какие треугольники называются подобными определение

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S₁, то:

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

то ABC

A₁B₁C₁.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если	AB	=	AC	, ∠A = ∠A1,
	A1B1		A1C1
то ABC A1B1C1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Источник

Подобие треугольников (ЕГЭ — 2022)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое подобные треугольники? Вроде как «похожие», но как это понимать? И для чего это понимать?

Ну например для решения задание ЕГЭ №16, где подобие треугольников используется для доказательств. Кстати, полностью 16-ю задачу решают менее 1% выпускников!

Читай эту статью, смотри вебинар по 16 задаче и все поймешь!

Подобие треугольников — коротко о главном

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \( \displaystyle k\).

\( \angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \displaystyle \frac<<

_>><<

_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \displaystyle \frac<<_>><<_<<_<1>><_<1>><_<1>>>>>=<^<2>>\).

Признаки подобия треугольников:

По двум углам:

По одному углу и отношению заключающих его сторон:

По отношению трех сторон:

Подобные треугольники — подробнее

Мы разобрали подробно все, что касается треугольников в общем. Кроме того мы рассмотрели отдельные темы:

Но что такое подобные треугольники?

Вот, например, такой и такой:

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А вот такой и такой?

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \( \displaystyle 5\), или, в \( \displaystyle 7\), или в \( \displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \( \displaystyle ABC\) подобен треугольнику \( \displaystyle <_<1>><_<1>><_<1>>\)» с помощью такого значка:

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \( \displaystyle k\).

\(\angle A = \angle ,\angle B = \angle ,\angle C = \angle \)

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон.

Признак подобия треугольников «по двум углам»

Помнишь еще, что «\( \displaystyle \sim<\ >\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

Но есть и еще два. Смотри.

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Самый главный «секрет» подобия треугольников

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда…

Все элементы одного треугольника ровно в \( \displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

Не только стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д.

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников для расчетных задач (не только для доказательств).

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

И если ты давно хотела что-то мне сказать, то говори…(с)

Подобие треугольников поможет тебе во многих задачах. И теперь ты знаешь о нем все!

Расскажи нам, помогла ли тебе эта статья? Ты хорошо различаешь признаки подобия и равенства?

Напиши в комментариях внизу!

Если у тебя остались вопросы, задай их! Мы обязательно ответим и во всем разберемся.

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Иван
15 ноября 2019
В 3 признаке подобия, как мне кажется, ошибка. Не три стороны должны быть пропорциональны, а всего лишь две.

Алексей Шевчук
15 ноября 2019
Иван, вы путаете с признаком «по двум углам»: если пропорциональны только 2 стороны, то третья может быть какой угодно. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, а со сторонами 6, 8, 9 — остроугольный, они подобными быть не могут, хотя 2 стороны у них пропорциональны: 3:6=4:8. С тремя углами это работает, поскольку третий угол автоматически оказывается равным, благодаря тому, что сумма всех углов треугольника = 180.

Genius
07 мая 2020
Нет, там всё правильно

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Пропорциональные отрезки

Если известна длина двух отрезков, то можно узнать, во сколько раз один из них больше другого. Например, если некоторый отрезок NM = 24 см, а другой отрезок KP = 4 см, то можно утверждать, что NM в 6 раз длиннее, так как

Величину NM/KP именуют отношением отрезков NM и KP. Надо заметить, что в ряде случаев отношение отрезков можно найти, не зная их длины. Пусть в ∆МКР проведена медиана МН. Очевидно, что отрезок КР будет вдвое длиннее КН, ведь Н – середина КР:

Другой пример – это отношение между диагональю квадрата и его стороной.

Используя теорему Пифагора, несложно показать, что в любом квадрате АВСD

Наконец, в прямоугольном треуг-ке, один из углов которого равен 30°, гипотенуза всегда вдвое длиннее меньшего из катетов:

Если отношение отрезка AB к А₁В₁ равно отношению отрезка СD к С₁D₁, то говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁. Например, пусть

Получается, AВ и CD пропорциональны А₁В₁ и С₁D₁. Важно отметить, что пропорциональны могут быть также сразу три и более отрезка.

Определение подобных треугольников

В жизни нередко можно наблюдать объекты, у которых совпадает форма, но отличаются размеры. В качестве примера можно привести мяч для настольного тенниса и баскетбольный мяч. Оба этих предмета имеют форму шара, на баскетбольный мяч значительно больше. Другой пример – настоящий танк и игрушка, изображающая его. Часто подобны друг другу матрешки, которые вкладываются друг в друга – все они выглядят одинаково, а отличаются только общим размером. Наконец, подобны и знаменитые египетские пирамиды:

Такие объекты в геометрии именуют подобными. Подобны друг другу любые две окружности и любые два квадрата. Но особо важную роль в геометрии играют подобные треугольники. Рассмотрим это понятие подробнее.

Пусть есть два треуг-ка, ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, у которых соответственно равны углы:

Стороны, которые лежат против одинаковых углов в таких треуг-ках, именуют сходственными. Ими являются стороны AВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁.

Можно дать такое определение подобных треугольников:

Таким образом, подобие треугольников (оно обозначается символом ∾) обозначает выполнение сразу нескольких равенств:

Отношение между сходственными сторонами подобных треуг-ков именуется коэффициентом подобия и обозначается буквой k:

Грубо говоря, подобие треуг-ков означает, что их форма одинакова, но один из них в несколько раз больше или меньше другого. Чтобы получить, из одного треуг-ка другой, равный ему по размерам, его надо просто «масштабировать». Например, на этом рисунке все стороны исходного треуг-ка просто увеличили в три раза:

Это значит, что коэффициент подобия в данном случае равен 3. Однако важно понимать, что в различных геометрических задачах подобные треуг-ки также могут быть повернуты друг относительно друга:

Задание. ∆AВС подобен ∆DEF. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. Как только в задаче появляются подобные треуг-ки, стоит сразу же определить их коэффициент подобия, а для этого надо разобраться, какие стороны будут сходственными. Так как∠А = ∠Е, то лежащие против них стороны DF и ВС– сходственные. Их отношение и будет равно коэффициенту подобия:

Получили, что стороны ∆DEF вдвое длиннее сходственных им сторон ∆AВС. У подобных треуг-ков углы одинаковы, поэтому∠С = ∠D. Отсюда следует, что стороны AВ и ЕF сходственны, а потому ЕF вдвое больше:

Задание. ∆AВС и∆DEF – подобные. Известно, что

Найдите длину ЕF.

Решение. По сравнению с предыдущей задачей изменилось только одно условие, теперь∠А = ∠D. Однако это меняет сходственные стороны. Из подобия треуг-ков следует, что∠С = ∠Е. Тогда сходственными оказываются уже стороны AВ и DF. Найдем коэффициент подобия треугольников:

Сходственными являются также стороны ВС и ЕF (ведь∠А = ∠D), поэтому ЕF в 1,25 раза длиннее:

Эти две задачи показывают, как важно правильно определять сходственные стороны подобных треугольников.

Естественно, что все равные друг другу треуг-ки являются одновременно и подобными, причем их коэффициент подобия равен единице.

Задание. Докажите, что у подобных треуг-ков отношение их периметров равно коэффициенту подобия.

Решение. Пусть подобны ∆ AВС и ∆А₁В₁С₁, причем

Периметр ∆AВС можно вычислить так:

Мы доказали утверждение, сформулированное в условии.

Первый признак подобия треугольников

Оказывается, для того, чтобы доказать подобие треуг-ков, не требуется сравнивать все их углы и находить соотношение всех сторон. Существуют три простых признака подобия треугольников.

Однако прежде, чем сформулировать их, нам придется доказать отдельное утверждение, которое известно как обобщенная теорема Фалеса («обычную», не обобщенную теорему мы уже изучали ранее).

Если прямые ВВ₁ и СС₁ (показаны красным цветом)параллельны, то отрезки AВ и АС пропорциональны отрезкам AВ₁ и АС₁, то есть справедливо соотношение:

Доказывать будем от противного. Пусть отрезки AВ и АС непропорциональны AВ₁ и АС₁. Тогда отметим наАС такую точку Н, которая разобьет АС на пропорциональные отрезки, то есть

Естественно, эта точка не будет совпадать с С₁. Рассмотрим случай, когда она окажется правее, чем С₁:

Теперь поступим следующим образом. Проведем через стороны угла большое число прямых, параллельных ВС, которые будут разбивать АС на одинаковые отрезки. По теореме Фалеса эти же прямые отсекут одинаковые отрезки и на AВ. При этом мы проведем настолько много параллельных прямых, что хотя бы одна из них пересечет отрезок С₁Н:

Пусть эта прямая пересечет отрезок С₁Н в некоторой точке С₂, а сторону AВ в точке В₂. Ясно, что отрезки AВ и АВ₂ пропорциональны отрезкам АС и АС₂, так как они состоят из одинакового количества одинаковых отрезков. Например, на построенном рисунке отношение AB₂ к AB равно 5/8, так как AB₂ состоит из 5 отрезков, отсеченных зелеными параллельными прямыми, а AB состоит из 8 таких отрезков. Аналогично и отношение АС₂ к АС также равно 5 к 8. Таким образом, можно записать:

Здесь мы рассмотрели случай, когда точка Н лежит правее С₁, то есть АН >C₁. Случай, когда АН 2 раз. Докажем это.

Пусть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ подобны с коэффициентом подобия k. Снова проведем в них высоты СН и СН₁:

Запишем очевидные равенства:

В итоге получили, что площади подобных треугольников отличаются в k 2 раз.

Задание. Известно, у ∆AВС площадь составляет 10, а отрезок AВ имеет длину 5. ∆DEF подобен ∆AВС, причем сторона DE, сходственная AВ, равна 15. Вычислите площадь ∆DEF.

Решение. По условию задачи легко найти коэффициент подобия ∆AВС и ∆DEF, надо лишь поделить одну сходственную сторону на другую:

Решение. Зная площади треуг-ков, легко найдем коэффициент их подобия:

Если коэффициент равен 2, то стороны первого многоугольника вдвое меньше сторон второго, поэтому интересующая нас сторона равна

Источник

Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Содержание

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Доказать: ∆ABC ∆A₁B₁C₁.

= = => = .

= = => ∆ABC ∆A₁B₁C₁.

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, ∠A=∠A₁, = .

Доказать: ∆ABC ∆A₁B₁C₁.

∆ABC₂ ∆A₁B₁C₁ (первый признак) => = .

= => AC=AC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (первый признак) =>
∠B=∠ABC₂=∠B₁ => ∆ABC ∆A₁B₁C₁ (первый признак).

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, = = .

Доказать: ∆ABC ∆A₁B₁C₁.

∆ABC₂ ∆A₁B₁C₁ (первый признак) => = = .

= = => AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ ∆A₁B₁C₁ => ∆ABC ∆A₁B₁C₁.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Свойства подобных треугольников

Подобие в прямоугольном трегольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

Связанные определения

Литература

См. также

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Подобные треугольники» в других словарях:

Признаки подобия треугольников — Подобные треугольники треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Содержание 1 Признаки подобия треугольников 1.1 Первый признак … Википедия

Теорема Пифагора — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия

Пифагора теорема — Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия

ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

ПОДОБНЫЙ — ПОДОБНЫЙ, подобная, подобное; подобен, подобна, подобно. 1. кому чему. Сходный, совершенно похожий. Происшествие, подобное этому, было в прошлом году. 2. Такой, этот (о котором говорится). «Где еще мыслимы подобные вещи?» Маяковский. Перечислить… … Толковый словарь Ушакова

Высота треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в треугольниках различного типа Высота треугольника перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зав … Википедия

Теорема Наполеона — Теорема Наполеона утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках … Википедия

ПОДОБИЕ — ср. (доба, время, пора, срок, год, година: добрый, удобный, сдобный и пр.) сходство, согласие, одновидность, схожесть. И подобия нет подлинника. | Вещь сделанная по образцу или в подражанье; изображенье чего; образ чего либо. Иссеченное из камня… … Толковый словарь Даля

Мгновенный центр скоростей — Мгновенный центр скоростей при плоскопараллельном движении точка, обладающая следующими свойствами: а) её скорость в данный момент времени равна нулю; б) относительно неё в данный момент времени вращается тело. Содержание 1 Положение… … Википедия

Источник