Что такое напряжение в сопромате

Напряжение в точке тела

Напряженное состояние в точке тела является ключевым понятием в сопромате. Необходимость введения понятия напряжения в точке для суждения об интенсивности внутренних сил в некоторой точке сечения стержня вызвана неравномерным распределением внутренних сил по длине и поперечному сечению в общем случае нагружения.

Напряжение в точке тела K (обозначено буквой p) – это интенсивность внутренней силы , возникающей на бесконечно малой площадке в окрестности данной точки (рис. 1.4, а).

В количественном выражении .

Понятие о напряжении в точке твердого тела в некотором смысле напоминает понятие о давлении, действующем, например, внутри жидкости. Однако давление в точке жидкости одинаково во всех направлениях. Если проведем через точку K тела другое сечение, иной будет внутренняя сила. Следовательно, иным будет и напряжение, хотя оно возникает в той же самой точке K.

Напряжение в точке тела в разных направлениях (на разных площадках, проходящих через данную точку тела) может быть различным (в частности, оно может возникать только в одном направлении).

Понятие о напряжении в точке деформируемого твердого тела ввел в 1822 г. французский ученый Огюстен Луи Коши.

Основную роль в расчетах прочности играет не полное напряжение p, а его проекции на оси координат x, y и z: нормальное напряжение ( – сигма), направленное по перпендикуляру к площадке (параллельно оси z), и касательные напряжения ( – тау), лежащие в плоскости сечения и направленные, соответственно, вдоль осей x и y (рис. 1.4, б). Первый индекс у касательных напряжений характеризует нормаль к площадке z, на которой они возникают.

Между полным (), нормальным () и касательными напряжениями ( и ) существует зависимость:

.

Касательные напряжения служат мерой тенденции одной части сечения смещаться (или скользить) относительно другой его части.

Единицы нормальных и касательных напряжений в СИ – паскаль (Па). Один паскаль – это напряжение, при котором на площадке в один квадратный метр возникает внутренняя сила, равная одному ньютону (то есть равная, приблизительно, весу одного яблока). Как мы увидим в дальнейшем, эта единица напряжения мизерно мала. В сопромате чаще используются другие единицы:

1 МПа = 106 Па; 1 кН/см2 = 107 Па.

Источник

изучаем сопротивление материалов

Напряжения

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие, параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением – [math]\tau_, \tau_[/math]. В названии касательного напряжения первый индекс указывает нормаль к площадке,второй индекс — направление касательного напряжения.

Тензор напряжений

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей – тензором напряжений

$$ T _\sigma = \left[\matrix <
\sigma _x & \tau _ & \tau _ \\
\tau _ & \sigma _y & \tau _ \\ \tau _ & \tau _ & \sigma _z
>\right]$$

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.

При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного
элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).

Связь внутренних усилий и напряжений

Внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам. Напряжения – мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению.

Предположим, что нам известно напряжение в каждой элементарной площадке. Тогда можно записать:

Выполнив интегрирование по площади поперечного сечения получим:

То есть, каждое внутренне усилие есть суммарный результат действия напряжений по всему поперечному сечению тела.

1 Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке называется нормальным напряжением и обознача­ется через σ_n.

Источник

iSopromat.ru

Напряжение в механике — это мера интенсивности распределения внутренних сил R в окрестности точки в пределах данного сечения площадью A.

Таким образом, напряжения p измеряются в единицах силы, отнесенной к единице площади dA
Полные напряжения в точке
Единица измерения напряжений — Паскаль (Н/м 2 =Па).
Рассмотрим подробнее:

Система приложенных к телу внешних нагрузок, приводит к возникновению в его сечениях внутренней силы R и момента M

Внутренние сила и момент в сечении бруса

При этом надо понимать что внутренняя сила и внутренний момент воздействуют на всё сечение бруса в целом.

Выделим в рассматриваемом сечении элементарную площадку dA бесконечно малой площади.

Элементарная площадка в сечении бруса

Полное напряжение – часть внутренних усилий, приходящаяся на конкретную точку сечения.

Вектор полного напряжения в точке

Обозначение полного напряжения в точке – p.
Единица измерения – Паскаль [Па] (Н/м 2 ).

Ввиду того, что большинство конструкционных материалов обладает высокой прочностью часто напряжения, возникающие в них, измеряются в кратных величинах, например мегапаскаль [МПа].

В общем случае вектор полного напряжения в точке может располагаться под любым углом к сечению. В таких случаях для существенного упрощения расчетов его удобно раскладывать на составляющие (проекции):

Нормальное и касательное напряжения

Проекция вектора полного напряжения p на нормаль к сечению называется нормальным напряжением и обозначается через σ, а проекция вектора полного напряжения на плоскость сечения называется касательным напряжением и обозначается через τ.

Разложение вектора полного напряжения на две указанные составляющие имеет конкретный физический смысл – с нормальным напряжением связано разрушение путем отрыва, а с касательным – разрушение путем сдвига или среза.

В частных случаях (например при растяжении-сжатии и кручении) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные и только касательные напряжения соответственно.

При решении таких задач, величина нормальных и касательных напряжений сравнивается с соответствующими допустимыми значениями напряжений.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ, раздел механики твердого тела, изучающий напряжения и деформации, которые обусловлены силами, действующими на твердые тела – элементы конструкции. Эту дисциплину можно характеризовать и как науку о методах расчета элементов конструкции на прочность, жесткость и устойчивость.

Напряжение, создаваемое в твердом теле внешними нагрузками, есть мера (с размерностью силы на единицу площади) интенсивности внутренних сил, действующих со стороны одной, мысленно отсекаемой, части тела на другую, оставшуюся (метод сечений). Внешние нагрузки вызывают деформацию тела, т.е. изменение его размеров и формы. В сопротивлении материалов исследуются соотношения между нагрузками, напряжениями и деформациями, причем исследования ведутся, с одной стороны, путем математического вывода формул, связывающих нагрузки с вызываемыми ими напряжениями и деформациями, а с другой – путем экспериментального определения характеристик материалов, применяемых в строениях и машинах. См. также МЕТАЛЛОВ МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА; МЕТАЛЛОВ ИСПЫТАНИЯ. По найденным формулам с учетом результатов испытания материалов рассчитываются размеры элементов строений и машин, обеспечивающие сопротивление заданным нагрузкам. Сопротивление материалов не относится к точным наукам, так как многие его формулы выводятся на основе предположений о поведении материалов, которые не всегда точно выполняются. Тем не менее, пользуясь ими, грамотный инженер может создавать надежные и экономичные конструкции.

С сопротивлением материалов тесно связана математическая теория упругости, в которой тоже рассматриваются напряжения и деформации. Она позволяет решать те задачи, которые с трудом поддаются решению обычными методами сопротивления материалов. Однако между сопротивлением материалов и теорией упругости нет четкой границы. Хотя почти все задачи о распределении напряжений решены методами математического анализа, при сложных условиях эти решения требуют трудоемких выкладок. И тогда на помощь приходят экспериментальные методы анализа напряжений.

НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ

Виды напряжений.

Самое важное понятие в сопротивлении материалов – это понятие напряжения как силы, действующей на малую площадку и отнесенной к площади этой площадки. Напряжения бывают трех видов: растяжения, сжатия и сдвига.

Рассмотрим короткий цилиндр (рис. 1,б), на верхний торец которого положен груз. При этом во всех поперечных сечениях цилиндра действуют напряжения сжатия. Если напряжение равномерно распределено по всему сечению, то справедлива формула S = P/A. Сжатый цилиндр короче, чем в отсутствие деформаций.

Напряжения растяжения и сжатия направлены по нормали (т.е. вдоль перпендикуляра) к площадке, в которой они действуют, а напряжение сдвига – параллельно площадке. Поэтому напряжения растяжения и сжатия называются нормальными, а напряжения сдвига – касательными.

Деформация.

Деформацией называется изменение размера тела под действием приложенных к нему нагрузок. Деформация, отнесенная к полному размеру, называется относительной. Если изменение каждого малого элемента длины тела одинаково, то относительная деформация называется равномерной. Относительную деформацию часто обозначают символом d, а полную – символом D. Если относительная деформация постоянна по всей длине L, то d = D/L. Например, если длина стального стержня до приложения растягивающей нагрузки равна 2,00 м, а после нагружения – 2,0015 м, то полная деформация D равна 0,0015 м, а относительная – d = 0,0015/2,00 = 0,00075 (м/м).

Почти для всех материалов, применяемых в строениях и машинах, относительная деформация пропорциональна напряжению, пока оно не превысит т.н. предела пропорциональности. Это очень важное соотношение называется законом Гука. Оно было экспериментально установлено и сформулировано в 1678 английским изобретателем и часовых дел мастером Р.Гуком. Данное соотношение между напряжением и деформацией для любого материала выражается формулой S = Ed, где E – постоянный множитель, характеризующий материал. Этот множитель называют модулем Юнга по имени Т.Юнга, который ввел его в 1802, или же модулем упругости. Из обычных конструкционных материалов наибольший модуль упругости у стали; он равен примерно 200 000 МПа. В стальном стержне относительная деформация, равная 0,00075, из приводившегося ранее примера вызывается напряжением S = Ed = 200 000 ґ 0,00075 = 150 МПа, что меньше предела пропорциональности конструкционной стали. Если бы стержень был из алюминия с модулем упругости около 70 000 МПа, то, чтобы вызвать ту же самую деформацию 0,00075, достаточно было бы напряжения немногим более 50 МПа. Из сказанного ясно, что упругие деформации в строениях и машинах очень малы. Даже при сравнительно большом напряжении 150 МПа из приведенного выше примера относительная деформация стального стержня не превышает одной тысячной. Столь большая жесткость стали – ее ценное качество.

Чтобы наглядно представить деформацию сдвига, рассмотрим, например, прямоугольную призму ABCD (рис. 3). Ее нижний конец жестко заделан в твердое основание. Если на верхнюю часть призмы действует горизонтальная внешняя сила F, она вызывает деформацию сдвига, показанную штриховыми линиями. Смещение D есть полная деформация на длине (высоте) L. Относительная деформация сдвига d равна D/L. Для деформации сдвига тоже выполняется закон Гука при условии, что напряжение не превышает предела пропорциональности для сдвига. Следовательно, S_s = E_sd, где E_s – модуль сдвига. Для любого материала величина E_s меньше E. Для стали она составляет около 2/5 E, т.е. приблизительно 80 000 МПа. Важный случай деформации сдвига – деформация в валах, на которые действуют внешние скручивающие моменты.

Выше речь шла об упругих деформациях, которые вызываются напряжениями, не превышающими предела пропорциональности. Если же напряжение выходит за предел пропорциональности, то деформация начинает расти быстрее, чем напряжение. Закон Гука перестает быть справедливым. В случае конструкционной стали в области, лежащей чуть выше предела пропорциональности, небольшое увеличение напряжения приводит к увеличению деформации во много раз по сравнению с деформацией, соответствующей пределу пропорциональности. Напряжение, при котором начинается столь быстрый рост деформации, называется пределом текучести. Материал, в котором разрушению предшествует большая неупругая деформация, называется пластичным.

ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Допускаемое (допустимое) напряжение – это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку. Можно говорить о допускаемых напряжениях растяжения, сжатия и сдвига. Допускаемые напряжения либо предписываются компетентной инстанцией (скажем, отделом мостов управления железной дороги), либо выбираются конструктором, хорошо знающим свойства материала и условия его применения. Допускаемым напряжением ограничивается максимальное рабочее напряжение конструкции.

При проектировании конструкций ставится цель создать конструкцию, которая, будучи надежной, в то же время была бы предельно легкой и экономной. Надежность обеспечивается тем, что каждому элементу придают такие размеры, при которых максимальное рабочее напряжение в нем будет в определенной степени меньше напряжения, вызывающего потерю прочности этим элементом. Потеря прочности не обязательно означает разрушение. Машина или строительная конструкция считается отказавшей, когда она не может удовлетворительно выполнять свою функцию. Деталь из пластичного материала, как правило, теряет прочность, когда напряжение в ней достигает предела текучести, так как при этом из-за слишком большой деформации детали машина или конструкция перестает соответствовать своему назначению. Если же деталь выполнена из хрупкого материала, то она почти не деформируется, и потеря ею прочности совпадает с ее разрушением.

Запас прочности.

Разность напряжения, при котором материал теряет прочность, и допускаемого напряжения есть тот «запас прочности», который необходимо предусматривать, учитывая возможность случайной перегрузки, неточностей расчета, связанных с упрощающими предположениями и неопределенными условиями, наличия не обнаруженных (или не обнаружимых) дефектов материала и последующего снижения прочности из-за коррозии металла, гниения дерева и пр.

Коэффициент запаса.

Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности). Так, если предел прочности конструкционной стали равен 540 МПа, а допускаемое напряжение – 180 МПа, то коэффициент запаса равен 3.

РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

В сопротивлении материалов большое внимание уделяется выводу соотношений между заданными нагрузками, размерами и формой элемента конструкции, несущего эти нагрузки или сопротивляющегося им, и напряжениями, возникающими в определенных сечениях элемента конструкции. Как правило, цель расчетов состоит в том, чтобы найти необходимые размеры элемента, при которых максимальное рабочее напряжение в нем не будет превышать допускаемого.

В элементарном курсе сопротивления материалов рассматривается ряд типичных случаев равномерного распределения напряжений: растянутые стержни, короткие сжатые стержни, тонкостенные цилиндры, работающие под давлением внутренней среды (котлы и резервуары), заклепочные и сварные соединения, температурные напряжения и такие статически неопределимые системы, как растянутые стержни из нескольких разных материалов.

Если напряжение одинаково во всех точках поперечного сечения, то S = P/A. Конструктор находит необходимую площадь поперечного сечения, поделив заданную нагрузку на допускаемое напряжение. Но нужно уметь отличать случаи, в которых напряжение действительно распределено равномерно, от других, сходных случаев, в которых этого нет. Необходимо также (как в задаче о заклепочных соединениях, в которых существуют напряжения и растяжения, и сжатия, и сдвига) находить плоскости, в которых действуют напряжения разного вида, и определять максимальные местные напряжения.

Тонкостенный цилиндр.

Такой резервуар выходит из строя (разрывается), когда напряжение растяжения в его оболочке становится равным пределу прочности материала. Формулу, связывающую толщину стенки t, внутренний диаметр резервуара D, напряжение S и внутреннее давление R, можно вывести, рассмотрев условия равновесия кольца, вырезанного из его оболочки двумя поперечными плоскостями, разделенными расстоянием L (рис. 4,а). Внутреннее давление действует на внутреннюю поверхность полукольца с направленной вверх силой, равной произведению RDL, а напряжения в двух горизонтальных концевых сечениях полукольца создают две направленные вниз силы, каждая из которых равна tLS. Приравнивая, получаем

Заклепочное соединение.

На рис. 4,б представлено двухзаклепочное соединение двух полос внахлестку. Такое соединение может выйти из строя из-за перерезывания обеих заклепок, разрыва одной из полос в том месте, где она ослаблена отверстием под заклепку, или из-за слишком больших напряжений смятия по площади соприкосновения заклепки с полосой. Напряжение смятия в заклепочном соединении вычисляется как нагрузка на одну заклепку, деленная на диаметр заклепки и на толщину полосы. Допускаемой для такого соединения принимается наименьшая из нагрузок, соответствующих допускаемым напряжениям трех указанных видов.

Вообще говоря, напряжение, действующее в поперечном сечении растянутого или короткого сжатого стержня, можно с полным основанием считать равномерно распределенным, если равные и противоположно направленные нагрузки приложены так, что равнодействующая каждой из них проходит через центр тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Но нужно иметь в виду, что ряд задач (и к ним относится задача о напряжениях смятия в заклепочном соединении) решается в предположении о равномерном распределении напряжения, хотя это заведомо не соответствует действительности. Допустимость такого подхода проверяется опытным путем.

НЕРАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ

Многие элементы строений и детали машин нагружаются так, что напряжения во всех их поперечных сечениях распределены неравномерно. Чтобы вывести формулы для расчета напряжений в таких условиях, мысленно разрезают элемент плоскостью, которая дает нужное поперечное сечение, на две части и рассматривают условия равновесия одной из них. На эту часть действуют одна или несколько заданных внешних сил, а также силы, эквивалентные напряжениям в данном поперечном сечении. Действующие напряжения должны удовлетворять условиям равновесия и соответствовать деформациям. Эти два требования составляют основу для решения задачи. Второе из них подразумевает справедливость закона Гука. Типичными элементами с неравномерным распределением напряжений являются нагруженные балки, валы под действием скручивающих сил, растянутые или сжатые стержни с дополнительным изгибом и колонны.

БАЛКИ.

Балка – это длинный стержень с опорами и нагрузками, работающий в основном на изгиб. Поперечное сечение балки обычно одинаково по всей ее длине. Силы, с которыми опоры действуют на балку, называются реакциями опор. Наиболее распространены два вида балок: консольная (рис. 5,а) и балка с двумя опорами, называемая простой (рис. 5,б). Под действием нагрузок балка прогибается. При этом «волокна» на ее верхней стороне сокращаются, а на нижней – удлиняются. Очевидно, что где-то между верхней и нижней сторонами балки имеется тонкий слой, длина которого не изменяется. Он называется нейтральным слоем. Изменение длины волокна, расположенного между верхней (или нижней) стороной балки и ее нейтральным слоем, пропорционально расстоянию до нейтрального слоя. Если справедлив закон Гука, то напряжения тоже пропорциональны этому расстоянию.

Формула изгиба.

На основе указанного распределения напряжений, дополненного условиями статики, выведена т.н. формула изгиба, в которой напряжение выражается через нагрузки и размеры балки. Она обычно представляется в виде S = Mc/I, где S – максимальное напряжение в рассматриваемом поперечном сечении, c – расстояние от нейтрального слоя до наиболее напряженного волокна, M – изгибающий момент, равный сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения, а I – момент инерции поперечного сечения (определенная функция формы и размеров последнего). Характер изменения нормальных напряжений в поперечном сечении балки показан на рис. 6.

В поперечных сечениях балок действуют также касательные напряжения. Их вызывает равнодействующая всех вертикальных сил, приложенных по одну сторону поперечного сечения горизонтальной балки. Сумма всех внешних сил и реакций, действующих на одну из двух частей балки, называется сдвигом в сечении балки и обычно обозначается через V. Касательные напряжения неравномерно распределены по сечению: они равны нулю на верхнем и нижнем краях сечения и почти всегда максимальны в нейтральном слое.

Прогиб балки.

Часто требуется рассчитать прогиб балки, вызванный действием нагрузки, т.е. вертикальное смещение точки, лежащей в нейтральном слое. Это очень важная задача, поскольку прогиб и кривизну балки нужно знать при решении задач, относящихся к широкому кругу т.н. статически неопределимых систем.

Еще в 1757 Л.Эйлер вывел формулу для кривизны изогнутой балки. В этой формуле кривизна балки выражается через переменный изгибающий момент. Чтобы найти ординату упругой кривой (прогиб), необходимо брать двойной интеграл. В 1868 О.Мор (Германия) предложил метод, основанный на эпюрах изгибающих моментов. Этот графоаналитический метод имеет огромное преимущество перед прежними методами, так как позволяет свести все математические вычисления к сравнительно простым арифметическим выкладкам. Он дает возможность вычислять прогиб и наклон в любой точке балки при любой нагрузке.

Статически неопределимые балки.

Многие балки, используемые в строениях и машинах, имеют более двух опор или только две опоры, но с заделкой одного из концов, исключающей возможность поворота. Такие балки называются статически неопределимыми, поскольку уравнений статики недостаточно для определения реакций в опорах и моментов в заделке. Чаще всего рассматриваются подобные балки трех типов: с одним заделанным (защемленным) концом и одной опорой, с заделанными обоими концами и неразрезные балки, имеющие более двух опор (рис. 7).

Первое решение задачи о неразрезных балках было опубликовано французским инженером Б.Клапейроном в 1857. Он доказал т.н. теорему о трех моментах. Уравнение трех моментов представляет собой соотношение между изгибающими моментами в трех последовательных опорах одной неразрезной балки. Например, в случае неразрезной балки с равномерной нагрузкой на каждом пролете это уравнение имеет вид

Здесь M_A, M_B и M_C – изгибающие моменты в трех опорах, L₁ и L₂ – длины левого и правого пролетов, W₁ – нагрузка на левый пролет, а W₂ – нагрузка на правый пролет. Нужно написать такое уравнение для каждой пары смежных пролетов, а затем решить полученную систему уравнений. Если число пролетов равно n, то число уравнений будет равно n – 1.

В 1930 Х.Кросс опубликовал свой метод расчета широкого круга статически неопределимых рам и неразрезных балок. Его «метод распределения моментов» позволяет обходиться без решения систем уравнений, сводя все вычисления к сложению и вычитанию чисел.

НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ КРУЧЕНИИ.

Если к концам вала приложены равные, но противоположно направленные внешние скручивающие моменты, то во всех его поперечных сечениях существуют только касательные напряжения, т.е. напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. В круговом поперечном сечении вала деформации сдвига и касательные напряжения равны нулю в центре и максимальны на краю; в промежуточных точках они пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения. Обычная формула для максимального касательного напряжения при кручении такова: S = Tc/J, где T – скручивающий момент на одном конце, c – радиус вала и J – полярный момент сечения. Для круга J = pr 4 /2. Эта формула применима только в случае кругового поперечного сечения. Формулы для валов с поперечным сечением другой формы выводятся путем решения соответствующих задач методами математической теории упругости с привлечением в некоторых случаях методов экспериментального анализа.

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ.

Нередко приходится рассчитывать балки, на которые в дополнение к поперечным нагрузкам действуют продольные силы растяжения или сжатия, приложенные к концам. В таких случаях напряжение в любой точке поперечного сечения равно алгебраической сумме нормального напряжения, создаваемого продольной нагрузкой, и изгибного напряжения, создаваемого поперечными нагрузками. Общая формула для напряжения в случае совместного действия изгиба и растяжения-сжатия такова: S = ± (P/A) ± (Mc/I), где знак «плюс» относится к растягивающему напряжению.

КОЛОННЫ.

Каркасы зданий и фермы мостов состоят в основном из растянутых стержней, балок и колонн. Колонны – это длинные сжатые стержни, примером которых в каркасах зданий могут служить вертикальные стержни, несущие межэтажные перекрытия.

Если длина сжатого стержня более чем в 10–15 раз превышает его толщину, то под действием критических нагрузок, приложенных к его концам, он, потеряв устойчивость, изогнется, даже если нагрузки номинально приложены по его оси (продольный изгиб). Вследствие такого изгиба нагрузка оказывается внецентренной. Если эксцентриситет в среднем поперечном сечении колонны равен D, то максимальное сжимающее напряжение в колонне будет равно (P/A) + (PDc/I). Отсюда видно, что допускаемая нагрузка для колонны должна быть меньше, чем для короткого сжатого стержня.

В строениях часто встречаются внецентренно нагруженные колонны. В результате точного теоретического анализа таких колонн были получены «формулы секанса». Но расчеты по этим формулам весьма трудоемки, а потому часто приходится прибегать к эмпирическим методам, дающим хорошие результаты.

СЛОЖНЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Напряжение в какой-либо точке той или иной плоскости нагруженного тела, вычисленное по обычным формулам, не обязательно будет наибольшим в этой точке. Поэтому важное значение имеет вопрос о соотношениях между напряжениями в разных плоскостях, проходящих через одну точку. Такие соотношения являются предметом раздела механики, посвященного сложным напряженным состояниям.

Соотношения между напряжениями.

Напряженное состояние в некоторой точке любого нагруженного тела можно полностью охарактеризовать, представив напряжения, действующие на грани элементарного куба в этой точке. Часто встречаются случаи, к которым относятся и рассмотренные выше, двухосного (плоского) напряженного состояния с напряжениями, равными нулю, на двух противоположных гранях куба. Напряжения, существующие в точке тела, неодинаковы в плоскостях с разным наклоном. Исходя из основных положений статики, можно сделать ряд важных выводов о соотношении между напряжениями в разных плоскостях. Приведем три из них:

1. Если в некоторой точке заданной плоскости имеется касательное напряжение, то точно такое же напряжение имеется в проходящей через эту точку плоскости, перпендикулярной заданной.

2. Существует плоскость, в которой нормальное напряжение больше, чем в любой другой.

3. В плоскости, перпендикулярной этой плоскости, нормальное напряжение меньше, чем в какой-либо другой.

Максимальное и минимальное нормальные напряжения, о которых говорится в п. 2 и 3, называются главными напряжениями, а соответствующие плоскости – главными плоскостями.

Необходимость в анализе главных напряжений на основе указанных соотношений не всегда возникает, так как простые формулы, которыми обычно пользуются инженеры, в большинстве случаев дают именно максимальные напряжения. Но в некоторых случаях, например при расчете вала, сопротивляющегося одновременно скручивающему и изгибающему моментам, нельзя обойтись без соотношений для сложного напряженного состояния.

БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ

В задачах, о которых говорилось выше, рассматривались напряжения либо равномерно распределенные, либо линейно меняющиеся с удалением от нейтральной оси, где напряжение равно нулю. Однако во многих случаях закон изменения напряжения более сложен.

В качестве примера задач с нелинейным распределением напряжений можно привести искривленные балки, толстостенные сосуды, работающие под высоким внутренним или наружным давлением, валы некругового поперечного сечения и нагруженные тела с резкими изменениями поперечного сечения (канавками, буртиками и т.д.). Для таких задач рассчитываются коэффициенты концентрации напряжений.

Кроме того, выше речь шла только о статических нагрузках, постепенно прилагаемых и снимаемых. Переменные же и периодически меняющиеся нагрузки, многократно повторенные, могут приводить к потере прочности, даже если они не превышают статического предела прочности рассматриваемого материала. Такие отказы называются усталостными, а проблема их предотвращения приобрела важное значение в наш век машин и механизмов, работающих на необычайно высоких скоростях. См. также СТАТИКА; ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ; КОНСТРУКЦИОННЫЕ И СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.

Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М., 1978
Павлов П.А. Механические состояния и прочность материалов. Л., 1980
Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М., 1986
Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. Киев, 1986
Степин П.А. Сопротивление материалов. М., 1988
Бородин Н.А. Сопротивление материалов. М., 1992

Источник