Что такое квантовая система

Квантовая песочница: часть 2

Квантовая песочница: часть 1
Что такое квантовое состояние? Чем обычное состояние отличается от квантового? В какой момент обычное состояние становится квантовым и что будет, если от него отнять квантовости? Оно всё еще будет квантовым или уже превратится в обычное? Оно же только что было квантовым. Наверное, оно стало запутанным, и кот тоже стал запутанным.

В данной статье постараемся ответить на эти вопросы и разобраться в сути квантовой механики.
Цель: написать простую программу, «имитирующую» квантовую эволюцию, чтобы наконец можно было пощупать эти кубиты ручками.

Оглавление:

Что такое обычное «состояние»? Этим термином пользуются так часто, что он начал восприниматься полностью интуитивно.

Часть I: Классическое состояние

Вопрос №1: «Дана частица P, которую можно наблюдать вдоль отрезка . Что такое состояние частицы P?»
Ответ: Классическое состояние частицы P — число из отрезка .

Внимательного читателя привлечет слово «наблюдать» — как это вообще понимать?
Оказалось, что все это время на участке были расположены какие-то «детекторы», которые «наблюдали», но почему мы о них ничего не сказали? И сколько их там вообще штук?

Мы сказали, что состояние частицы — число из отрезка . Мощность множества равна континууму — между нашими «границами» А и B находится бесконечно много чисел, причем они расположены бесконечно близко друг к другу — значит нам требуется бесконечно много детекторов для каждой точки? Звучит довольно затратно, не так ли?

А ведь, утверждая, что состояние есть число, мы, получается, подразумеваем именно это. Именно то, что у нас в наличии бесконечно много детекторов. Но ведь это не так. И такого не может быть в принципе.

На практике мы бы разбили отрезок на конечное число сегментов, а в пересечениях поставили бы детекторы, и каждый детектор был бы способен приближенно сообщить, есть ли частица в его окрестности или нет.

То, что было сделано выше называется квантованием. В данном случае мы провели квантование отрезка на сегменты. Квант — неделимая порция чего-либо в рамках используемой модели, абстрактный термин.

Самые интересные явления начинаются именно по той причине, что состояние частицы теперь перестало быть просто числом.

Часть II: Квантовое состояние

Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности некоторого числа детекторов на отрезке . Что такое состояние частицы P?»
Ответ: .

Дан отрезок и два детектора, расположенные в точках A и B.

Каждый детектор показывает какое-то определенное число, согласно которому мы можем определить, как далеко находится частица от данного детектора.

A — первый детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в А)
B — второй детектор, — его показания ( = 1, если частица попала прямо в В)

Выдвинем предположение о частице, чтобы как-то ограничить круг наших исследований:

Предположение: Частица одна, она не может просто так взять и клонировать себя.

Из этого предположения следует, что если частица в А, то она не может быть в В, и наоборот.

Или, что то же самое, если = 1, то = 0 и наоборот.

Теперь рассмотрим «движение» частицы от детектора А к детектору В. Частица была в А ( = 1, = 0), затем она начала лететь к В. Показания детектора А начали уменьшаться ( 0). Затем частица достигла детектора В и его показания равны = 1, а детектор А оповещает нас, что частицы в нем нет = 0.

Таким образом, мы описываем состояние частицы с помощью самих детекторов и их показаний.

Это запись означает, что конфигурация X включает в себя детектор A, показывающий нам число c1, и детектор B, показывающий нам число c2.

Вопрос №2: «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности детекторов, расположенных в точках A и B, которые являются квантованием отрезка на один сегмент . Что такое состояние частицы P?»
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства с базисными векторами A = <1, 0>и B = <0, 1>. При этом этот вектор нормирован на единицу (), а базисные векторы A и B являются классическими состояниями из вопроса 1. Такие частицы также называют кубитами в силу двумерности базиса. Когда базис трехмерный, частицы называются кутритами и т. д.

Вопрос №2 (обобщенный): «Дана частица P, которую можно наблюдать только в окрестности конечного числа детекторов, расположенных в точках , которые являются квантованием отрезка на N — 1 сегмент . Что такое состояние частицы P?»
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Ответ: Квантовое состояние частицы P — вектор N-мерного гильбертова пространства с базисными векторами . При этом этот вектор нормирован на единицу , а базисные векторы являются классическими состояниями из вопроса 1.

Часть III: Кот

Мы вплотную подошли к самым интересным проявлениям квантовой механики. Без сомнения каждый из читателей хоть краем уха слышал о таких терминах, как «квантовая суперпозиция» или «квантовая запутанность» — эти эффекты и другая подобная магия начинаются именно в тот момент, когда вы не будете делать тех умозаключений, которые не требуются.

У нас есть два определения состояния.

Определение №1: Классическое состояние частицы P — число из отрезка …
Предположение: Частица одна, она не может взять и просто так клонировать себя.
Определение №2: Квантовое состояние частицы P — вектор двумерного гильбертова пространства …

Обычно из каких-то определений выводят следствия, здесь же нас будет интересовать то, что не следует из определения, но мы все равно назовем это следствиями для стройности.

Следствие №1: Из определения квантового состояния не следует, что частица находится в одной точке отрезка. Вообще ниоткуда никак не следует.

То есть частица может находится сразу в двух точках! Например для частицы, которая находится в квантовом состоянии не следует, что она находится в одной точке. Да, может быть она где-то посередине, в какой-то точке M между A и B, но утверждая подобное, мы проявим необоснованную вольность.

Следствие №2: Из определения квантового состояния не следует, что частица разделилась на маленькие кусочки, одни кусочку полетели туда, а другие сюда.

Как это вообще понимать? Как частица может находится сразу в двух точках и при этом оставаться неделимой? Мы же привыкли, что кот Шрёдингера и жив, и мертв одновременно, значит и частица тоже и здесь, и там одновременно. Но ведь она же неделима. Она что растянулась?

Введем понятие роя и экземпляра виртуальных частиц.

Часть IV: Рой

Определение №3: Экземпляр частицы — виртуальный объект, которому соответствует положение в пространстве в данный момент времени, траектория движения с течением времени, а также комплексное число (называемое амплитудой), обладающее модулем и аргументом, для которого справедливы все алгебраические правила:
Определение №4: Рой — совокупность экземпляров.
Определение №5: Частица — рой (при выполнении операции квантования пространства).

Представим экземпляр как шарик, внутри которого есть стрелка, соответствующая комплексному числу в комплексной плоскости. Важно понимать, что шарик может иметь одно направление движения, а стрелка внутри него — другое, то есть эти направления разные.

Но почему разные? Дело в том, что процессы внутри элементарной частицы настолько сложно описать, что влияние этих процессов на движение самой частицы невозможно предсказать на фундаментальном уровне, поэтому и связи между стрелкой внутри шарика и направлением движения самого шарика для нас не существует.

Словесные манипуляция, которые мы сейчас совершили, бесполезны, если не определить законы изменения величин r, φ и закон движения, ведь в них все и упирается.

Закон изменения аргумента: φ постоянно равномерно увеличивается на величину dφ по мере движения экземпляра.

Иными словами, наши комплексное стрелки постоянно крутятся в одном и том же направлении. Зачем это нужно? Чтобы система ни при каких обстоятельствах не перестала эволюционировать.

Закон сложения и умножения: По мере движения вдоль одной траектории амплитуды перемножаются. Амплитуды вдоль всевозможных траекторий складываются.

Данный закон также известен как «принцип суперпозиции в квантовой механике»

Мы не забываем, что внутри каждого шарика находится комплексная стрелка, которая имеет свое направление и длину. Как предсказать, какая результирующая стрелка окажется в произвольной клетке пространства в данный момент времени? Очевидно, для этого нужно знать, что было со всей системой в предыдущий момент времени. Мы получаем дифференциальное уравнение (его называют уравнением Шрёдингера в честь Шрёдингера, который его и открыл).

Закон движения экземпляров в пространстве: Пусть — квантовое состояние частицы, вектор-столбец, в котором одна за другой записаны амплитуды во всех клетках пространства. — оператор энергии, определяющий способ взаимодействия между экземплярами. Тогда рой движется согласно следующему закону: .

Формирование оператора энергии «по кусочкам ручками» будет рассмотрено в следующей статье.

Источник

Квантовая система

Вы будете перенаправлены на Автор24

Квантовая система

Для объяснения многих свойств микрочастиц (фотонов, электронов и др.) требуются специальные законы и подходы квантовой механики. Квантовые свойства микромира проявляются через свойства макросистем. Микрообъекты составляют определенную физическую систему, которая называется квантовой. Примерами квантовых систем могут служить: фотонный газ, электроны в металлах. Под терминами квантовая система, квантовая частица следует понимать материальный объект, который описывается с помощью специального аппарата квантовой механики.

Квантовая механика исследует свойства и явления мира микрочастиц, которые не может трактовать классическая механика. Такими особенностями, например, стали: корпускулярно-волновой дуализм, дискретность, существование спинов. Методы классической механики не могут описать поведение частиц микромира. Имеющиеся одновременно волновые и корпускулярные свойства у микрочастицы не дают возможности определить состояние частицы с классической точки зрения.

Данный факт отразился в соотношении неопределенности Гейзенберга ($1925г.$):

Имея корпускулярные и одновременно волновые свойства, микрочастица не обладает точной координатой, а является «размазанной» в некоторой области пространства. В случае присутствия в некоторой области пространства двух и более частиц не возможно их отличить друг от друга, так как нельзя отследить за движением каждой. Из вышесказанного следует тождественность частиц в квантовой механике.

Готовые работы на аналогичную тему

Некоторые параметры, относящиеся к микрочастицам, принимают дискретные значения, что классическая механика объяснить не может. В соответствии с положениями и законами квантовой механики, помимо энергии системы, дискретными могут быть момент количества движения системы:

спин может принимать значения:

Проекция магнитного момента на направление внешнего поля принимает значения:

С целью математического описания квантовых особенностей физических величин в соответствие каждой величине ставят оператор. Так, в квантовой механике физические величины отображаются операторами, при этом их значения определяются средними по собственным значениям операторов.

Состояние квантовой системы

Любое состояние в квантовой системе описывается при помощи волновой функции. Однако данная функция прогнозирует параметры будущего состояния системы с некоторой долей вероятности, а не достоверно, то является принципиальным отличием от классической механики. Таким образом, для параметров системы волновая функция определяет вероятностные значения. Такая неопределенность, неточность предсказаний более всего вызывала споры в среде ученых.

Измеряемые параметры квантовой системы

Самые глобальные различия между классической и квантовой механикой заключены в роли измерения параметров изучаемой квантовой системы. Проблема измерений в квантовой механике заключается в том, что при попытках провести измерения параметров микросистемы исследователь действует на систему макроприбором, чем изменяет состояние самой квантовой системы. Так, при попытке точно измерить параметр микрообъекта (координату, импульс, энергию), мы сталкиваемся с тем, что сам процесс измерения изменяет параметры, которые мы пытаемся измерить, причем существенно. Провести точные измерения в микромире невозможно. Всегда будет иметь место ошибки в соответствии с принципом неопределенности.

В квантовой механике динамические переменные представляют операторы, поэтому говорить о числовых значениях не имеет смысла, так как оператор определяет действие на вектор состояния. Результат представлен, так же вектором пространства Гильберта, а не числом.

В том случае, если вектор состояния не собственный вектор оператора динамической переменной, то результат измерения не становится однозначным и говорят только о вероятности того или иного значения получаемого в измерении.

Результатами теории, которые проверяемы эмпирически служат вероятности получения в измерении динамической переменной при большом количестве измерений для одного и того же вектора состояния.

Процессы, которые происходят в микромире лежат за пределами чувственного восприятия человека. Следовательно, понятия и явления, которые использует квантовая механика, лишены наглядности.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Подставим правую часть выражения (1.2) вместо неопределенности проекции импульса в выражении (1.1), имеем:

\[m\triangle v_x\triangle x\ge \hbar \left(1.3\right).\]

Из формулы (1.3) выразим искомую неопределенность скорости:

Из неравенства (1.4) следует, что минимальная погрешность при определении скорости частицы равна:

Задание: Какова минимальная погрешность в измерении кинетической энергии электрона, если он находится в области, размер которой l.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac<\hbar >\left(2.1\right).\]

Из неравенства (2.1) следует, что минимальная погрешность импульса равна:

Погрешность кинетической энергии можно выразить как:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 06 05 2021

Источник

Насколько запутанна квантовая система? Ответ может быть невычислим

Фраза «I shit bricks» в статье от Nature — бесценно. Да, это настолько неожиданный результат, что Nature позволяет себе вольности. (от переводчика)

Квантовая запутанность находится в сердце нового математического доказательства.Credit: Victor De Schwanberg/Science Photo Library

Альберт Эйнштейн однажды отметил, что квантовая механика должна позволять двум объектам оказывать влияние друг на друга мгновенно даже на огромных расстояниях, назвав это явление “мистическим дальнодействием” [1]. Спустя десятилетия после его смерти эксперименты подтвердили существование этого явления, но до сих пор остается неясным, насколько скоординированными могут быть объекты в природе. Пять исследователей говорят, что они нашли теоретическое обоснование тому, что ответ в принципе невозможно получить.

Статье на 165 страниц, которую команда выложила на репозиторий препринтов arXiv [2], еще предстоит пройти рецензирование. Если результат подтвердится, он разом решит целый набор связанных проблем в чистой математике, квантовой механике и в теории алгоритмической сложности. В особенности интересно, что он ответит на математический вопрос, остававшийся нерешенным больше 40 лет.

Если доказательство подтвердится, это будет “супер-красивый результат”, как говорит Стефани Вернер, физик-теоретик из Технологического Университета Делфта в Нидерландах.

В сердце статьи находится теорема из теории алгоритмической сложности об эффективности алгоритмов. Предыдущие работы показали, что эта задача математически эквивалентна вопросу о мистическом дальнодействии — которое также называется квантовой запутанностью.

Теорема описывает задачу из теории игр, где команда из двух игроков может координировать свои действия с помощью квантовой запутанности, но при этом не может разговаривать друг с другом. Квантовая запутанность позволяет игрокам выигрывать чаще, чем это было бы возможно в классическом случае. Авторы новой работы доказывают, что игроки принципиально не могут рассчитать оптимальную стратегию игры. Соответственно, невозможно рассчитать, какой степени координации они могут достичь в теории. “Не существует алгоритма, который скажет вам, каково максимальное нарушение классических пределов в квантовой механике” — говорит соавтор Томас Видик из Калтеха.

“Что самое потрясающее, что именно квантовая теория алгоритмической сложности оказалась ключом к доказательству” говорит Тоби Кубитт, специалист по теории квантовой информации из Университетского Колледжа в Лондоне.

Новости о статье быстро разошлись волной воодушевления по социальным сетям после публикации статьи 14 января. “Я думал этот вопрос окажется одним из тех, что требует сотни лет для решения” затвиттил Джозеф Фитцсимонс, исполнительный директор стартапа Horizon Quantum Computing из Сингапура.

“Я тут сру кирпичами” комментирует другой физик, Mateus Araújo из Австрийской Академии Наук в Вене. “Никогда бы не подумал, что в моей жизни увижу решение этой проблемы”.

Наблюдаемые свойства

С точки зрения чистой математики, проблема была известна как задача Конна о вложении, в честь французского математика и лауреата премии Филдса Алана Конна. Это вопрос в теории операторов, области математики, которая сама возникла в 1930х из попыток создать основание для квантовой механики. Операторы это матрицы чисел, которые могут иметь конечное или бесконечное число строк и столбцов. Они играют ключевую роль в квантовой теории, где операторы задают наблюдаемые свойства физических объектов.

В статье 1976 года [3] Конн, используя язык операторов, задавался вопросом: может ли квантовая система с бесконечным числом измеряемых величин быть приблизительно описана более простой системой с конечным числом величин.

Но статья Видика и соавторов доказывает, что ответ — нет: в принципе могут существовать квантовые системы, которые нельзя приблизительно описать конечными системами. Согласно работе физика Бориса Цирельсона [4], который переформировал задачу, это также значит, что невозможно посчитать количество корреляции, которые две такие системы проявят, будучи запутанными.

Несоизмеримые области

Доказательство оказалось сюрпризом для сообщества.”Я был уверен, что проблема Цирельсона должна иметь положительный ответ” написал Araújo в своем комментарии, добавляя, что результат пошатнул его убеждённость в том, что “Природа в некотором смысле фундаментально конечна”.
Но исследователи только начали осознавать все последствия результата. Квантовая запутанность находится в самом сердце зарождающейся области квантовых вычислений и квантовых коммуникаций и может быть использована для создания супер-защищенных сетей. В частности, измерение количества корреляции между запутанными объектами в системе сообщения может дать доказательство надежности сети от прослушивания. Но, как говорит Венер, новый результат вряд ли будет иметь последствия для технологии, так как все практические применения используют конечные квантовые системы. На самом деле, говорит она, даже сложно представить, как должен выглядеть эксперимент, проверяющий квантовую странность бесконечной системы.

Сочетание теории сложности, квантовой информации и математики значит, что лишь немногие ученые могут похвастаться тем, что они понимают все грани новой статьи. Сам Конн сказал Nature, что он не достаточно квалифицирован, чтобы давать комментарий. Но он также добавил, что он удивлен количеством последствий этого результата. “Потрясающе, что эта проблема оказалась столь глубока, я никогда не мог предположить этого!”

Литература

От переводчика

Очень советую почитать пост Скотта Ааронсона про этот результат, в нем много подробностей, особенно полезны комментарии.

А еще о проблеме Цирельсона есть очень интересная презентация, где сама задача рассматривается очень подробно.

И напоследок: если хотите понаблюдать за моими попытками разобраться в том, как вести научный твиттер, добро пожаловать: @hbar_universe.

Источник