какие теоремы не доказаны до сих пор
Нерешённые проблемы математики
Нерешённые пробле́мы (или Открытые проблемы) — проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве.
В научном мире популярна практика составления известными учеными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются: Проблемы Гильберта, Проблемы Ландау, Проблемы тысячелетия. Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большинство из проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.
Содержание
Теория чисел
Гипотезы о простых числах
Гипотезы о совершенных числах
Гипотезы о дружественных числах
Другие проблемы
Геометрия
Алгебра
Анализ
Комбинаторика
Теория графов
Аксиоматическая теория множеств
В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.
Вычислительная математика
Известные проблемы, недавно решённые
См. также
Примечания
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Нерешённые проблемы математики» в других словарях:
Нерешённые проблемы статистики — Существует множество давнишних открытых проблем математики, для которых решение всё ещё не найдено. Открытые проблемы статистики, в общем случае, имеют другой характер: согласно Джону Тьюки[1] трудности в идентификации проблем значительно более… … Википедия
Нерешенные проблемы математики — Нерешённые проблемы (или Открытые проблемы) проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто принимают форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна практика… … Википедия
Проблемы Гилберта — Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел,… … Википедия
Проблемы Гильберта — Проблемы Гильберта список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию… … Википедия
Нерешенные проблемы науки — К нерешённым проблемам науки относятся гипотезы и открытые проблемы в различных областях науки и знания: Нерешённые проблемы биологии Нерешённые проблемы информатики Нерешённые проблемы лингвистики Нерешённые проблемы математики Нерешённые… … Википедия
Открытые математические проблемы — Открытые (нерешённые) математические проблемы проблемы, которые рассматривались математиками, но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез, которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве. В научном мире популярна… … Википедия
Открытые проблемы в теории чисел — Теория чисел это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем,… … Википедия
История математики — История науки … Википедия
Гильберт, Давид — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гильберт. Давид Гильберт David Hilbert … Википедия
ФИЗИКА. — ФИЗИКА. 1. Предмет и структура физики Ф. наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиб. общие свойства и законы движения окружающих нас объектов материального мира. Вследствие этой общности не существует явлений природы, не имеющих физ. свойств … Физическая энциклопедия
7 математических загадок тысячелетия. Просто о сложном
Только для мыслящих людей!
«Я знаю только то, что ничего не знаю, но другие не знают и этого»
(Сократ, древнегреческий философ)
НИКОМУ не дано владеть вселенским разумом и знать ВСЁ. Тем не менее, у большинства ученых, да и тех, кто просто любит размышлять и исследовать, всегда есть стремление узнать больше, разгадать загадки. Но остались ли еще неразгаданные темы у человечества? Ведь, кажется, все уже ясно и нужно только применять полученные веками знания?
НЕ стоит отчаиваться! Еще остались нерешенные проблемы из области математики, логики, которые в 2000 году эксперты Математического института Клэя в Кембридже (Массачусетс, США) объединили в список, так называемые, 7 загадок тысячелетия (Millennium Prize Problems). Эти проблемы волнуют ученых всей планеты. С тех пор и по сей день любой человек может заявить, что нашел решение одной из задач, доказать гипотезу и получить от бостонского миллиардера Лэндона Клэя (в честь которого и назван институт) премию. Он уже выделил на эти цели 7 миллионов долларов. К слову сказать, на сегодняшний день одна из проблем уже решена.
Итак, вы готовы узнать о математических загадках?
Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Область: теория чисел
Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году. Решена в 2002 году.)
Область: топология или геометрия многомерных пространств
Суть проблемы заключается в топологии и состоит в том, что если натягивать резиновую ленту, к примеру, на яблоко (сферу), то будет теоретически возможным сжать ее до точки, медленно перемещая без отрыва от поверхности ленту. Однако если эту же ленту натянуть вокруг бублика (тора), то сжать ленту без разрыва ленты или разлома самого бублика не представляется возможным. Т.е. вся поверхность сферы односвязна, в то время как тора – нет. Задача состояла в том, чтобы доказать, что односвязной является только сфера.
Представитель ленинградской геометрической школы Григорий Яковлевич Перельман является лауреатом премии тысячелетия математического института Клэя (2010 г.) за решение проблемы Пуанкаре. От знаменитой Фильдсовской премии он отказался.
Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
Область: алгебраическая геометрия
Область: геометрия и квантовая физика
Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Область: алгебра и теория чисел
Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений. В доказательстве теоремы Ферма эллиптические кривые заняли одно из важнейших мест. А в криптографии они образуют целый раздел имени себя, и на них основаны некоторые российские стандарты цифровой подписи.
Задача в том, что нужно описать ВСЕ решения в целых числах x, y, z алгебраических уравнений, то есть уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами.
Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Область: математическая логика и кибернетика
Математика, как может показаться многим, не так далека от реальности. Она является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир и многие явления. Математика всюду. И прав был В.О. Ключевский, который изрек: «Не цветы виноваты, что слепой их не видит».
Недоказанные теоремы современности, за которые полагается награда
Иногда усердное изучение точных наук может принести свои плоды – вы станете не только известны на весь мир, но и богаты. Награды даются, впрочем, не за что попало, и в современной науке очень много недоказанных теорий, теорем и задач, которые плодятся по мере развития наук, взять хотя бы Коуровские или Днестровские тетради, этакие сборники с неразрешимыми физико-математическими, и не только, задачами. Однако есть и поистине сложные теоремы, которые не могут разгадать уже не один десяток лет, и вот за них то и выставлена награда американским институтом Клэя в размере 1 млн. долларов США за каждую. До 2002 года общий джекпот равнялся 7 миллионам, так как «задач тысячелетия» было семь, однако российский математик Григорий Перельман решил гипотезу Пуанкаре, эпически отказавшись от миллиона, даже не открыв дверь математикам США, которые хотели вручить ему его честно заработанные премиальные. Итак, включаем Теорию Большого Взрыва для фона и настроения, и смотрим, за что еще можно срубить круглую сумму.
Равенство классов P и NP
Простыми словами говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти (также за полиномиальное время и используя полиномиальную память)? Другими словами, действительно ли решение задачи проверить не легче, чем его отыскать? Суть здесь в том, что некоторые расчеты и вычисления легче решать по алгоритму, а не вычислять перебором, и таким образом экономить кучу времени и ресурсов.
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году и состоит в том, что для особенно хороших типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.
Здесь объясняя простыми словами можно сказать следующее: в 20 веке были открыты очень сложные геометрические формы, типа искривленных бутылок. Так вот, было высказано предположение, что чтобы сконструировать эти объекты для описания, надо применять совсем головоломные формы, которые не имеют геометрической сути «этакие страшные многомерные каляки-маляки» или же все – таки можно обойтись условно-стандартной алгеброй+геометрией.
Гипотеза Римана
Здесь человеческим языком объяснить довольно сложно, достаточно знать, что решение данной проблемы будет иметь далеко идущие последствия в области распределения простых чисел. Проблема настолько важна и насущна, что даже выведение контрпримера гипотезы – на усмотрение ученого совета университета, проблему можно будет считать доказанной, так что здесь можно попробовать и метод «от обратного». Даже если удастся переформулировать гипотезу в более узком смысле – и тут институт Клэя выплатит некоторую сумму денег.
Теория Янга — Миллса
Уравнения Навье-Стокса
Здесь нам наверняка бы помог Говард Воловиц, если бы существовал в реальности – ведь это загадка из гидродинамики, причем основа основ. Уравнения описывают движения вязкой ньютоновской жидкости, имеют огромное практическое значение, а главное описывают турбулентность, которую никак не удается загнать в рамки науки и предугадать ее свойства и действия. Обоснование построения этих уравнений позволило бы не тыкать пальцем в небо, а понять турбулентность изнутри и сделать самолеты и механизмы более устойчивыми.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
Здесь я, правда, пытался подобрать простые слова, однако тут такая дремучая алгебра, что без глубокого погружения не обойтись. Тем же, кто не хочет нырять с аквалангом в матан, надо знать, что данная гипотеза позволяет быстро и безболезненно находить ранг эллиптических кривых, а если бы этой гипотезы не было, то для вычисления этого ранга нужна была бы простыня вычислений. Ну и естественно также надо знать, что доказательство этой гипотезы обогатит вас на миллион долларов.
Нельзя не отметить, что почти в каждой области есть уже продвижения, и даже доказаны случаи для отдельных примеров. Поэтому не стоит медлить, а то получится как с теоремой Ферма, которая поддалась Эндрю Уайлсу через 3 с лишним века в 1994 году, и принесла ему Абелевскую премию и около 6 млн. норвежских крон (50 миллионов рублей по сегодняшнему курсу).
IQ. Математика
16 июл. 2009 г.
7 величайших математических загадок тысячелетия.
8 августа 1900 года на международном математическом конгрессе в Париже математик Дэвид Гилберт (David Hilbert) изложил список проблем, которые, как он полагал, предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. Двадцать один из них на данный момент решены. Последней решенной проблемой из списка Гилберта была знаменитая теорема Ферма, с которой ученые не могли справиться в течение 358 лет. В 1994 году свое решение предложил британец Эндрю Уайлз. Оно и оказалось верным.
1. Проблема Кука (сформулирована в 1971 году)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных.
2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году)
Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.
4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких «кирпичиков» и объектов.
6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году)
masterok
masterokМастерок.жж.рф
Хочу все знать /наука, история, политика, творчество/
Многие не знают например, что знаменитая и Великая теорема Ферма уже доказана, а есть ведь вообще пока не доказанные математические задачи.
В августе 1900 года в Париже состоялся II Международный Конгресс математиков. Он мог бы пройти незамеченным, если бы на нем не выступил немецкий ученый, профессор Давид Гильберт, который в своем докладе поставил 23 самые главные на тот момент, существенные проблемы, касающиеся математики, геометрии, алгебры, топологии, теории чисел, теории вероятностей и пр.
На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
Вот собственно весь список:
Вот как выглядят на сегодняшний день проблемы Гильберта и их статус:
1. Континуум-гипотеза. Существует ли бесконечное кардинальное число строго между кардиналами множеств целых и действительных чисел? Решена Полом Коэном в 1963 г. — ответ на вопрос зависит от того, какие аксиомы используются в теории множеств.
2. Логическая непротиворечивость арифметики. Доказать, что стандартные аксиомы арифметики не могут привести к противоречию. Решена Куртом Геделем в 1931 г.: с обычными аксиомами теории множеств такое доказательство невозможно.
3. Равносоставленность равновеликих тетраэдров. Если два тетраэдра имеют одинаковый объем, то всегда ли можно разрезать один из них на конечное число многоугольников и собрать из них второй? Решена в 1901 г. Максом Деном, ответ отрицательный.
4. Прямая как кратчайшее расстояние между двумя точками. Сформулировать аксиомы геометрии на основе данного определения прямой и посмотреть, что из этого следует. Слишком расплывчатая задача, чтобы можно было рассчитывать на определенное решение, но сделано немало.
5. Группы Ли без опоры на дифференцируемость. Технический вопрос теории групп преобразований. В одной из интерпретаций ее решил Эндрю Глисон в 1950-е гг., в другой — Хидехико Ямабе.
6. Аксиомы физики. Разработать строгую систему аксиом для математических областей физики, таких как теория вероятностей или механика. Систему аксиом для вероятностей построил Андрей Колмогоров в 1933 г.
7. Иррациональные и трансцендентные числа. Доказать, что определенные числа являются иррациональными или трансцендентными. Решена в 1934 г. Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером.
8. Гипотеза Римана. Доказать, что все нетривиальные нули римановой дзета-функции лежат на критической линии. См. главу 9.
9. Законы взаимности в числовых полях. Обобщить классический закон квадратичной взаимности (о квадратах по определенному модулю) на более высокие степени. Частично решена.
10. Условия существования решений диофантовых уравнений. Найти алгоритм, позволяющий определить, имеет ли данное полиномиальное уравнение со многими переменными решения в целых числах. Невозможность доказал Юрий Матиясевич в 1970 г.
11. Квадратичные формы с алгебраическими числами в качестве коэффициентов. Технические вопросы решения диофантовых уравнений со многими переменными. Решена частично.
12. Теорема Кронекера об абелевых полях. Технические вопросы обобщения теоремы Кронекера. Не доказана до сих пор.
13. Решение уравнений седьмой степени при помощи функций специального вида. Доказать, что общее уравнение седьмой степени не может быть решено с использованием функций двух переменных. В одной из интерпретаций возможность такого решения доказали Андрей Колмогоров и Владимир Арнольд.
14. Конечность полной системы функций. Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.
15. Исчислительная геометрия Шуберта. Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.
16. Топология кривых и поверхностей. Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.
17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов. Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.
18. Заполнение пространства многогранниками. Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).
19. Аналитичность решений в вариационном исчислении. Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.
20. Граничные задачи. Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).
21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией. Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.
22. Униформизация с использованием автоморфных функций. Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.
23. Развитие вариационного исчисления. Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.
За что еще дадут миллион долларов…
В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клея (Landon T. Clay) в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени (Clay Mathematics Institute) для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали семь самых, по их мнению, головоломных проблем. И назначили по миллиону долларов за каждую.
Нужно определить: может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.
Существуют так называемые простые числа, например, 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, не известно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет — тоже окажет услугу криптографии.
3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера
Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.
В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.
5. Уравнения Навье – Стокса
О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.
6. Уравнения Янга – Миллса
В мире физики есть гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел. Но какой — не понятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задачка. Для ее решения необходимо создать «теорию всего» — уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет, наверняка получит и Нобелевскую премию.