Что такое момент сопротивления кручению

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Кручение

Внутренний крутящий момент в сечении вала М_к (может быть обозначен буквой Т, Мz) вычисляется с помощью метода сечений, при этом моменты учитываются по одну сторону от сечения.

где М_i – внешний активный или реактивный крутящий момент; правило знаков для внутренних крутящих моментов устанавливается произвольно.

Для вала с круглым (в т.ч. в виде кольца) поперечным сечением касательные напряжения определяются по формуле:

Максимальные касательные напряжения действуют в точках поверхностного слоя при ρ=ρ_max

Условие прочности по допускаемым напряжениям

где — это допускаемое касательное напряжение.

Угол закручивания (рад) на силовом участке вала при постоянных значениях крутящего момента и поперечного момента инерции для данного участка вычисляется следующим образом

где G – модуль сдвига

Относительный угол закручивания (рад/м) для силового участка

Условие жесткости при кручении вала с круглым поперечным сечением записывается в виде

Для вала с прямоугольным поперечным сечением эпюры касательных напряжений имеют вид.

В характерных точках сечения

угол закручивания на силовом участке вала

Если вал с эллиптической формой поперечного сечения и полуосями a и b, то его характерные эпюры касательных напряжений будут выглядеть следующим образом.

Касательные напряжения в характерных точках сечения

Угол закручивания на силовом участке вала

Кручение бруса тонкостенного замкнутого круглого сечения

Тонкостенное круглое сечение характеризуется средним радиусом Rср и толщиной стенки трубы δ:

Считается, что касательные напряжения по толщине стенки распределяются равномерно и равны:

Угол закручивания

Кручение пустотелых валов круглого сечения

Трубчатое сечение бруса в условиях кручения оказывается наиболее рациональным, так как материал из центральной зоны сечения, слабо напряженной, удален в область наибольших касательных напряжений. Вследствие этого прочностные свойства материала используются значительно полнее, чем в брусьях сплошного круглого сечения, и при всех прочих равных условиях применение трубчатого сечения вместо сплошного позволяет экономить материал.

Теория расчета бруса сплошного круглого сечения полностью применима и к пустотелым валам. Изменяются лишь геометрические характеристики сечения:

Кручение бруса прямоугольного сечения

Опыт показывает, что при кручении брусьев некруглого поперечного сечения сами сечения не остаются плоскими, то есть происходит депланация поперечных сечений. Исследовать напряженное и деформированное состояние таких брусьев при кручении методами сопротивления материалов не представляется возможным, так как в основе их лежит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).

Задача о кручении бруса некруглого, в частности, прямоугольного сечения решена с помощью метода теории упругости, и на основе этого решения предложены простые расчетные формулы, имеющие ту же структуру, что и формулы для бруса круглого сечения, а именно:

Здесь: Wк=α∙h∙b2– момент сопротивления при кручении,

Iк=β∙h∙b3 – момент инерции при кручении.

В этих формулах: b – меньшая из сторон прямоугольника,

h – большая сторона,

α, β – коэффициенты, значения которых приводятся в таблице в зависимости от отношения сторон h/b (эта таблица содержится в рубрике «Кручение» или в любом учебнике сопротивления материалов).

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению тоже отличается от распределения в круглом сечении:

Значения коэффициента γ Запись опубликована 04.09.2014 автором admin в рубрике Кручение, Сопромат.

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Деформация кручения

Напряжения и деформации при кручении

Исследование отдельных участков и слоев цилиндрического бруса, нагруженного скручивающим (вращающим) моментом, дает основание полагать, что в поперечных сечениях этого бруса нормальные напряжения (направленные вдоль оси) отсутствуют, а возникают только касательные напряжения, модули которых расположены в плоскости исследуемого сечения.
Этот вывод опирается и на гипотезу о не надавливании волокон, предполагающую, что если брус представить в виде многочисленных цилиндрических продольных волокон, то при деформациях разного рода эти волокна не оказывают друг на друга силового воздействия (не давят друг на друга).
Как показали многочисленные опыты и исследования, эта гипотеза справедлива в определенном интервале деформаций, и погрешностями в расчетах, связанными с ее применением, можно пренебречь.

Так как радиусы сечений при кручении бруса остаются прямыми (принятое предположение), то величина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения, т. е. чем дальше от оси расположено продольное волокно, тем сильнее сдвинется его сечение относительно центральной оси.

Поскольку мы пришли к выводу, что при кручении в поперечных сечениях бруса возникает только деформация сдвига, то можно применить формулу, описывающую закон Гука при сдвиге:

Если брус имеет по всей длине одинаковый диаметр (все сечения одинаковы по размерам и форме), и к каждому сечению приложен одинаковый крутящий момент, то касательные напряжения в каждом продольном волокне этого бруса будут одинаковы по величине.

Определение угла закручивания и напряжений

Чтобы вывести формулы, определяющие угол закручивания и напряжения в поперечных сечениях бруса, рассечем его на расстоянии l₁ от заделки ( рис. 1 ), и рассмотрим полученное сечение ( рис. 4 ).

Интегрированием определим крутящий момент (момент внутренних сил), возникающих в этой площадке, относительно оси кручения бруса:

Итак, можно сделать вывод, что полный угол закручивания круглого цилиндра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении. Следует оговориться, что эта зависимость справедлива лишь до определенного предела, когда нагрузка и деформация пропорциональны.

Если цилиндрический брус (вал) состоит из нескольких участков, имеющих разный диаметр сечений (ступенчатый вал) или изготовленных из разного материала (составной вал), то полный угол закручивания такого бруса может быть определен, как сумма углов закручивания каждого отдельного участка.

Выведем теперь формулу для определения напряжений, возникающих в сечениях цилиндрического бруса при кручении.

Как мы уже определили ранее, при r = R касательные напряжения достигают максимального значения:

Моменты сопротивления кручению круглых валов

В технических расчетах наиболее часто приходится иметь дело с круглыми или трубчатыми брусьями (валами), поэтому определим величину момента сопротивления кручению для круглого вала и для вала, имеющего кольцевое сечение (труба).

Для круга диаметром D :

Для кольца имеющего наружный диаметр D и внутренний диаметр d :

Из последней формулы видно, что если полярный момент инерции кольцевого сечения можно определить, как разность между осевыми моментами инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручения кольцевого сечения подобным образом рассчитать нельзя.

Итак, для определения напряжений в сечениях круглого бруса следует использовать формулы:

Эти формулы применяют при решении задач и выполнении расчетов на прочность для скручиваемых валов.

Материалы раздела «Деформация кручения»:

Источник

Таблица. Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса. Момент инерции и момент сопротивления при кручении. Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение.

Круглое

Полярный момент инерции J_p=2J

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Кольцо

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Тонкостенное кольцо

Все точки находятся в одинаковых условиях (приближенно)Незамкнутое тонкостенное кольцо Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение τ=0

Круглое сечение с лыской

Наибольшее напряжение возникает в середине плоского среза (точка А). В углах τ=0

Круглое с круговым вырезом

Наибольшее напряжение возникает по дну канавки (точка А)

Значение коэффициентов K₁ и K₂ в зависимости от r/R

r/R	0	0,05	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,5
K1	1,57	1,56	1,56	1,46	1,22	0,92	0,63	0,38	0,07
K2	0,64	1,22	1,22	1,23	1,31	1,52	1,91	2,63	7,14

Сплошное эллиптическое

Наибольшее напряжение в точках А.

Напряжение в точках В

Прямоугольное

Наибольшее напряжение возникает в серединах длинных сторон сечения (в точках А), в точках В напряжение

Значение коэффициентов α, β и γ в зависимости от h/b

h/b	1,00	1,20	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00	5,00	6,00	8,00	1,00	Св. 10
α	0,208	0,219	0,221	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,291	0,299	0,307	0,312	0,333
β	0,141	0,166	0,172	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,291	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,00	0,93	0,91	0,86	0,82	0,79	0,77	0,75	0,74	0,74	0,74	0,74	0,74	—

Правильный шести- или восьмиугольник

K’=0,133.

K’=0,130.

К=0,217

К=0,233

Равносторонний треугольник

Источник

Тема 2.4. Кручение

Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент M_k, (другое обозначение T, M_z), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.

Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).

Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.

Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси

В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).

Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.

Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.

Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.

При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от M_k), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.

При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

§2. Построение эпюр крутящих моментов

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M_k (M_z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.

В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣM_z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент M_z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M₁|=|M₂|.

Источник

Таблица. Кручение. Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса. Осевые моменты инерции сечений (статические моменты сечений), осевые моменты сопротивления при кручении. Точка наибольшего напряжения.

Кручение. Геометрические характеристики жесткости и прочности для ходовых сечений при кручении прямого бруса. Осевые моменты инерции сечений (статические моменты сечений), осевые моменты сопротивления при кручении. Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение. Вариант для печати.

Круглое

Полярный момент инерции J_p=2J

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Кольцо

Наибольшее напряжение возникает во всех точках у наружного контура поперечного сечения

Тонкостенное кольцо

Все точки находятся в одинаковых условиях (приближенно)Незамкнутое тонкостенное кольцо Наибольшее напряжение возникает в точках А. В точках В напряжение τ=0

Круглое сечение с лыской

Наибольшее напряжение возникает в середине плоского среза (точка А). В углах τ=0

Круглое с круговым вырезом

Наибольшее напряжение возникает по дну канавки (точка А)

Значение коэффициентов K₁ и K₂ в зависимости от r/R

r/R	0	0,05	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	1,5
K1	1,57	1,56	1,56	1,46	1,22	0,92	0,63	0,38	0,07
K2	0,64	1,22	1,22	1,23	1,31	1,52	1,91	2,63	7,14

Сплошное эллиптическое

Наибольшее напряжение в точках А.

Напряжение в точках В

Прямоугольное

Наибольшее напряжение возникает в серединах длинных сторон сечения (в точках А), в точках В напряжение

Значение коэффициентов α, β и γ в зависимости от h/b

h/b	1,00	1,20	1,25	1,50	1,75	2,00	2,50	3,00	4,00	5,00	6,00	8,00	1,00	Св. 10
α	0,208	0,219	0,221	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,291	0,299	0,307	0,312	0,333
β	0,141	0,166	0,172	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,291	0,299	0,307	0,312	0,333
γ	1,00	0,93	0,91	0,86	0,82	0,79	0,77	0,75	0,74	0,74	0,74	0,74	0,74	—

Правильный шести- или восьмиугольник

K’=0,133.

K’=0,130.

К=0,217

К=0,233

Равносторонний треугольник

Наибольшие напряжения возникают в середине сторон. В углах τ=0

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Источник