какие теоремы принадлежат аполлонию
Теорема Аполлония
В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через его стороны. В частности, если в каком-либо треугольнике ABC медиана AD, то
Это частный случай теоремы Стюарта. Для равнобедренного треугольника теорема сводится к теореме Пифагора. Из факта, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, можно доказать, что теорема эквивалентна тождеству параллелограмма.
Теорема называется в честь Аполлония Пергского.
Доказательство
Теорема может быть доказана как особый случай теоремы Стюарта или с помощью векторов (см. тождество параллелограмма). Ниже приводится независимое доказательство, использующее теорему косинусов. [1]
Пусть стороны треугольника a, b, c, а медиана d проведена к стороне a треугольника. Пусть m — длина отрезков a, образованных медианой, то есть m составляет половину a. Пусть углы между a и d — θ и θ′, где θ содержит b и θ′ содержит c. Затем, θ′ является смежным углом к θ и cos θ′ = −cos θ. Теорема косинусов для θ и θ′ гласит:
Сложив эти уравнения, получим
См. также
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Теорема Аполлония» в других словарях:
Теорема Стюарта — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Симсона. Теорема Стюарта метрическая теорема в евклидовой планиметрии … Википедия
АПОЛЛОНИЯ ТЕОРЕМА — 1) Сумма квадратов длин сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная, равная сумме квадратов длин его полуосей. 2) Площадь описанного вокруг эллипса параллелограмма, стороны к рого имеют сопряженные направления, постоянна и равна… … Математическая энциклопедия
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Ферма, Пьер — Пьер де Ферма Pierre de Fermat Дата рождения … Википедия
Пьер Ферма — Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в Тулузе.… … Википедия
Ферма Пьер — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия
Ферма П. — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия
Евклид — У этого термина существуют и другие значения, см. Евклид (значения). Евклид Εὐκλείδης … Википедия
Теорема Аполлония
Оглавление
Формулировка приговора
Предложение состоит из двух подпунктов, которые также называются первым и вторым движениями Аполлония и которые должны быть сформулированы следующим образом:
Альтернативные составы
В « Бронштейне » теорема Аполлония изложена иначе. Здесь вместо тождественного уравнения второго предложения Аполлония, приведенного выше, сформулировано следующее:
Доказательство утверждений
Доказательство утверждений следует из описания сопряженных точек эллипса (см. Сопряженный диаметр ): является ли эллипс параметрическим представлением
Примечание. Доказательство, которое также использует определитель, но не требует тригонометрических функций, можно найти в архиве доказательств, aa0 в (6.1) и (6.2).
Описанный эллипсом параллелограмм сопряженных диаметров состоит из 8 треугольников равной площади. Отсюда следует последнее из утверждений.
Предпосылки расчета площади
является гомеоморфизмом координатной плоскости на самой себе.
и поэтому в частности
Таким же образом доказывается, что площадь всего эллипса
АПОЛЛОНИЯ ТЕОРЕМА
1) Сумма квадратов длин сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная, равная сумме квадратов длин его полуосей. 2) Площадь описанного вокруг эллипса параллелограмма, стороны к-рого имеют сопряженные направления, постоянна и равна произведению длин его диаметров. А. Б. Иванов.
Смотреть что такое «АПОЛЛОНИЯ ТЕОРЕМА» в других словарях:
Теорема Аполлония — Зелёное + Голубое = Красное В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через … Википедия
Теорема Стюарта — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Симсона. Теорема Стюарта метрическая теорема в евклидовой планиметрии … Википедия
Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри … Википедия
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Ферма, Пьер — Пьер де Ферма Pierre de Fermat Дата рождения … Википедия
Пьер Ферма — Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в Тулузе.… … Википедия
Ферма Пьер — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия
Ферма П. — Пьер Ферма Пьер де Ферма (фр. Pierre de Fermat, 1601 1665) французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, с 1631 года советник парламента в… … Википедия