какие свойства вписанных и описанных окружностей должен знать ученик для успешного решения 3 задания

Методика изучения теоремы о вписанной и описанной окружности

Методика изучения теоремы

Теорема « В любой треугольник можно вписать окружность».

« Около лебого треугольника можно описать окружность».

1. Подготовительный этап

1.1. Мотивация изучения теоремы

Для того чтобы начать изучать нашу тему давайте подумаем, сможем ли мы решить нашу задачу, основываясь только на изученный материал? Нет, как вы можете видеть из условия задачи №1 старых знаний о касательной и секущей к окружности нам не достаточно, для этого мы с вами сегодня познакомимся с понятиям описанной окружности.

Жильцы трех домов решили совместными усилиями построить колодец. Какое место для колодца следует выбрать, чтобы все три расстояния от него до домов были одинаковыми? [5].

Ответ: Пусть А, В и С — точки расположения трех данных домов. Проведем серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС. Тогда точка О их пересечения будет единственной точкой, равноудаленной от точек А, В и С, поскольку для этой точки выполнены равенства АО=ОВ и ВО=ОС, а если точку О выбрать иначе, то для нее хотя бы одно из указанных равенств будет несправедливо. Заметим, что проведенные перпендикуляры могут и не пересечься, но только в случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Таким образом, искомое место для колодца — точку О — можно найти приведенным способом, но лишь при условии, что дома расположены не на одной прямой.

1.2. Актуализация знаний и умений учащихся, необходимых для сознательного усвоения теоремы

Для того чтобы ученик полностью освоил тему и владел определениями и понятиями необходимо повторить ряд определений представленных в Табл. 1.

То, что необходимо повторить

Задания для повторения

Начертите окружность с радиусом 2 см ( рис. 1)

Определите из рис. 3 радиус окружности, если известно, что диаметр 16 см.

Из рис. 4 сформулировать понятия сферы.

1.3. Подведение учащихся к формулировке теоремы

Как далеко видно с воздушного шара, поднявшегося на высоту км над Землей (радиус Земли примерно равен км)? (рис. 5).

Решение: По теореме о касательной к окружности, касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть
.
Тогда по теореме Пифагора: ,

(км.)

Ответ: км.

В любой треугольник можно вписать окружность, центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис.

Около любого треугольника можно описать окружность, центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

2.1. Формулировка теоремы, овладение ее содержанием, структурой, назначением

Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности. Рис. 6

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность

2.2. Формирование ориентировочной схемы доказательства. Проведение доказательства

Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон (рис 8.).

В любой треугольник можно вписать окружность.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.

Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны:

По данным рисунка найдите радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

План доказательства теоремы

1) D АВС – р/б, АС – основание, ВН – высота Þ ВН – биссектриса (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию) Þ О Î ВН (центр вписанной в треугольник окружности);

2) Пусть ОН ^ АС, ОК, ON – радиусы вписанной окружности Þ ON ^ ВС, OK ^ АВ (радиусы, проведённые в точку касания, по свойству касательной), ОН = ON = OK;

В третьем действии найдём отрезки АН = НС (по свойству равнобедренного треугольника ВН высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно медианой:

3) D АВС – р/б, АС – основание, ВН – высота Þ ВН – медиана (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию) Þ АН = НС = 5 см;

В четвёртом действии из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора найдём высоту ВН:

4) D АВН – прямоугольный, по теореме Пифагора: АВ2 = ВН2 + АН2;

В пятом действии используя свойство отрезков касательных (АК = АН), найдём отрезок ВК:

5) AK = AH = 5 см (свойство отрезков касательных) Þ ВК = 13 – 5 = 8 (см);

В шестом действии в прямоугольном ОВК используя равенство отрезков ОН и ОК, выразим ВО через ОК:

после чего по теореме Пифагора найдем ОК (радиус вписанной окружности):

6) D ОВК – прямоугольный (OK ^ АВ), ОК = OH Þ BO = BH – OH = 12–ОК;

По теореме Пифагора:

144 – 24ОК + ОК2 = ОК2 + 64;

ОК = (см).

Теперь напишем ответ к задаче:

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если боковая сторона трапеции 10 см, меньшее основание равно 4 см.

Дано: ABCD – р/б трап.;

АВ = 10 см. (рис. 11.12)

План доказательства теоремы

1) ABCD – р/б трап-я, ВС, AD – основания; Окр.(О; r) – впис-я Þ ОР = ОН = ОМ = ON = r, ОР ^ ВС, ОН ^ АD, ON ^ AB, OM ^ CD (по свойству касательной), РН – высота трапеции;

Во втором действии используем свойство четырёхугольника, в который вписана окружность (сумма противоположных сторон равны), найдём основание AD:

2) Окр.(О, r) – вписанная Þ АВ + СD = BC + AD (свойство четырёхугольника, в который вписана окружность);

В третьем действии проведём высоты трапеции ВК и СЕ, докажем равенство прямоугольных треугольников АВК и CDE, откуда сделаем вывод, что АК = ED:

После этого рассмотрим прямоугольник ВСЕК и найдём отрезок ЕК, после чего вычислим отрезок АК = ED:

Далее из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора вычислим высоту ВК:

3) Проведем ВК, СЕ – высоты трапеции. D АВК = D CDE (прямоугольные, по гипотенузе (АВ = CD) и острому углу ( Ð А = Ð D)) Þ AK = ED.

ВСЕК – прямоугольник Þ ВС = ЕК = 4 (см);

АК = ED = (AD – EK) : 2 = (16 – 4) : 2 = 6 ( см ).

По теореме Пифагора ( D АВК):

В четвёртом действии вычислим радиус вписанной окружности (т.к. он равен половине РН, а РН = ВК):

4) ВК = РН = 8 см, ОР = ОН = 4 см.

Теперь напишем ответ к задаче:

радиус вписанной окружности – 4 см.

Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности (рис. 13).

Около любого треугольника можно описать окружность.

Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны:

Ð A + Ð C = Ð B + Ð D. (рис. 14)

Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если его катеты равны 24 и 10 см.

Окр. (О; r ) – опис-я. (рис. 15)

План доказательства теоремы

В первом действии определим, что в прямоугольном треугольнике АВС радиус описанной окружности равен половине гипотенузы (используя следствие из теоремы о вписанной окружности)::

1) Если Ð С – прямой, т. С лежит на окружности (треугольник вписанный) Þ Ð АСВ – вписанный, опирается на полуокружность АВ (Следствие 2 из теоремы о вписанном угле) Þ АВ (гипотенуза) – диаметр описанной окружности Þ О Î АВ, радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы;

Во втором действии в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С по теореме Пифагора найдём гипотенузу АВ:

2) D АВС – прямоугольный, Ð С – прямой, по теореме Пифагора:

АВ2 = АС2 + ВС2 = 576 + 100 = 676;

В третьем действии вычислим радиус описанной окружности:

3) r = AB = 13 (см).

Теперь напишем ответ к задаче

Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием АВ = 6, если расстояние от центра описанной окружности до АВ равно 4.

План доказательства теоремы

1) СD – высота, проведённая к основанию равнобедренного D АВС Þ СD – серединный перпендикуляр к АВ Þ О Î CD;

Во втором действии сделаем вывод, что АО = СО = ВО как радиусы описанной окружности:

2) О – центр описанной около равнобедренного D АВС окружности Þ АО = СО = ВО – радиусы описанной окружности;

В третьем действии в прямоугольном треугольнике АОD с высотой CD, которая является одновременно медианой (по свойству высоты, проведённой к основанию равнобедренного треугольника) сначала найдём АD, а потом по теореме Пифагора найдём радиус АО:

3) D AOD – прямоугольный (CD – высота), AD = . По теореме Пифагора:

АО2 = AD2 + DO2 = 9 + 16 = 25;

В четвёртом действии вычислим высоту CD

4) СD = OD + CO = 4 + 5 = 9;

В пятом действии найдём площадь треугольника АВС по формуле площади треугольника:

5) .

Теперь напишем ответ к задаче:

Ответ: .

3. Заключительный этап

Вопросы для закрепления теоремы.

1. Можно ли в параллелограмм вписать окружность? ( Не всегда, надо чтобы суммы противоположных сторон были равны)

2. А описать около него окружность? ( Нет, не всегда, сумма противоположных углов должна быть 180)

4. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от его. (сторон)

7. Вписанные углы равны, если они. (опираются на одну дугу)

Рассмотрение обратных, противоположных утверждений, связанных с теоремой.

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник.

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника.

Задачи базового, основного и продвинутого уровня сложности (по 2 задачи каждого уровня).

В окружающем нас мире существует множества предметов которые имеют форму окружности или ее элементы и в связи с этим мы можем решить ряд практических задач.

Приведем примеры в табл. 2.

Уровень повышенной сложности

Из 50 звеньев, одно из которых изображено на рис. 18, составлена цепь. Какова длина цепи?

Ответ: 12х50 + 3х2 = 606 мм

Рис. 18

Поезд едет со скоростью км/ч. Диаметр его колеса равен см. Сколько оборотов в минуту делает колесо поезда? ( Примите ) (Рис. 21).

Решение: Длина окружности колеса, если принять , примерно равна см. За одну минуту поезд проходит метров. Следовательно, за одну минуту колесо делает (оборотов).

Ответ: оборотов.

Задача 2

Высевающий аппарат большинства сеялок представляет собой цилиндрическую катушку с желобками (см. рис. 19), которые при вращении катушки захватывают зерна и высыпают из сеялки.

При проектировании катушки вначале определяют число желобков п и ширину желобка t , исходя из размеров и механических свойств зерен, для которых предназначена сеялка. Эти данные позволяют найти диаметр катушки.

Каким должен быть диаметр катушки высевающего аппарата зерновой сеялки у которой t =13,6 мм (с учетом ширины ребра между смежными желобками), п=12?

Чугунная труба имеет длину м и внешний диаметр см.

Решение: Площадь поперечного сечения стенок трубы равна (см 2 ). Объем трубы равен (см 3 ).

Вес трубы равен (г) .

Ответ: .

Прикладные задачи с решениями.

Для закрепления теоретического материала необходимо решить ряд прикладных задач. Задачи такого типа, разбитые на уровни представлены в табл. 3.

Уровень повышенной сложности

Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами.

Длина беговой дорожки вокруг поля равна метров.

Длина каждого из двух прямолинейных участков дорожки равна метров. Найдите ширину поля стадиона. В ответе укажите (Рис. 21).

Решение: Суммарная длина двух криволинейных участков беговой дорожки равна длине окружности и равна метров.

Диаметр этой окружности равен ширине поля стадиона и равен . Следовательно, .

Ответ: метров.

Могут ли увидеть друг друга космонавты, летящие над поверхностью Земли на высоте км, если расстояние между ними по прямой равно км?

Радиус Земли равен км (рис. 22).

Решение: Чтобы космонавты, находящиеся в точках и , могли видеть друг друга, надо, чтобы высота треугольника была больше радиуса Земли.

Треугольник – равнобедренный, – высота, тогда, и медиана треугольника ,а значит,

Высота больше радиуса Земли, значит, космонавты могут увидеть друг друга.

Угол 1,5˚ рассматривают в лупу, увеличивающую в четыре раза. Какой величины покажется угол?

Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу.

Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения.

сигналы распространяются на 15% дальше пределов прямой видимости антенны.

Определить, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20 м с Останкинской телебашни (ее высота 538м).

Ответ: На рис. 23 видно, что вершина в принимающей антенны за счет шаровой поверхности Земли будет в крайнем случае еще видна из вершины передающей антенны А тогда, когда точки А и В лежат на касательной к земной поверхности.

В этом случае где R – радиус Земли. Так как Н очень мало по сравнению с 2R, то , а потому . Полагая в этой формуле получаем

.

Определив таким же образом ВС, найдем АВ. Увеличив полученную величину на 15%, получаем искомую формулу для s

s

Включение теоремы в систему знаний

Решение задачи на нахождения радиуса вписанной и описанной окружности равнобедренного треугольника.

Найдите радиус R описанной окружности для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. (рис. 24).

Сначала выясним, где находится центр описанной окружности – от этого зависит рисунок к задаче. Здесь 10² меньше 13² + 13², значит, угол при вершине этого равнобедренного треугольника острый. Центр описанной окружности находится во внутренней области равнобедренного треугольника.

Проведя серединный перпендикуляр КО, получим точку О – центр описанной окружности (КО + ВС и ВК = КС = 6,5см). ОВ = ОС = R. OD = BD – OB = 12 – R. Из ODC по теореме Пифагора OD2 = ОС2 – DC2 = R2 – 52. R2 – 52 = (12 – R)2. Решив это уравнение, получим R = 169/24 см.

Из подобия треугольников OBK и CBD имеем ОВ/СВ = BK/BD, т.е. R/13 = 6,5/12 и получаем.

Продолжив BD до пересечения с описанной окружностью, получим прямоугольный треугольник ВСЕ, откуда ВС² = BD • BE, 132 = 12 • 2R, и

По свойству хорд, пересекающихся внутри круга BD • DE = AD • DC; 12 • (2R –12) = 5 • 5.

По формуле R = abc/(4S ), где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь, которую мы вычислим без труда.

И ещё один метод решения задачи – метод координат, который является универсальным методом геометрии.

ОА=ОВ

Найдите радиус r вписанной окружности для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. (рис. 26)

Из BNO1 следует, что O1N = r = BO1 • sin, т.е. r = (12 – r) · 5/13 и

О1 – центр вписанной окружности, O1N = r. DC = CN = 5 см по свойству касательных, проведённых из одной точки к одной окружности.

BN =13 – 5 = 8 (см). ВО1 = 12 – r. Из BNO1 по теореме Пифагора

r2 = (12 – r)2 – 82, откуда r = 10/3см.

r = 2S/(a + b + c), r = 2 • 60/(13 + 10 + 13), тогда r = 10/3см.

Из подобия O1NB и CDB следует, что ВО1/BC = BN/BD,

(12 – r)/13 = 8/12 и r = 10/3см.

По свойству биссектрисы CBD, имеем CD/CB = DO1/BO1,

5/13 = r/(12 – r), а тогда из этой пропорции получим r = 10/3см.

По свойству касательной и секущей, проведёнными из одной точки к одной окружности, мы решили эту задачу так:

BN2 = BD • BM, т.е. 82 = 12 • (12 – 2r), откуда r = 10/3см.

Источник