какие связи называются идеальными

Идеальные связи. Примеры идеальных связей

Связи и их характеристика.

1) Идеальные – это связи для которых сумма элементарных работ сил реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю. Фактически это связи без трения и деформаций.

2) Удерживающие (двухсторонние) – связи, описываемые математически уравнениями. Связи, при наличии которых для любого возможного перемещения точки механической системы противоположное ему перемещение также является возможным.

3) Голономные – это связи, в уравнениях которых не содержаться неинтегрируемым образом дифференциалы или производные координат по времени.

Возможные перемещения.

Идеальные связи. Примеры идеальных связей

Примеры идеальных связей:

1. Абсолютно гладкие поверхности

2. Идеальные шарниры и подшипники (без трения)

3. Нерастяжимая, абсолютно гладкая нить

4. Абсолютно твердый стержень

В реальных условиях не существует абсолютно гладких, ни абсолютно твердых тел, так что работа реакций на любом возможном перемещении во всех возможных случаях отрицательна. В тех практических случаях, когда работа сил реакций связей ничтожно мала по сравнению с работой других приложенных и ею можно пренебречь, и точностью, достаточной для практики, эти связи можно отнести к категории идеальных связей.

Источник

Какие связи называются идеальными

Связи и их классификация.

Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством). Голономную стационарную удерживающую связь, наложенную на материальную точку, можно представить в виде двух бесконечно близких одинаковых поверхностей, между которыми только и может находиться точка. Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l, вращающийся вокруг неподвижной оси и к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающая. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нити длиной l. то связь будет неудерживающая, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом l, так и внутри нее.

Механическая система, точки которой могут занимать любое положение в пространстве и иметь любые скорости, называется свободной. Например, свободной системой является космический аппарат, движущийся по орбите вокруг Земли. Его движение не ограничено другими телами и поэтому, прикладывая к аппарату соответствующие силы, можно изменять траекторию его центра масс и поворачивать аппарат вокруг центра масс. Если на координаты и скорости точек системы наложены ограничения, то система называется несвободной, а ограничения называются связями. Механические связи реализуются в виде различных устройств или тел (стержни, нити, шарниры и т. п.). Аналитически связь описывается уравнением вида: .

Ограничивая движение механической системы, связи действуют на ее точки посредством сил, которые называются реакциями
связей. При изучении равновесия и движения механических систем методами аналитической механики применяется принцип
освобождения (аксиома о связях). Этот принцип состоит в том, что любую систему можно рассматривать как свободную, приложив к ее точкам реакции, соответствующие отброшенным связям.

Связи называются галономными, если они описываются уравнениями вида:

Такие связи накладывают ограничения на координаты точек, а значит, на положение системы в пространстве. Это так называемые геометрические связи. Вместе с тем голономные связи накладывают ограничения и на скорости точек системы. Соответствующие условия получаются в результате дифференцирования уравнений (18.1) по времени:

Голономные связи могут описываться и дифференциальными уравнениями, однако последние обязательно должны быть интегрируемыми.

Неголономными называются связи, которые описываются уравнениями вида:

Уравнения (18.2), в отличие от уравнений голономных связей, не могут быть проинтегрированы независимо от дифференциальных уравнений движения системы. Неголономные связи накладывают ограничения (18.2) на скорости точек, поэтому их называют кинематическими.

Связи подразделяются на стационарные и нестационарные в зависимости от того, входит в явном виде время в уравнение связи или нет. Связь, уравнение которой имеет вид , является голономной и стационарной. Для голономной нестационарной связи уравнение будет таким: .

Например, жесткий стержень длиной l, прикрепленный к неподвижной опоре, является стационарной связью для материальной точки, находящейся на его свободном конце. Уравнение связи в декартовой системе координат, начало которой совпадает с точкой закрепления стержня, имеет вид .

(При вращении стержня вокруг опоры точка находится на сфере радиусом l.) Если длина стержня изменяется по заданному закону, то связь является нестационарной и ее уравнение .

Связь называется удерживающей (двухсторонней), если она описывается уравнением (равенством). Голономную стационарную удерживающую связь, наложенную на материальную точку, можно представить в виде двух бесконечно близких одинаковых поверхностей, между которыми только и может находиться точка. Неудерживающая (односторонняя) связь описывается неравенством. Например, если математический маятник представляет собой тонкий стержень длиной l, вращающийся вокруг неподвижной оси и к свободному концу которого прикреплен груз (материальная точка), то связь для груза будет удерживающая. Если же груз прикреплен к свободному концу нерастяжимой нити длиной l. то связь будет неудерживающая, поскольку груз может находиться как на поверхности сферы радиусом l, так и внутри нее.

Из лекций:

Классификация связей:

1) Геометрические связи.

2) Кинематические связи.

a) интегрируемые; (геометрические, интегрируемые кинематические = голономные)

б) неинтегрируемые; (геометрические, неинтегрируемые кинематические = неголономные)

3) Стационарная связь (склерономная).

Если t входит в уравнение явным образом, то связь нестационарная (реономная).

4) Освобождающие и неосвобождающие связи.

(неосвобождающая связь) ; (освобождающая связь)

x 2 +y 2 +z 2 =l 2 ; x 2 +y 2 +z 2 2

5) Идеальные и реальные связи.

Если у какой-то связи (R_K тоже вектор), то связь называется идеальной.

Если вся сумма , то механическая система с идеальными связями.

Реальные связи: .

Примеры идеальных связей: внутренние связи в абсолютно твердых телах; абсолютно гладкие поверхности; шарниры без трения; нерастяжимые нити; закрепленные точки; качение без скольжения.

Примеры реальных связей: шероховатая поверхность; шарниры с трением; упругие растяжимые нити; пружины; качение с проскальзыванием.

Замечание: всякую реальную связь можно сделать идеальной.

Источник

Идеальные связи

Идеальные связи

Идеальными связями называются связи, сумма элементарных работ реакций которых на любых возможных перемещениях точек системы равна нулю. К числу идеальных связей относятся все стационарные геометрические связи без трения.

В том, что сумма работ реакций таких связей равна нулю при всяком возможном перемещении, допускаемом связями, можно убедиться, рассматривая отдельные виды связей.

Так, если связью является гладкая поверхность, то ее реакция, как известно, направлена по нормали к поверхности. Перемещение же, допускаемое такой связью, возможно лишь в касательной плоскости, т. е. всегда будет перпендикулярно к направлению реакции связи, и потому работа этой силы равна нулю.

Если связью служит любой неподвижный шарнир, подшипник или подпятник, то, если пренебречь трением, точка приложения реакции этой связи остается неподвижной при любом перемещении системы и, следовательно, работа реакции равна нулю.

Если связью является подвижный шарнир, соединяющий два тела (рис. 237), то реакция и этих тел друг на друга равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. При любом элементарном перемещении точки приложения (центра шарнира) реакций этой связи сумма их элементарных работ:

Если связь осуществляется твердым стержнем или работающей на растяжение гибкой нитью (рис. 14 и 13), то приложенные в их концах реакции будут направлены в противоположные стороны вдоль линии, соединяющей точки приложения этих сил, и равны по модулю. Рассуждая так же, как это было сделано в § 105 для неизменяемой системы, мы придем к тому, что сумма работ реакций таких связей при перемещении системы равна нулю.

В некоторых случаях идеальными связями могут быть и связи с трением. Например, при качении колеса (рис. 238) по шероховатой поверхности без скольжения на колесо в точке касания колеса действует сила трения , препятствующая скольжению колеса. Но точка в этом случае является мгновенным центром скоростей колеса и се скорость . Отсюда следует, что работа силы , приложенной в этой точке, равна нулю и данная связь является идеальной.

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Теоретическая механика

3. Основные типы связей и их реакций

В задачах статики почти всегда приходится рассматривать равновесие несвободного тела, то есть тела, так или иначе закрепленного или имеющего ту или иную опору. В зависимости от вида или типа опоры можно указать следующие основные типы связей:

— гладкая поверхность (без трения);

— гибкая невесомая нить;

— невесомый стержень с шарнирно закрепленными концами;

— подвижный шарнир без трения (каток);

Рассмотрим каждый тип реакций связей подробнее.

На рис.С.6. приведены примеры реакции гладкой поверхности.

Пусть балка DE опирается в точке D о гладкую поверхность, а в точке E о гладкий выступ. Реакция гладкой поверхности приложена в точке касания и направлена по нормали к поверхности, в то время как реакция гладкого выступа приложена в точке опоры балки и направлена по нормали к оси балки.

Гибкая невесомая нить

Невесомый прямолинейный стержень с шарнирно закрепленными концами

Пусть груз Q весом закреплен в точке В прямолинейным невесомым стержнем. Трением в шарнирах можно пренебречь. Реакция невесомого стержня с шарнирно закрепленными концами приложена к точке крепления стержня с грузом и направлена по оси стержня.

Если стержень под действием нагрузки подвергается растяжению, то реакция стержня направлена в сторону, указанную на рис.С.9а. Если стержень под действием нагрузки подвергается сжатию, то реакция стержня направлена в сторону, указанную на рис.С.9б.

Подвижный шарнир без трения (каток)

Пусть тело весом опирается точкой С на подвижный каток, который может перемещаться по гладкой плоской поверхности (рис.С.10).

Пусть тело весом опирается точкой D на неподвижный шарнир (рис.С.11). Реакция неподвижного шарнира приложена в точке касания тела D с осью шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира заранее неизвестно.

При решении задач реакцию неподвижного шарнира обычно раскладывают на две составляющие, соответствующие проекциям на оси координат. При этом могут быть случаи, когда реакцию неподвижного шарнира удобнее раскладывать по другим направлениям.

Если после решения задачи окажется, что проекция силы реакции 0″ alt=» \vec _>0″ src=»https://moodle.kstu.ru/filter/tex/pix.php/0e45afee2a5ebe4b44662adaf9f6b8fa.svg» /> и 0″ alt=» \vec _>0″ src=»https://moodle.kstu.ru/filter/tex/pix.php/66c59145a3d22a96a91e99467eac31a6.svg» /> то это означает, что обе составляющие на чертеже указаны правильно. В противном случае, проекция составляющей реакции, имеющей отрицательный знак, должна быть направлена в противоположную сторону.

В точке Е реализуется свободное опирание балки с реакцией .

Брус DE закреплен в точке D неподвижным шарниром, а в точке Е опирается на гладкую поверхность стены (рис.С.12а).

Для бруса DE связями служат два тела: неподвижный шарнир D и гладкая поверхность стены.

Раскладываем реакцию неподвижного шарнира на две составляющие и и показываем на чертеже предполагаемые направления этих составляющих.

Реакция гладкой стены приложена в точке Е касания балки и стены и направлена по нормали к стене (рис.С.12б).

На рис.С.13 приведен также пример использования опирания на неподвижный шарнир и гладкий выступ.

Источник

Связи и их классификация. Идеальные связи

В аналитической механике широко используются понятия: «механическая система»; «связи», наложенные на механическую систему. Уточним эти понятия и проведём их классификацию.

Связи – материальные тела, осуществляющие ограничения, налагаемые на положения и скорости точек механической системы, которые должны выполняться при любых действующих на систему силах.

Эти ограничения записываются в виде уравнений или ограничений.

Уравнения связей – уравнения, которым в силу наложенных связей должны удовлетворять координаты точек механической системы и их скорости (первые производные от координат по времени).

Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты точек механической системы.

Эти связи выполнены в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением f(X, Y, Z) = 0.

Дифференциальные связи – связи, уравнения которых, кроме координат точек механической системы, содержат ещё первые производные от этих координат по времени.

Уравнение такой связи имеет вид

f(X, Y, Z, dX/dt, dY/dt, dZ/dt) = 0.

Голономные связи – геометрические связи и дифференциальные связи, уравнения которых можно проинтегрировать.

Неголономные связи – дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

Стационарные связи – связи, в уравнения которых время явно не входит.

Например, геометрическая стационарная связь в виде невесомого стержня длины l, ограничивающая перемещение материальной точки (рис. 6.11), описывается уравнением

X 2 + Y 2 + Z 2 – l 2 = 0.

Если в рассматриваемом примере (рис. 6.11) вместо стержня будет нить, длина которой с течением времени изменяется, то такая связь будет геометрически нестационарной. Эта связь описывается уравнением

X 2 + Y 2 + Z 2 – l 2 (t) = 0.

Двусторнние (удерживающие) связи – связи, допускающие возможные перемещения только в двух взаимно противоположных направлениях.

Примером такого типа связи служит, например, кулисный камень. Эти связи описываются уравнением f(X, Y, Z, t) = 0.

Односторонние (неудерживающие) связи – связи, при которых точки механической системы имеют возможные перемещения, противоположные которым не являются возможными.

К связям такого типа относится, например, шарнирно-подвижная опора. Аналитически эти связи описываются неравенствами типа f(X, Y, Z, t) ≥ 0.

Механическая система – любая совокупность материальных точек, движения которых взаимозависимы.

Голономная система – механическая система, на которую наложены голономные связи.

Неголономная система – механическая система, на которую наложена хотя бы одна неголономная связь.

Возможное перемещение системы – любая совокупность возможных перемещений точек данной механической системы, допускаемая всеми наложенными на неё связями.

Рассмотрим понятие «возможная работа силы», которое также широко применяют в аналитической механике.

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая величина, равная скалярному произведению вектора силы F на вектор возможного перемещения δS точки её приложения.

На рис. 6.12 показаны векторы F и δS.

Согласно рис. 6.12 и определению возможную работу δA(F) силы F определяют по формуле

δA(F) = F·δS = F·δS·cos(F, δS) = F·δS·cos(α).

В зависимости от величины угла α возможная работа δA(F) может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Рассмотрим случай, при котором под действием силы F тело совершает вращательное движение относительно оси ОХ (рис. 6.13).

При вращении тела возможную работу δA(F) силы F на возможном угловом перемещении δφ в общем случае определяют по формуле

δA(F) = ± М_ОХ(F)·δφ = ± (F·h)·δφ,

где М_ОХ(F) – момент силы F относительно оси ОХ вращения; h – плечо силы F относительно оси вращения.

Следует отметить, что при совпадении направления М_ОХ(F) и δφ возможная работа δA(F) > 0. Если направления М_ОХ(F) и δφ противоположны, то δA(F)

Дата добавления: 2015-05-30 ; просмотров: 6019 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник