Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Примеры решения линейных уравнений:
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
Это уравнение не является линейным уравнением.
Особые случаи (встречаются редко, но знать их полезно).
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
Задания для самостоятельного решения
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
2 − 3 ( 2 x + 2 ) = 5 − 4 x
Переносим иксы влево, числа вправо:
x = 9 − 2 = − 9 2 = − 4,5
№2. При каком значении x значения выражений 7 x − 2 и 3 x + 6 равны?
Решение:
Приравниваем эти два выражения:
№3. Решите уравнение ( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Чтобы найти все корни данного уравнения, надо приравнять каждый множитель к нулю и оба корня взять в ответ.
( − 5 x + 3 ) ( − x + 6 ) = 0 ⇔ [ − 5 x + 3 = 0 − x + 6 = 0 ⇒ [ − 5 x = − 3 ; − x = − 6 ; ⇒ [ x = − 3 − 5 = 3 5 = 0,6 x = − 6 − 1 = 6 1 = 6
В задании указано, что в ответ надо записать корни в порядке возрастания 0,6 6.
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение:
Раскроем квадраты, используя ФСУ (формулы сокращенного умножения):
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 + x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 9 + 9 2 − 2 x 2 = 0
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение. В этом уравнении полная степень составляющих его многочленов равна единице.
Линейные уравнения представляют в таком виде:
Линейное уравнение с одной переменной.
Линейное уравнение с 1-ой переменной приводится к виду:
Число корней зависимо от a и b:
— Когда a=b=0, значит, у уравнения есть неограниченное число решений, так как .
— Когда a=0, b≠ 0, значит, у уравнения нет корней, так как .
— Когда a≠ 0, значит, у уравнения есть только один корень .
Линейное уравнение с двумя переменными.
Уравнением с переменной x является равенство типа A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. При подстановке множества T значений x в уравнение получаем истинное числовое равенство, которое называется множеством истинности этого уравнения либо решение заданного уравнения, а все такие значения переменной — корни уравнения.
Линейные уравнения 2-х переменных представляют в таком виде:
— в общей форме: ax + by + c = 0,
— в форме линейной функции: y = kx + m, где .
Решением либо корнями этого уравнения является такая пара значений переменных (x;y), которая превращает его в тождество. Этих решений (корней) у линейного уравнения с 2-мя переменными неограниченное количество. Геометрической моделью (графиком) данного уравнения есть прямая y=kx+m.
Если в уравнении есть икс в квадрате, то такое уравнение называется квадратным уравнением.
Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядит так
ах + b = 0, где a и b — действительные числа.
Что поможет в решении:
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.
А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.
Пример 5. Решить:
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.
Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.
Что такое линейное уравнение
Такая формулировка использована в учебнике алгебры ( 7 класс) Ю.Н.Макарычева.
Примерами линейных уравнений будут:
3 · x = 11 (уравнение с одной переменной x при а = 5 и b = 10 );
В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a · x = b при помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5 · x = 2 · x + 6 – также линейное.
А вот учебник алгебры ( 7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:
Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:
Принцип решения линейных уравнений
Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.
Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:
Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:
Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.
Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.
С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.
В данном уроке мы попробуем понять суть простейших уравнений, научимся выражать неизвестные и решим несколько уравнений. По мере усвоения новых материалов, уравнения будут усложняться, поэтому понять основы очень важно.
Что такое уравнение?
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Другими словами, мы должны найти такое значение, при котором знак равенства оправдал бы свое местоположение — левая часть должна быть равна правой части.
Уравнение 3 + x = 5 является элементарным. Значение переменной x равно числу 2. При любом другом значении равенство соблюдáться не будет
Говорят, что число 2 является корнем или решением уравнения 3 + x = 5
Корень или решение уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.
Корней может быть несколько или не быть совсем. Решить уравнение означает найти его корни или доказать, что корней нет.
Переменную, входящую в уравнение, иначе называют неизвестным. Вы вправе называть как вам удобнее. Это синонимы.
Примечание. Словосочетание «решить уравнение» говорит самó за себя. Решить уравнение означает «уравнять» равенство — сделать его сбалансированным, чтобы левая часть равнялась правой части.
Выразить одно через другое
Изучение уравнений по традиции начинается с того, чтобы научиться выражать одно число, входящее в равенство, через ряд других. Давайте не будем нарушать эту традицию и поступим также.
Рассмотрим следующее выражение:
Данное выражение является суммой чисел 8 и 2. Значение данного выражения равно 10
Получили равенство. Теперь можно выразить любое число из этого равенства через другие числа, входящие в это же равенство. К примеру, выразим число 2.
Чтобы выразить число 2, нужно задать вопрос: «что нужно сделать с числами 10 и 8, чтобы получить число 2». Понятно, что для получения числа 2, нужно из числа 10 вычесть число 8.
Так и делаем. Записываем число 2 и через знак равенства говорим, что для получения этого числа 2 мы из числа 10 вычли число 8:
При решении уравнений, в частности при выражении одного числа через другие, знак равенства удобно заменять на слово «есть». Делать это нужно мысленно, а не в самом выражении.
2 есть 10 − 8
То есть знак = заменен на слово «есть». Более того, равенство 2 = 10 − 8 можно перевести с математического языка на полноценный человеческий язык. Тогда его можно будет прочитать следующим образом:
Число 2 есть разность числа 10 и числа 8
Число 2 есть разница между числом 10 и числом 8.
Но мы ограничимся лишь заменой знака равенства на слово «есть», и то будем делать это не всегда. Элементарные выражения можно понимать и без перевода математического языка на язык человеческий.
В этот раз выразим число 10. Но оказывается, что десятку выражать не нужно, поскольку она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть, тогда получится то, что нам нужно:
Пример 2. Рассмотрим равенство 8 − 2 = 6
Выразим из этого равенства число 8. Чтобы выразить число 8 остальные два числа нужно сложить:
Выразим из этого равенства число 5. Чтобы выразить число 5, нужно 15 разделить 3
Правила нахождения неизвестных
Рассмотрим несколько правил нахождения неизвестных. Возможно, они вам знакомы, но не мешает повторить их ещё раз. В дальнейшем их можно будет забыть, поскольку мы научимся решать уравнения, не применяя эти правила.
Вернемся к первому примеру, который мы рассматривали в предыдущей теме, где в равенстве 8 + 2 = 10 требовалось выразить число 2.
В равенстве 8 + 2 = 10 числа 8 и 2 являются слагаемыми, а число 10 — суммой.
Чтобы выразить число 2, мы поступили следующим образом:
То есть из суммы 10 вычли слагаемое 8.
Теперь представим, что в равенстве 8 + 2 = 10 вместо числа 2 располагается переменная x
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Если вычислить правую часть получившегося равенства, то можно узнать чему равна переменная x
В результате получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Это же правило действовало бы в случае, если неизвестным слагаемым было бы первое число 8.
Вернемся ко второму примеру из предыдущей темы, где в равенстве 8 − 2 = 6 требовалось выразить число 8.
В равенстве 8 − 2 = 6 число 8 это уменьшаемое, число 2 — вычитаемое, число 6 — разность
Чтобы выразить число 8, мы поступили следующим образом:
То есть сложили разность 6 и вычитаемое 2.
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 8 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль так называемого неизвестного уменьшаемого
Для нахождения неизвестного уменьшаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Если вычислить правую часть, то можно узнать чему равна переменная x
Теперь представим, что в равенстве 8 − 2 = 6 вместо числа 2 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного вычитаемого
Для нахождения неизвестного вычитаемого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Что мы и сделали, когда выражали число 2 в равенстве 8 − 2 = 6. Чтобы выразить число 2, мы из уменьшаемого 8 вычли разность 6.
А сейчас, чтобы найти неизвестное вычитаемое x, нужно опять же из уменьшаемого 8 вычесть разность 6
Вычисляем правую часть и находим значение x
Вернемся к третьему примеру из предыдущей темы, где в равенстве 3 × 2 = 6 мы пробовали выразить число 3.
В равенстве 3 × 2 = 6 число 3 — это множимое, число 2 — множитель, число 6 — произведение
Чтобы выразить число 3 мы поступили следующим образом:
То есть разделили произведение 6 на множитель 2.
Теперь представим, что в равенстве 3 × 2 = 6 вместо числа 3 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множимого.
Для нахождения неизвестного множимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное множимое, нужно произведение разделить на множитель.
Вычисление правой части позволяет нам найти значение переменной x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного множителя. Для нахождения неизвестного множителя предусмотрено такое же, что и для нахождения неизвестного множимого, а именно деление произведения на известный множитель:
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое.
А сейчас для нахождения неизвестного множителя x мы разделили произведение 6 на множимое 3.
Вычисление правой части равенства позволяет узнать чему равно x
Множимое и множитель вместе называют сомножителями. Поскольку правила нахождения множимого и множителя совпадают, мы можем сформулировать общее правило нахождения неизвестного сомножителя:
Чтобы найти неизвестный сомножитель, нужно произведение разделить на известный сомножитель.
Отсюда .
Отсюда .
Вернемся к четвертому примеру из предыдущей темы, где в равенстве требовалось выразить число 15. В этом равенстве число 15 — это делимое, число 5 — делитель, число 3 — частное.
Чтобы выразить число 15 мы поступили следующим образом:
То есть умножили частное 3 на делитель 5.
Теперь представим, что в равенстве вместо числа 15 располагается переменная x
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делимого.
Для нахождения неизвестного делимого предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
Что мы и сделали, когда выражали число 15 из равенства . Чтобы выразить число 15, мы умножили частное 3 на делитель 5.
В этом случае переменная x берет на себя роль неизвестного делителя.
Для нахождения неизвестного делителя предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Что мы и сделали, когда выражали число 5 из равенства . Чтобы выразить число 5, мы разделили делимое 15 на частное 3.
Итак, для нахождения неизвестных мы изучили следующие правила:
Компоненты
Компонентами мы будем называть числа и переменные, входящие в равенство
Так, компонентами сложения являются слагаемые и сумма
Компонентами вычитания являются уменьшаемое, вычитаемое и разность
Компонентами умножения являются множимое, множитель и произведение
Компонентами деления являются делимое, делитель и частное
В зависимости от того, с какими компонентами мы будем иметь дело, будут применяться соответствующие правила нахождения неизвестных. Эти правила мы изучили в предыдущей теме. При решении уравнений желательно знать эти правило наизусть.
Пример 1. Найти корень уравнения 45 + x = 60
45 — слагаемое, x — неизвестное слагаемое, 60 — сумма. Имеем дело с компонентами сложения. Вспоминаем, что для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
Вычислим правую часть, получим значение x равное 15
Значит корень уравнения 45 + x = 60 равен 15.
Чаще всего неизвестное слагаемое необходимо привести к виду при котором его можно было бы выразить.
Пример 2. Решить уравнение
Здесь в отличие от предыдущего примера, неизвестное слагаемое нельзя выразить сразу, поскольку оно содержит коэффициент 2. Наша задача привести это уравнение к виду при котором можно было бы выразить x
В данном примере мы имеем дело с компонентами сложения — слагаемыми и суммой. 2x — это первое слагаемое, 4 — второе слагаемое, 8 — сумма.
Теперь применяем правило нахождения неизвестного слагаемого. Вычитаем из суммы известное слагаемое:
Вычислим правую часть получившегося уравнения:
Мы получили новое уравнение . Теперь мы имеем дело с компонентами умножения: множимым, множителем и произведением. 2 — множимое, x — множитель, 4 — произведение
При этом переменная x является не просто множителем, а неизвестным множителем
Чтобы найти этот неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Вычислим правую часть, получим значение переменной x
Для проверки найденный корень отправим в исходное уравнение и подставим вместо x
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 3. Решить уравнение 3x + 9x + 16x = 56
Cразу выразить неизвестное x нельзя. Сначала нужно привести данное уравнение к виду при котором его можно было бы выразить.
Приведем подобные слагаемые в левой части данного уравнения:
Имеем дело с компонентами умножения. 28 — множимое, x — множитель, 56 — произведение. При этом x является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на множимое:
Равносильные уравнения
Уравнения называют равносильными, если их корни совпадают.
Согласно порядку действий, в первую очередь выполняется умножение:
Подставим корень 2 во второе уравнение 28x = 56
Видим, что у обоих уравнений корни совпадают. Значит уравнения 3x + 9x + 16x = 56 и 28x = 56 действительно являются равносильными.
Из тождественных преобразований на данный момент мы умеем только сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, выносить общий множитель за скобки, а также раскрывать скобки. Существуют и другие преобразования, которые следует знать. Но для общего представления о тождественных преобразованиях уравнений, изученных нами тем вполне хватает.
Рассмотрим некоторые преобразования, которые позволяют получить равносильное уравнение
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Если из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корень уравнения не изменится, если к обеим частям данного уравнения прибавить (или вычесть из обеих частей) одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
Вычтем из обеих частей уравнения число 10
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Отсюда .
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 2
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 2. Решить уравнение 4(x + 3) = 16
Раскроем скобки в левой части равенства:
Вычтем из обеих частей уравнения число 12
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению 4(x + 3) = 16 и подставим вместо x найденное значение 1
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 3. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Прибавим к обеим частям уравнения число 8
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В получившемся уравнении 2x = 9 выразим неизвестное слагаемое x
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4,5
Получили верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Решая уравнение мы прибавили к обеим частям уравнения число 8. В результате получили равносильное уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения так же равен 4,5
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
То есть корень уравнения не изменится, если мы перенесем слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Это свойство является одним из важных и одним из часто используемых при решении уравнений.
Рассмотрим следующее уравнение:
Корень данного уравнения равен 2. Подставим вместо x этот корень и проверим получается ли верное числовое равенство
Получается верное равенство. Значит число 2 действительно является корнем уравнения .
Теперь попробуем поэкспериментировать со слагаемыми этого уравнения, перенося их из одной части в другую, изменяя знаки.
Например, слагаемое 3x располагается в левой части равенства. Перенесём его в правую часть, изменив знак на противоположный:
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
На самом деле данное преобразование является упрощенным методом предыдущего преобразования, где к обеим частям уравнения прибавлялось (или вычиталось) одно и то же число.
Мы сказали, что в уравнении 12 + 3x = 9x слагаемое 3x было перенесено в правую часть, изменив знак. В реальности же происходило следующее: из обеих частей уравнения вычли слагаемое 3x
Затем в левой части были приведены подобные слагаемые и получено уравнение 12 = 9x − 3x. Затем опять были приведены подобные слагаемые, но уже в правой части, и получено уравнение 12 = 6x.
Но так называемый «перенос» более удобен для подобных уравнений, поэтому он и получил такое широкое распространение. Решая уравнения, мы часто будем пользоваться именно этим преобразованием.
Следующее правило, которое позволяет получить равносильное уравнение, выглядит следующим образом:
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.
Другими словами, корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число. Это действие часто применяется тогда, когда нужно решить уравнение содержащее дробные выражения.
Сначала рассмотрим примеры, в которых обе части уравнения будут умножаться на одно и то же число.
Пример 1. Решить уравнение
При решении уравнений, содержащих дробные выражения, сначала принято упростить это уравнение.
В данном случае мы имеем дело именно с таким уравнением. В целях упрощения данного уравнения обе его части можно умножить на 8:
Мы помним, что для умножения дроби на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число. У нас имеются две дроби и каждая из них умножается на число 8. Наша задача умножить числители дробей на это число 8
Теперь происходит самое интересное. В числителях и знаменателях обеих дробей содержится множитель 8, который можно сократить на 8. Это позволит нам избавиться от дробного выражения:
В результате останется простейшее уравнение
Ну и нетрудно догадаться, что корень этого уравнения равен 4
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
При решении данного уравнения мы умножили обе его части на 8. В результате получили уравнение . Корень этого уравнения, как и уравнения равен 4. Значит эти уравнения равносильны.
Множитель на который умножаются обе части уравнения принято записывать перед частью уравнения, а не после неё. Так, решая уравнение , мы умножили обе части на множитель 8 и получили следующую запись:
От этого корень уравнения не изменился, но если бы мы сделали это находясь в школе, то нам сделали бы замечание, поскольку в алгебре множитель принято записывать перед тем выражением, с которым он перемножается. Поэтому умножение обеих частей уравнения на множитель 8 желательно переписать следующим образом:
Пример 2. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 15
В левой части множители 15 можно сократить на 15, а в правой части множители 15 и 5 можно сократить на 5
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в правой части уравнения:
Перенесем слагаемое x из левой части уравнения в правую часть, изменив знак. А слагаемое 15 из правой части уравнения перенесем в левую часть, опять же изменив знак:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях, получим
Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 5
Пример 3. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 3
В левой части можно сократить две тройки, а правая часть будет равна 18
Останется простейшее уравнение . Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
Отсюда
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 9
Получается верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 4. Решить уравнение
Умнóжим обе части уравнения на 6
В левой части уравнения раскроем скобки. В правой части множитель 6 можно поднять в числитель:
Сократим в обеих частях уравнениях то, что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение 4
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено правильно.
Пример 5. Решить уравнение
Раскроем скобки в обеих частях уравнения там, где это можно:
Умнóжим обе части уравнения на 15
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
Сократим в обеих частях уравнения, то что можно сократить:
Перепишем то, что у нас осталось:
Раскроем скобки там, где это можно:
Воспользуемся переносом слагаемых. Слагаемые, содержащие неизвестное, сгруппируем в левой части уравнения, а слагаемые, свободные от неизвестных — в правой. Не забываем, что во время переноса, слагаемые меняют свои знаки на противоположные:
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В получившемся ответе можно выделить целую часть:
Вернемся к исходному уравнению и подставим вместо x найденное значение
Наша задача состоит в том, чтобы убедиться равна ли левая часть правой. Другими словами, доказать равенство A = B
Найдем значение выражения, находящегося в переменной А.
Теперь попробуем не умножать обе части уравнения на одно и то же число, а делить.
Подставим найденное значение 2 вместо x в исходное уравнение:
Теперь попробуем разделить все слагаемые уравнения 30x + 14x + 14 = 70x − 40x + 42 на какое-нибудь число. Замечаем, что все слагаемые этого уравнения имеют общий множитель 2. На него и разделим каждое слагаемое:
Выполним сокращение в каждом слагаемом:
Перепишем то, что у нас осталось:
Решим это уравнение, пользуясь известными тождественными преобразованиями:
Этим методом мы тоже будем пользоваться часто.
Умножение на минус единицу
Если обе части уравнения умножить на минус единицу, то получится уравнение равносильное данному.
Данное правило позволяет поменять знаки всех компонентов, входящих в уравнение. Для чего это нужно? Опять же, чтобы получить равносильное уравнение, которое проще решать.
Рассмотрим уравнение . Чему равен корень этого уравнения?
Прибавим к обеим частям уравнения число 5
Приведем подобные слагаемые:
А теперь вспомним про коэффициент буквенного выражения. Что же представляет собой левая часть уравнения . Это есть произведение минус единицы и переменной x
Получилось верное числовое равенство. Значит уравнение решено верно.
Теперь попробуем умножить обе части уравнения на минус единицу:
После раскрытия скобок в левой части образуется выражение , а правая часть будет равна 10
Корень этого уравнения, как и уравнения равен 5
Значит уравнения и равносильны.
Пример 2. Решить уравнение
Понятно, что от умножения на −1 любое число поменяет свой знак на противоположный. Поэтому саму процедуру умножения на −1 и раскрытие скобок подробно не расписывают, а сразу записывают компоненты уравнения с противоположными знаками.
Так, умножение уравнения на −1 можно записать подробно следующим образом:
либо можно просто поменять знаки всех компонентов:
Получится то же самое, но разница будет в том, что мы сэкономим себе время.
Когда корень найден, переменную обычно записывают в левой части, а её значение в правой, что мы и сделали.
Пример 3. Решить уравнение
Из обеих частей получившегося уравнения вычтем 2x и приведем подобные слагаемые:
Прибавим к обеим частям уравнения единицу и приведем подобные слагаемые:
Приравнивание к нулю
Недавно мы узнали, что если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
А что будет если перенести из одной части в другую не одно слагаемое, а все слагаемые? Верно, в той части откуда забрали все слагаемые останется ноль. Иными словами, не останется ничего.
В качестве примера рассмотрим уравнение . Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x
Теперь попробуем решить это же уравнение, приравняв все его компоненты к нулю. Для этого перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив знаки:
Приведем подобные слагаемые в левой части:
Альтернатива правилам нахождения неизвестных
Очевидно, что зная о тождественных преобразованиях уравнений, можно не заучивать наизусть правила нахождения неизвестных.
К примеру, для нахождения неизвестного в уравнении мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2
Но если в уравнении обе части разделить на 2 корень найдется сразу. В левой части уравнения в числителе множитель 2 и в знаменателе множитель 2 сократятся на 2. А правая часть будет равна 5
Уравнения вида мы решали выражая неизвестное слагаемое:
Но можно воспользоваться тождественными преобразованиями, которые мы сегодня изучили. В уравнении слагаемое 4 можно перенести в правую часть, изменив знак:
Далее разделить обе части на 2
В левой части уравнения сократятся две двойки. Правая часть будет равна 2. Отсюда .
Либо можно было из обеих частей уравнения вычесть 4. Тогда получилось бы следующее:
В случае с уравнениями вида удобнее делить произведение на известный сомножитель. Сравним оба решения:
Первое решение намного короче и аккуратнее. Второе решение можно значительно укоротить, если выполнить деление в уме.
Тем не менее, необходимо знать оба метода, и только затем использовать тот, который больше нравится.
Когда корней несколько
То есть в уравнении x(x + 9) = 0 равенство будет достигаться, если x будет равен нулю или (x + 9) будет равно нулю.
Пример 2. Решить уравнение
Найдем такое x при котором выражения (x − 1) или (x − 2) обращаются в нули:
Подставляем по-очереди найденные значения в исходное уравнение и убеждаемся, что при этих значениях левая часть равняется нулю:
Когда корней бесконечно много
Уравнение может иметь бесконечно много корней. То есть подставив в такое уравнение любое число, мы получим верное числовое равенство.
Пример 1. Решить уравнение
Пример 2. Решить уравнение
Корнем данного уравнения является любое число. Если раскрыть скобки в левой части уравнения, то получится равенство 10x + 12 = 10x + 12. Это равенство будет получаться при любом x
Когда корней нет
Пусть
Пример 2. Решить уравнение
Раскроем скобки в левой части равенства:
Приведем подобные слагаемые:
Буквенные уравнения
Уравнение может содержать не только числа с переменными, но и буквы.
Например, формула нахождения скорости является буквенным уравнением:
Данное уравнение описывает скорость движения тела при равноускоренном движении.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении левую и правую часть поменяем местами:
У нас получилась формула нахождения расстояния, которую мы изучали ранее.
Умнóжим обе части уравнения на t
В правой части переменные t сократим на t и перепишем то, что у нас осталось:
В получившемся уравнении v × t = s обе части разделим на v
В левой части переменные v сократим на v и перепишем то, что у нас осталось:
У нас получилась формула определения времени, которую мы изучали ранее.
Предположим, что скорость поезда равна 50 км/ч
А расстояние равно 100 км
Тогда буквенное уравнение примет следующий вид
либо можно воспользоваться тождественными преобразованиями. Сначала умножить обе части уравнения на t
Затем разделить обе части на 50
Пример 2. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Вычтем из обеих частей уравнения a
Разделим обе части уравнения на b
Видим, что второе решение намного проще и короче.
Пример 3. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Раскроем скобки в обеих частях уравнения
В левой части вынесем за скобки множитель x
Разделим обе части на выражение a − b
Пример 4. Дано буквенное уравнение . Выразите из данного уравнения x
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
Умнóжим обе части на a
В левой части x вынесем за скобки
Разделим обе части на выражение (1 − a)
Линейные уравнения с одним неизвестным
Рассмотренные в данном уроке уравнения называют линейными уравнениями первой степени с одним неизвестным.
Если уравнение дано в первой степени, не содержит деления на неизвестное, а также не содержит корней из неизвестного, то его можно назвать линейным. Мы еще не изучали степени и корни, поэтому чтобы не усложнять себе жизнь, слово «линейный» будем понимать как «простой».
Линейное уравнение первой степени с одним неизвестным в каноническом виде называют уравнение вида ax = b.
В будущем после изучения рациональных выражений, мы рассмотрим такие понятия, как посторонние корни и потеря корней. А пока рассмотренного в данном уроке будет достаточным.
.
.
.
.
.
.
. Имеем дело с компонентами умножения. Переменная x является неизвестным сомножителем. Найдём этот известный сомножитель:
. Чему равен корень этого уравнения?
. Это есть произведение минус единицы и переменной x
, а правая часть будет равна 10
равносильны.
. Решим данное уравнение, как обычно — слагаемые, содержащие неизвестные сгруппируем в одной части, а числовые слагаемые, свободные от неизвестных оставим в другой. Далее выполняя известные тождественные преобразования, найдем значение переменной x
мы произведение 10 делили на известный сомножитель 2
. Выразите из данного уравнения x
. Выразите из данного уравнения x
. Выразите из данного уравнения x
