какие углы равны 180 градусов в параллелограмме
Геометрические фигуры. Параллелограмм. Свойства сторон и углов параллелограмма.
Свойства сторон и углов параллелограмма.
У параллелограмма противоположные стороны имеют одинаковую длину, а противоположные углы равную величину.
Проводим в параллелограмме ABCD диагональ BD.
Рассматриваем треугольники ABD и CDB. Здесь важно правильно указать треугольники.
То есть, ∆ABD= ∆CDB (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
и равенство соответствующих углов:
Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Сумма углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне соответствует 180 градусам.
Это свойство выходит из того, что углы, которые прилежат к 1-ой стороне параллелограмма оказываются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.
Для параллелограмма ABCD:
Еще некоторые свойства углов параллелограмма:
Биссектрисы углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне, — перпендикулярны.
Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма — параллельны.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали 
параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением: 
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Признаки параллелограмма
Четырехугольник 
является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны: 
2. Противоположные углы попарно равны: 
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны: 
5. 
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.
Параллелограмм: свойства и признаки
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
Как найти площадь параллелограмма:
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Свойства сторон и углов параллелограмма
(Свойства сторон и углов параллелограмма)
В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Проведем в параллелограмме ABCD диагональ BD.
Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
1) сторона BD — общая
2) ∠ ABD= ∠ CDB (как внутренние накрест лежащие при AB∥CD и секущей BD)
3) ∠ ADB= ∠ CBD (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей BD)
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
и равенство соответствующих углов:
В пунктах 2) и 3) обосновано, что ∠ ABD= ∠ CDB и ∠ ADB= ∠ CB.
∠ ABC= ∠ ABD+ ∠ CBD= ∠ CDB+ ∠ ADB= ∠ ADC,
Что и требовалось доказать.
II. Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º.
Это свойство непосредственно вытекает из того, что углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.
Для параллелограмма ABCD:
∠ A+ ∠ B=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB;
∠ C+ ∠ D=180º (как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей CD;
∠ A+ ∠ D=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей AD;
∠ B+ ∠ C=180º (как внутренние односторонние при AB∥CD и секущей BC.
Сумма углов параллелограмма
Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.
Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).
Для параллелограмма ABCD
Сумма двух углов параллелограмма
Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей).
Для параллелограмма ABCD
∠A+∠B=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей AB);
∠C+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей CD);
∠A+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей AD);
∠B+∠C=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей BC).
Если в задаче известна сумма двух углов параллелограмма, отличная от 180°, то речь идёт о сумме противолежащих углов.
Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то чтобы найти эти углы, достаточно данную сумму разделить пополам.
Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна 110°.
Так как сумма углов отлична от 180°, то эти углы — противолежащие. Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому каждый из них равен 110:2=55°.
Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей), то каждый из двух оставшихся углов равен 180-55=125°.
Сумма трёх углов параллелограмма
Если известна сумма трёх углов параллелограмма, то сумма двух из них равна 180° (как сумма внутренних односторонних при параллельных прямых и секущей). Значит, если из суммы трёх углов, вычесть 180°, то получим третий угол.
Можно рассуждать иначе. Так как сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360°, то четвёртый угол равен разности 360° и данной суммы.
Найти углы параллелограмма, если трёх его углов равна 310°.
Сумма двух из трёх углов параллелограмма равна 180°.
Следовательно, третий угол равен 310-180=130°.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Поэтому каждый из двух оставшихся углов равен 180-130=50°.