какие строительные конструкции при расчетах можно представить в виде двухопорной балки

iSopromat.ru

Двухопорной называют балку, удерживаемую в равновесии двумя шарнирными опорами. При этом одна из опор должна быть шарнирно-неподвижной другая шарнирно-подвижной.

Часть балки расположенная между смежными опорами называется пролетом.

Выступающие части балки называются консольными.

Данный вид балки является статически определимым, потому что для нахождения опорных реакций в обеих опорах достаточно одних лишь уравнений равновесия статики.

Наш короткий видеоурок по расчету реакций балки на двух опорах:

В отличие от консольных балок для двухопорных при построении эпюр и последующих расчетов на прочность необходимо определить реакции хотя бы в одной из опор.

Стоит отметить, что например неразрезная консольная балка с дополнительной шарнирной опорой,

по сути, тоже является двухопорной, но в отличие от первого случая она статически неопределима.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Двухопорная балка

Содержание:

Исходные данные:

Заданная расчетная схема:

Пример решения задачи

1. Определяем опорные реакции (рис.2.1).

Рассматриваемая двухопорная балка является статически определимой. Это означает, что для определения неизвестных опорных реакций и в наложенным внешних связях (двухсвязный шарнир и односвязный шарнир достаточно только уравнений равновесия (независимыми уравнениями для плоской системы являются

Наиболее рациональной является следующая схема определения опорных реакций в двухопорных балках. Из уравнения определяется горизонтальная реакция Как правило, в балках она равна нулю (при отсутствии продольной внешней нагрузки, которая не является характерной нагрузкой при изгибе).

направления искомой реакции. Уравнения являются зависимыми, то есть являются по сути одним и тем же уравнением. Поэтому всегда необходимо проверять правильность определения опорных реакций, используя для этого оставшееся независимое уравнение равновесия

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, рациональный алгоритм определения опорных реакций в двухопорных балках имеет следующий вид:

1.1. Определяем опорную реакцию

1.2. Определяем опорную реакцию

1.3. Проверяем правильность определения опорных реакций:

Знак «-» у полученных опорных реакций показывает, что они направлены в сторону, противоположную выбранной (не вверх, а вниз).

Составляем уравнения изменения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Поперечная сила и изгибающий момент являются внутренними усилиями (внутренними силовыми факторами) и, как и при других видах напряженного состояния, определяются при помощи метода сечений. Суть метода заключается в том, что балка мысленно рассекается в заданном сечении на две части, отбрасывается одна из частей (как правило, большая), для восстановления равновесия действие отброшенной части на оставшуюся заменяется (компенсируется) внутренними усилиями, которые определяются из уравнений равновесия оставшейся (рассматриваемой) части балки.

Математические определений внутренних усилий при изгибе:

Поперечная сила в заданном поперечном сечении балки равна сумме проекций всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки), на вертикальную ось

Изгибающий момент в заданном поперечном сечении равен сумме моментов относительно оси от всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки).

Правило знаков необходимо использовать для учета направлений действия внешней нагрузки в математических определениях внутренних усилий. На рис.2.2 показано правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе балок. На схемах указаны направления действия внешней нагрузки, вызывающей положительные значения внутренних усилий в указанном поперечном сечении рассматриваемой левой (правило знаков слева) или правой (правило знаков справа) части балки.

Систематизируя правило знаков слева и справа, можно сформулировать следующие общие определения правила знаков при изгибе:

Составление уравнений изменения внутренних усилий при изгибе для каждого участка сопровождается такими обязательными комментариями:

Конечной целью определения внутренних усилий является построение эпюр. Для этого необходимо знать значение внутренних усилий в характерных точках участков. Такими точками являются поперечные сечения в начале и конце участка, а также сечения с возможными экстремальными значениями внутренних усилий. Экстремальные (отличные от соседних) значения могут возникать в случае, если уравнение изменения внутренних усилий имеет форму полинома второго и выше порядка.

Для заданной балки уравнения изменения внутренних усилий и их значения в характерных точках для трех участков имеют вид (рис.2.3):

Уравнение изменения изгибающего момента для первого участка имеет форму полинома второй степени и, следовательно, изгибающий момент в пределах первого участка может иметь экстремум. Координату экстремума можно определить, приравняв первую производную функции к нулю. Для этого удобно использовать первую теорему Журавского (2.1). Определяем координату экстремума

Определяем значение экстремального изгибающего момента

Уравнение изменения изгибающего момента для второго участка также имеет форму полинома второй степени. Однако, поперечная сила в пределах участка не меняет свой знак, и, следовательно, ввиду линейности функции в пределах участка не может быть равной нулю. Поэтому экстремального значения изгибающего момента на втором участке не будет.

Уравнение изменения изгибающего момента для третьего участка имеет форму полинома второй степени, а поперечная сила пределах участка меняет свой знак. Следовательно, нужно определять положение экстремума

Определяем значение экстремального изгибающего момента

3. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюрой в сопротивлении материалов называется график, отражающий характер изменения какого-либо параметра вдоль оси одноосного элемента. Эпюры строятся для каждого участка в отдельности. В пределах участка все расчетные параметры изменяются по определенному закону в виде неразрывной функции. Для построения эпюры на каждом участке необходимо знать характер изменения заданного параметра в пределах участка (его математическое выражение) и значения в нескольких характерных точках (как правило, в начале и конце участка и, если необходимо, в точках экстремальных значений параметра).

При построении эпюр необходимо соблюдать следующие правила:

б) построение эпюры не требует точного соблюдения масштаба, однако примерная видимая пропорциональность между значениями параметров должна соблюдаться;

в) знаки параметров указываются или в «теле эпюры», или слева от нее;

г) «тело эпюры» заштриховывается поперечной (перпендикулярной по отношению к продольной оси одноосного элемента) штриховкой, при этом величина каждого штриха характеризует значение расчетного параметра в соответствующем сечении.

Под «телом эпюры» понимаются плоские фигуры, ограниченные продольной осью одноосного элемента и графиком уравнений изменения расчетных параметров.

Эпюра поперечных сил для заданной двухопорной балки приведена на рис.2.3г, изгибающих моментов — на рис.2.3г).

б) скачки на эпюре изгибающих моментов должны соответствовать по координате, величине и знаку внешним сосредоточенным моментам;

в) в соответствии с первой теоремой Журавского (2.1) в поперечных сечениях, в которых поперечная сила равна нулю, изгибающий момент принимает экстремальные значения;

д) в соответствии с (2.3) при в поперечных сечениях, в которых поперечная сила равна нулю, экстремумами на эпюре изгибающих моментов будут минимумы, а при — максимумы.

Для построенных эпюр (рис.2.3) все указанные признаки выполняются.

Подбираем поперечное сечение балки из условия прочности в форме двутавра, прямоугольника круга и из двух швеллеров

Для заданной балки максимальный изгибающий момент в опасном сечении равен (рис.2.3г)).

Согласно (2.6) минимально допустимый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки определяется зависимостью

Двутавровое поперечное сечение.

Двутавр является стандартным прокатным профилем, все геометрические характеристики которого приводятся в справочных таблицах. Согласно (2.8) минимальное значение момента сопротивления будет равно:

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем двутавр с ближайшим большим значением момента сопротивления. Это двутавр № 36, для которого

Поперечное сечение в форме прямоугольника.

Прямоугольник является сечением простой геометрической формы, для которого все геометрические характеристики определяются по известным аналитическим зависимостям. Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения с соотношением высоты и основания равен

Тогда, согласно (2.6), минимальная ширина прямоугольного сечения балки будет определяется зависимостью При

Для заданной балки

Площадь прямоугольника с основанием равна:

Поперечное сечение в форме круга. Для заданной балки Круг также является сечением простой геометрической формы. Осевой момент сопротивления круга диаметром равен:

Тогда, согласно (2.6) минимальный диаметр круглого поперечного сечения будет определяется зависимостью

Для заданной балки Площадь круга диаметром 18,7 см равна:

Поперечное сечение из двух швеллеров.

Швеллер является стандартным прокатным профилем. Поскольку выбираемое сечение состоит из двух швеллеров, согласно (б) минимальное значение момента сопротивления одного швеллера будет равно

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем швеллер №30, для которого

Площадь поперечного сечения из двух швеллеров будет равна

Все выбранные поперечные сечения являются равнопрочными так как способны воспринимать без разрушения одинаковую внешнюю нагрузку.

6. Сравним выбранные поперечные сечения по металлоемкости.

Поскольку балка является одноосным элементом, ее металлоемкость зависит от площади поперечного сечения. Сведем в таблицу площади выбранных поперечных сечений различной формы и сравним их с площадью двутавра

На странице -> решение задач по сопротивлению материалов (сопромат) собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам сопротивления материалов.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Расчет двухопорной балки.

РПР №1 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ,

КРУЧЕНИИ И ИЗГИБЕ

Для заданных расчетных схем элементов конструкций (стержень, вал, двухопорная балка) необходимо:

1. построить эпюры внутренних сил;

2. подобрать из условия прочности поперечные сечения:

а) для стержня – квадратное;

б) для вала – круглое;

в) для двухопорной балки – двутавр, 2 швеллера и прямоугольное (размеры ) сечение. Выбрать из указанных трех сечений самое экономичное.

Расчетные схемы элементов конструкций показаны на рис. 1.

Числовые значения исходных данных:

M₁ = 3 кН·м; M₂ = 8 кН·м; M₃ = 7 кН·м; q₁ = 4 кН/м; L = 1 м,

Решение

Расчет стержня

1.1 Построение эпюр внутренних сил.

Стержень, нагруженный продольными силами, работает на растяжение-сжатие. В этом случае в поперечном сечении стержня будет действовать только продольная сила N.

1.1.1 Разделение стерженя на участки.

Границами участков являются края стержня и точки приложения внешних сил. Принимаем, что сила приложена в точке, которая совпадает с острым краем стрелки, изображающей силу. Выполнив разделение находим, что стержень содержит три участка.

1.1.2 Определение реакций опор.

Расчет стерженя, закрепленного посредством заделки, можно выполнять без определения реакций в заделке. Поэтому реакции опор не определяем.

1.1.3 Определение значений внутренних сил.

Значения продольных сил N для всех участков стержня находим методом сечений. Разрезаем стержень в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнение для определения N состаляем используя правило: продольная сила равна алгебраической сумме внешних осевых сил, действующих на оставшуюся часть. Знаки слагаемых в выражении для вычисления N определяем по правилу: если после введения в месте разреза заделки сила вызывыет растяжение оставшейся части, то она является положительной. Результаты расчета представлены на рис. 2.

1.1.4 Построение эпюры N.

По результатам расчета строим эпюру N (рис. 3).

Положительные значения N откладываем вверх от нулевой линии, а отрицательные значения – вниз. Выполняем проверку эпюры. В точках приложения сил скачки на эпюре равны соответствующим силам. Скачек в месте расположения заделки равен горизонтальной реакции в заделке.

1.2 Подбор квадратного сечения.

Для определения длины стороны квадрата (рис. 4) используем условие прочности

Принимая во внимание, что площадь квадрата равна

,

условие прочности будет иметь вид

Тогда длина стороны квадрата определяется по формуле

По эпюре N находим, что максимальное по модулю значение N равно .

Выполняя вычисления, определяем a.

.

В качестве ответа принимаем ближайшее большее целое число в миллиметрах а = 6 мм.

Расчет вала.

2.1 Построение эпюр внутренних сил.

Стержень, нагруженный скручивающими моментами, работает на кручение и назывыется валом. В поперечном сечении вала действует только крутящий момент T.

2.1.1 Разделение вала на участки.

Границами участков являются края вала и сечения, в которых приложены внешные моменты. Выполнив разделение находим, что вал содержит три участка.

2.1.2 Определение реакций опор.

Вал, закрепленный посредством заделки, можно расчитывать без определения реакций в заделке. Поэтому реакции опор не определяем.

2.1.3 Определение значений внутренних сил.

Значения крутящего момента T для всех участков вала находим методом сечений. Разрезаем вал в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнение для определения T состаляем используя правило: крутящий момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, действующих на оставшуюся часть. Знаки

слагаемых в соотношении для вычисления T находим по правилу: если при взгляде со стороны отброшенной части внешний момент виден направленным против хода часовой стрелки, то он является положительным. Результаты расчета приведены на рис. 5.

2.1.4 Построение эпюры Т.

По результатам расчета строим эпюру Т (рис. 6). Выполняем проверку эпюры. В сечениях, где приложены моменты, скачки на эпюре равны соответствующим моментам. Скачек в месте расположения заделки равен реактивному моменту в заделке.

2.2 Подбор круглого сечения.

Для определения диаметра круга (рис. 7) используем условие прочности при кручении

Полярный момент сопротивления круглого сечения равен

Тогда необходимый диаметр круга определяется по формуле

По эпюре T находим (максимальное по модулю значение).

Диаметр круглого сечения равен

.

Принимаем d = 64 мм (ближайшее большее целое число в миллиметрах). При определении диаметра был выполнен перевод единиц измерения крутящего момента Т_max = 4 кН·м = 400 кН·см.

Расчет двухопорной балки.

3.1 Построение эпюр внутренних сил.

3.1.1 Разделение балки на участки.

Границами участков являются края балки и сечения, в которых приложены внешные силы, моменты и расположены края погонной нагрузки. Выполнив разделение находим, что балка содержит три участка.

3.1.2 Определение реакций опор.

Так как балка не нагружена горизонтальными силами, то горизонтальная реакция в опоре А будет равна нулю. Для определения двух вертикальных реакций необходимо составить два уравнения равновесия. Уравнения равновесия целесообразно составлять в виде суммы моментов от всех сил, действующих на балку, относительно каждой опоры. В этом случае в уравнениях будет присутствовать только одна неизвестная и уравнения можно решать независимо друг от друга. Предварительно обе реакции направляем вверх.

Находим реакции опор

,

Знак плюс у полученного результата означает, что реакция направлена вверх, а знак минус – реакция направлена вниз.

,

.

Производим проверку расчета реакций

,

3.1.3 Определение значений внутренних сил.

Значения внутренних сил для всех участков балки находим методом сечений. Разрезаем балку в пределах каждого участка на две части и оставляем часть, не содержащую заделку. Уравнения для определения поперечной силы Q и изгибающего момента M состаляем используя правила: поперечная сила равна алгебраической сумме внешних поперечных сил, действующих на оставшуюся часть; изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов от внешних поперечных сил, действующих на оставшуюся часть, относительно места разреза балки. Знаки слагаемых в формулах для вычисления Q и M находим по правилам: если внешняя сила создает момент относительно места разреза, направленный по ходу часовой стрелки, то она является положительной; в том случае, когда внешний момент изгибает балку выпуклостью вниз, он положителен.

;

;

.

Участок 2. z₂ Î [0;3м].

;

;

Значения Q на краях данного участка имеют разные знаки. Это значит, что в некотором сечении Q = 0 и на эпюре M будет расположена точка экстремума. Определяем экстремальное значение M.

.

;

3.1.4 По результатам расчета строим эпюры Q и M (рис. 8).

Выполняем проверку эпюр, используя следующие правила.

1. В том сечении, где приложена сила, на эпюре должен быть скачек на величину этой силы. При движении по эпюре слева направо направление скачка должно совпадать с направлением силы.

2. Если участок не нагружен погонной нагрузкой, то эпюра является прямой горизонтальной линией. При действии на участке погонной нагрузки эпюра представляет собой прямую наклонную линию.

3. Если q 0 (нагрузка направлена вверх) поперечная сила слева направо увеличивается.

1. В том сечении, где приложен момент, на эпюре должен быть скачек на величину этого момента. При движении по эпюре слева направо при действии момента против хода часовой стрелки скачек должен быть направлен вниз, а при действии момента по ходу часовой стрелки – вверх.

2. Если участок не нагружен погонной нагрузкой, то эпюра является прямой линией. При нагружении участка погонной нагрузкой эпюра представляет собой параболу. Парабола должна быть выгнута навстречу к погонной нагрузке.

3. При Q 0, то изгибающий момент слева направо увеличивается.

В том сечении, где Q = 0, на эпюре должна быть точка экстремума. При q 0 (нагрузка направлена вверх) – точка минимума

3.2.1 Подбор двутавра

Для определения номера двутавра используем условие прочности при изгибе

По эпюре М находим . Выполнив вычисления, получаем

Выбираем двутавр №16 с ближайшим большим к расчетному моментом сопротивления

Для определения наиболее экономичного сечения необходимо знать площади сопоставляемых сечений. Площадь двутавра №16 равна

4.2.2 Подбор сечения из двух швеллеров.

Для сечения из двух швеллеров

Выбираем швеллер №12 с ближайшим большим к расчетному моментом сопротивления Площадь швеллера №12 равна Площадь всего сечения

4.2.3 Подбор прямоугольного сечения.

Осевой момент сопротивления прямоугольника (рис. 9) равен

Тогда из условия прочности при изгибе находим

Принимаем а = 51 мм.

Вычисляем площадь прямоугольника

Балка будет наиболее экономичной (будет иметь наименьшую стоимость, объем, вес) с тем сечением, которое имеет наименьшую площадь. Сопоставляя площади трех сечения, делаем вывод, что наиболее экономичным сечением является двутавр, площадь которого минимальна.

Источник