь пойдёт о системах двух уравнений с двумя переменными, за исключением пункта «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса», где мы рассмотрим систему с тремя переменными. Вот несколько методов решения систем линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»)

Метод подстановки знаком из курса школьной математики, его изучают в 7 классе. Это самый лёгкий способ решения систем линейных уравнений. Его алгоритм достаточно прост и заключается в следующем:

Для примера применим данный метод решения к следующей системе уравнений:

Согласно первому пункту алгоритма решения СЛАУ нужно выразить одну переменную через другую. В данном случае удобно из второго уравнения системы выразить переменную y через переменную x:

Далее подставим переменную y, выраженную через x, в первое уравнение системы. Получим:

Тогда можно записать систему уравнений, равносильную первой:

Раскроем скобки и приведём первое уравнение системы к следующему виду:

Теперь найдём значение y, подставив значение переменной x в выражение для второй переменной:

Применив данный метод к рассматриваемой системе линейных уравнений, мы нашли пару чисел (7;3), являющуюся её решением.

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда». Выберите класс и получите неделю бесплатного доступа к курсу алгебры по промокоду ALGEBRA2021: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс.

Решение системы линейных уравнений методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Суть данного метода состоит в избавлении от одной из переменных в системе уравнений, алгоритм метода достаточно простой:

В качестве примера решим систему уравнений:

методом почленного сложения (вычитания). Здесь будет достаточно просто «избавиться» от переменной y. Для этого почленно умножим обе части первого уравнения системы на 2:

получим равносильную систему уравнений:

Теперь прибавим к левой части первого уравнения левую часть второго уравнения, а к правой части первого уравнения — правую часть второго. В итоге получим уравнение вида:

Решим это уравнение относительно единственной переменной:

Подставим найденное значение в первое уравнение исходной системы и найдём значение y:

Итак, пара чисел (4;3) является решением системы линейных уравнений с двумя переменными. Данное решение было получено методом сложения.

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Крамера, нужно познакомиться с понятием определителя.

Определение

Определителем системы называют запись чисел в квадратной таблице, в соответствие которой ставится число по некоторому правилу.

Давайте познакомимся с этим правилом. Пусть даны четыре числа a, b, c, d. Пусть они имеют следующее расположение в квадратной таблице:

Значение определителя системы в этом случае находится по формуле:

Определитель, составленный из коэффициентов при переменных в линейной системе уравнений, называется главным определителем системы. Будем обозначать его Δ. Например, у рассмотренной выше системы уравнений:

главный определитель будет иметь вид:

Найдём его значение:

Для решения системы линейных уравнений методом Крамера нам понадобятся ещё два определителя, которые называются вспомогательными:

Отметим, что в данные определители уже входят правые части каждого уравнения системы. Так, в определитель Δₓ первым столбцом записываем правые части уравнений (так называемые свободные члены уравнений), второй столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы. В определитель Δу вторым столбцом записываем правые части уравнений, а первый столбец оставляем таким же, как в главном определителе системы.

Итак, формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Отметим, что данный метод решения СЛАУ можно применять лишь в тех случаях, когда Δ ≠ 0.

Убедимся в том, что данные формулы работают, подставив в них ранее найденные значения определителей:

Пара чисел (4;3) действительно является решением данной системы уравнений.

Обобщим алгоритм нахождения решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера. Пусть дана система линейных уравнений:

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Матрицей системы линейных уравнений называется таблица, составленная из коэффициентов при переменных. Так, для системы вида:

матрицей A является:

Столбцом свободных коэффициентов будем называть

а столбцом переменных —

Тогда систему уравнений можно переписать в виде:

Поясним, как происходит умножение матрицы на столбец. В матрице A есть строки: (а₁₁, а₁₂) и (а₂₁, а₂₂) а также столбцы (а₁₁, а₂₁) и (а₁₂, а₂₂).

При умножении матрицы на столбец X получается столбец, а само умножение происходит по следующему правилу:

Рассмотрим алгоритм поиска обратной матрицы:

1) вычислить определитель матрицы A:

2) записать матрицу миноров M. Для этого нужно просто переставить числа в матрице A следующим образом:

3) записать матрицу алгебраических дополнений А ͙. Для этого необходимо лишь поменять знаки коэффициентов а₁₂ и а₂₁ в матрице миноров M, в результате чего получим:

записать матрицу, транспонированную к матрице алгебраических дополнений:

найти обратную матрицу А⁻¹, разделив каждый элемент матрицы Аᵀ ͙ на значение определителя матрицы A, то есть

Для нахождения неизвестных нужно полученную обратную матрицу А⁻¹ умножить на столбец свободных коэффициентов:

Поясним всё на примере решения системы линейных уравнений с двумя переменными:

столбец свободных коэффициентов:

Следуя алгоритму решения СЛАУ, найдём обратную матрицу А⁻¹:

1) определитель матрицы A равен

3) матрица алгебраических дополнений:

4) матрица, транспонированная к матрице алгебраических дополнений:

5) обратная матрица:

Теперь умножим найденную обратную матрицу на столбец свободных коэффициентов:

Пара чисел (1;2) является решением данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Этот метод позволяет достаточно легко находить решения систем линейных уравнений, в которых более двух уравнений и неизвестных. По сути, этот метод является обобщением метода подстановки. Итак, как можно решить систему линейных уравнений? Рассмотрим этот способ на примере системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

На первом этапе решения систему уравнений необходимо привести к трапециевидной форме, которая выглядит следующим образом:

Для этого нужно провести несложные линейные преобразования с коэффициентами расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы лишь тем, что она содержит ещё и столбец правых частей уравнений, который записывается справа. Преобразования включают в себя сложение или вычитание строк матрицы, а также умножение элементов строки на число.

Применим данный метод к системе линейных уравнений с тремя переменными:

Расширенная матрица A данной системы принимает вид:

Проводя преобразования строк, нужно добиться того, чтобы в третьей строке расширенной матрицы на первом и втором местах были нули, а во второй строке — нуль на первом месте (возможно, при этом во второй строке будет ещё нуль и на третьем месте).

Вначале вычтем из второй строки матрицы первую строку, умноженную на два, в результате во второй строке окажется два нуля. Затем вычтем из третьей строки первую строку, умноженную на три, в результате чего в третьей строке окажется только один ноль:

С одной стороны, можно остановиться на данном этапе, поменять вторую и третью строку местами, решить систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

С другой стороны, следуя алгоритму решения системы уравнений, необходимо вычесть из третьей строки расширенной матрицы вторую строку и получить два нуля в последней строке матрицы:

Это позволит перейти к решению ещё более простой системы линейных уравнений:

Итак, решение системы линейных уравнений методом Гаусса: x = 1, y = 2, z = 3.

Заключение

В этой статье мы разобрали следующие основные способы решения систем линейных уравнений:

Надеемся, что теперь вы сможете без труда справиться с любым линейным уравнением.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник