Что такое нормализация вектора
Что такое нормализация вектора
Нормализация вектора — это уменьшение длины вектора до единичной при сохранении направления.
Векторное произведение векторов
Формула для вычисления векторного произведения выводится как вычисление определителя специальной матрицы (из-за специальных символов i, j, k матрица не сворачивается в скаляр, а остаётся трёхмерным вектором):
Векторное произведение двух трёхмерных векторов даёт на выходе трёхмерный вектор. Этот вектор позволяет определить:
Рисование поверхностей с гранями и гладких поверхностей
В OpenGL вершинам одного треугольника можно задать разные значения нормалей, что создаст эффект гладкости фигуры из-за интерполяции нормалей между фрагментами и последующей интерполяции закраски от источников света. Если одна грань имеет одинаковое значение нормали во всех вершинах, эта грань будет после интерполяции освещения выглядеть плоской.
Отладка вывода треугольников (режим Wireframe)
OpenGL позволяет изменить режим закраски треугольников с помощью функции glPolygonMode. Функция позволяет выбирать между тремя путями визуализации:
Режим GL_LINE также известен как Wireframe, и может быть использован в целях отладки вывода треугольных примитивов (GL_TRIANGLES, GL_TRIANGLE_STRIP, GL_TRIANGLE_FAN)
Как включить режим 3D?
Как минимум, вы должны:
Класс sf::Vector2
Класс sf::Vector2 имеет небольшой и простой интерфейс. К его элементам x и y можно обращаться напрямую и он не содержит математических функций.
Операции с векторами
Перегруженная версия конструктора позволяет в качестве аргумента принимать другой объект этого класса:
Аналогично для копирования координаты:
Получение третьего вектора при сложение двух других:
Поскольку функции cmath работают с действительными числами, то эти координаты разумно преобразовать из целочисленных в действительные ( float ):
Но, обычно, ввиду неявного приведения типов, большой необходимости в этом нет.
Определение длины вектора (расстояний между объектами)
Нормализация вектора (единичный вектор)
В задаче, решаемой на этом уроке, нормализация используется для определения вектора направления (см. программу sf.5.1 стр. 108).
Преобразования Radians Degree
Поворот спрайта с помощью вектора направления и tan2
Символ c обозначает какая сторона (“горизонта”) будет являться точкой отсчета угла.
Разработка проекта для проверки функций
Раздельная компиляция
Код программы получился довольно громоздкий. Использовать его для продолжения разработки стало неудобным. К тому же разработанные нами функции потребуются для решения различных задач в других проектах. Поэтому мы разобьем его на несколько файлов. Как это сделать см.: §10 Функции. Раздельная компиляция. Наш проект после реорганизации будет содержать следующие файлы (исходный текст спрятан под спойлер):
Что нужно для нормализации вектора?
пытаясь понять векторы немного больше.
какова необходимость нормализации вектора?
Если у меня есть вектор, N = (x, y, z)
в чем смысл или «внутренняя» цель этого.
немного математический вопрос, я извините, но я действительно не совсем понимаю в этой теме.
6 ответов
это немного похоже на вопрос, почему мы умножаем числа. Это всплывает все время.
Декартовая система координат, которую мы используем, является ортонормированным базисом (состоит из векторов длины 1, ортогональных друг другу, базис означает, что любой вектор может быть представлен уникальной комбинацией этих векторов), когда вы хотите повернуть свой базис (что происходит в механике видеоигр, когда вы смотрите вокруг), вы используете матрицы, строки и столбцы которых являются ортонормированными векторами.
Как только вы начнете играть с матрицами в линейной алгебре, вам понадобятся ортонормированные векторы. Слишком много примеров, чтобы просто назвать их.
в конце концов, мы не нужно нормализованные векторы (так же, как мы не нужно гамбургеры, мы могли бы жить без них, но кто-то собирается?), но аналогичная картина v / |v| появляется так часто, что люди решили дать ему имя и специальную нотацию (a ^ над вектором означает, что это нормализованный вектор) как ярлык.
нормализованные векторы (также известные как единичные векторы) в основном являются фактом жизни.
легко видеть, что нормированный Вектор имеет длину 1. Это потому, что:
следовательно, мы можем называть нормализованные векторы единичными векторами (т. е. векторами с единичной длиной).
любой вектор при нормализации изменяет только свою величину, а не свое направление. Кроме того, каждый вектор указывает на то же самое направление, нормализуется к тому же вектору (так как величина и направление однозначно определяют вектор). Следовательно, единичные векторы чрезвычайно полезны для обеспечения направлений.
Итак, выше четко написано, что нам нужны единичные векторы, для определения других векторов, но почему вы должны заботиться?
кстати, поскольку я упомянул Декартовые координаты, вот обязательным XKCD: 
чтение Godot Игровой Движок
документация о единичном векторе, нормализация и точечный продукт действительно имеют большой смысл. Вот статья:
единичные векторы Итак, мы знаем, что такое вектор. Она имеет направление и величину. Мы также знаем, как использовать их в Годо. Следующий шаг-изучение единичных векторов. Любой вектор с величиной длины 1 является единичным вектором. В 2D, представьте себе, рисуя круг радиус один. Этот круг содержит все единичные векторы, существующие для 2 измерений:
Итак, что такого особенного в единичных векторах? Единичные векторы потрясающие. Другими словами, единичные векторы имеют несколько очень полезных свойств.
не могу дождаться, чтобы узнать больше о фантастических свойствах единичных векторов, но по одному шагу за раз. Итак, как единичный вектор создается из регулярного вектора?
нормализация Принимая любые вектор и уменьшение его величины до 1,0 при сохранении его направления называется нормализацией. Нормализация выполняется путем деления X и y (и z в 3D) компонент вектора на его величину:
конечно, Vector2 и Vector3 уже предоставляют метод для этого:
скалярное произведение Хорошо, точечный продукт является самой важной частью векторной математики. Без точечного продукта Quake никогда бы не был сделан. Это самый важный раздел учебника, поэтому обязательно поймите его правильно. Большинство людей, пытающихся понять векторную математику, сдаются здесь потому что, несмотря на то, как это просто, они не могут сделать голову или хвост из него. Почему? Вот почему, это так.
скалярное произведение принимает два вектора и возвращает скаляр:
да, в значительной степени. Умножьте x из вектора a на x из вектора b. Сделайте то же самое с y и добавьте его вместе. В 3D это почти то же:
Я знаю, это совершенно бессмысленно! Вы даже можете сделать это со встроенной функцией:
var s = a.точка (b) Этот порядок двух векторов не имеет значения, a.dot (b) возвращает то же значение, что и b.точка (а).
вот где начинается отчаяние и книги и учебники показывают вам эту формулу:
И вы понимаете, что пришло время отказаться от создания 3D игр или сложных 2D игр. Как такое простое может быть таким сложным? Кто-то другой должен будет сделать следующую Zelda или Call of Duty. Сверху вниз РПГ выглядят не так уж плохо. Да, я слышал, кто-то сделал это с одним из них. на пару.
Итак, это ваш момент, это ваше время сиять. НЕ СДАВАЙСЯ! На этом этапе этот учебник сделает резкий поворот и сосредоточится на том, что делает продукт dot полезным. Вот почему это полезно. Мы сфокусируем по-одному в случаях пользы для продукта многоточия, с применениями реальной жизни. Больше никаких бессмысленных формул. Формулы будут иметь смысл, как только вы узнаете, для чего они полезны.
сайдинг Первое полезное и самое важное свойство скалярного произведения проверить что это смотрит. Представим, что у нас есть любые два вектора, a и b. Любое направление или величина (ни происхождение). Не имеет значения, что они такое, но давайте представим, что мы вычисляем точечный продукт между ними.
var s = a.точка (b) Операция вернет одно число с плавающей запятой (но поскольку мы находимся в векторном мире, мы называем их скалярными, будем продолжать использовать этот термин с этого момента). Этот номер скажет нам следующее:
если число больше нуля, оба смотрят в одном направлении (угол между ними составляет 90° градусов). Если число равно нулю, то векторы формируются в L (угол между ними составляет 90 градусов). 
Так что давайте подумаем о реальном сценарии использования. Представьте, что змея идет через лес, а затем есть враг поблизости. Как мы можем быстро сказать, если враг видел обнаруженную змею? Чтобы обнаружить его, враг должен уметь видеть змею. Скажем, тогда что:
змея в положении А. Враг на позиции Б. Противник смотрит в направлении вектора F.
Итак, давайте создадим новый вектор BA, который идет от guard (B) к Snake (A), вычитая два:
var BA = A-B 
В идеале, если охранник смотрел прямо на змея, чтобы установить зрительный контакт, будет делать это в том же направлении, что и вектор БА.
если точечный продукт между F и BA больше 0, то змея будет обнаружена. Это происходит потому, что мы сможем сказать, что охранник смотрит в его сторону:
кажется, змея пока в безопасности.
сайдинг с единичными векторами Итак, теперь мы знаем, что точечное произведение между двумя векторами даст нам знать, смотрят ли они в одну сторону, противоположную стороны или просто перпендикулярны друг другу.
это работает одинаково со всеми векторами, независимо от величины, поэтому единичные векторы не являются исключением. Однако использование того же свойства с единичными векторами дает еще более интересный результат, так как добавляется дополнительное свойство:
давайте возьмем два единичных вектора. Первый указывает вверх, второй тоже. но мы будем вращать его полностью от вверх (0°) до вниз (180° градусов).
При построении результирующего скаляра!
Ага! Теперь все понятно, это Косинуса!
так можно сказать, как правило.
скалярное произведение двух единичных векторов-это косинус угла между этими двумя векторами. Так, чтобы получить угол между двумя векторами, мы должны do:
для чего это полезно? Ну, получение угла напрямую, вероятно, не так полезно, но просто возможность сказать угол полезен для справки. Одним из примеров является демонстрация кинематического характера, когда персонаж движется в определенном направлении, тогда мы попадаем в объект. Как определить, что мы ударились об пол?
путем сравнения нормали точки столкновения с ранее вычисленным углом.
красота этого в том, что тот же код работает точно так же и без изменений в 3D. Векторная математика во многом независима от размера, поэтому добавление или удаление оси добавляет очень мало сложности.
нормали должны использоваться только в качестве вектора направления. Они используются для вычисления освещения, которое требует нормализованных нормальных векторов.
вы делаете его длину 1-нахождение единичного вектора, который указывает в том же направлении.
Это полезно для различных целей, например, если взять скалярное произведение вектора с единичным вектором, у вас есть длина компонента этого вектора в направлении единичного вектора.
в машинном обучении и глубоком обучении нам нужно нормализовать вектор, потому что градиентный спуск сходится быстро
Управляющие силы призваны помочь автономным персонажам двигаться в реалистичной манере, с помощью использования простых сил, можно добиться, реалистичного поведения, такого как импровизационная навигация (рыскание) персонажей. В этй статье объясняется теория лежащая в основе идеи управляющих сил, обеспечивающих поведение рыскания, а также его реализацию.
Идеи, лежащие в основе управляющих сил были предложены Craig W. Reynolds; они не используют сложные стратегии, связанные с поиском пути, или глобальными вычислениями, вместо этого используется локальная информация, например, векторы соседних сущностей. Это делает идею управляющих сил простой для понимания и реализации, но все еще способной производить очень сложные модели движения.
Для понимания данной статьи необходимо понимание некоторых математических действий над векторами, я опишу их функциями на javascript в контексте 2-х мерных векторов.
Сложение векторов
Для сложения векторов v1 и v2 необходимо выполнить покомпонентное их сложение. В результате сложения векторов получаем вектор:
Вычитание векторов
Для вычитания векторов v1 и v2 необходимо выполнить покомпонентное их вычитание. В результате вычитания векторов получаем вектор:
Нормализация вектора (приведение к единичному вектору)
Длина вектора
Получается по теореме Пифагора: квадрат гипотинузы равен сумме квадратов катетов В результате получаем скалярное число:
Масштабирование вектора (умножение/деление на скаляр)
При умножении/делении вектора на скаляр изменяется длина вектора, но не его направление. При этом число может называться коэффициентом масштабирования. Умножение вектора на скаляр так же сводится к умножению каждого компонента вектора на скаляр. В результате умножения вектора на скаляр получаем вектор:
при делении вектора на скаляр все то же самое, но применяем соответственно операцию деления. В результате деления вектора на скаляр получаем вектор:
Скалярное произведение 2-х векторов
-Не путать с умножением на скаляр! Скалярное произведение 2-х векторов это сумма произведений компонент векторов поэтому иногда эту операцию называют внутренним произведением (inner product). В результате получаем скалярное число:
Скалярное произведение ортогональных (перпендикулярных) векторов всегда = 0! Этот факт можно удобно использовать: если скалярное произведение двух векторов = 0, то векторы ортогональны пример:
Проекция вектора на вектор
Скалярное умножение вектора на единичный вектор называется проецированием. Проецирование выделяет компонент вектора, направленный параллельно единичному вектору. Вообще проецировать можно и на не единичный вектор, но в процессе проецирования вектор на который производится проецирование один хрен нужно нормализоввывать. В результате получаем скалярное число:
Усечение вектора
Иногда бывает полезно ограничить величину вектора, например задать максимальный порог скорости или ускорения, но вектор при этом должен сохранить свое направление. Функция truncate позволяет это сделать. В результате получаем вектор:
Положение, скорость и движение.
При реализации управляющих сил мы воздействуюем на персонаж посредством математических манипуляций с его векторами (позиция,скорость и т.п.). Так как эти силы будут влиять на скорость персонажа и его положение, то использование векторов для их представления является отличной идеей.
Кстати, позиция персонажа тоже описывается вектором, в этом случае направление вектора игнорируется, важны лишь значения его компонент x и y
Направление вектора скорости будет контролировать то, куда движется персонаж, в то время, как длина вектора скорости (величина или магнитуда) будет контролировать, то как быстро он будет двигаться каждый кадр, т.е. это фактически величина шага персонажа.
Это иллюстрирует поведение «рыскания» в чистом виде, без какого-либо подруливающего поведения. Зеленая линия представляет собой вектор скорости, который вычисляется следующим образом:
Важно заметить, что без управляющего воздействия на движимые силы, персонаж описывает прямые маршруты и мгновенно меняет свое направление, когда цель движется, делая, таким образом резкие переходы. Следует заметить что данное поведение не свойственно реалистичным игровым персонажам.
Кликните мышкой на холсте, чтобы цель начала двигаться:
Расчет сил
Если в организации движения использовать только лишь скорость, тогда персонаж будет следовать по прямой линии, определяемой направлением direction вектора этой скорости. Что бы сделать поведение персонажа более реалистичным добавим дополнительные управляющие силы. В зависимости от этих сил, персонаж будет двигаться в одном или другом направлении.
Для имитации поведения поиска добавление управляющего усилия персонажу в каждом кадре заставит персонаж плавно регулировать свою скорость, избегая резких изменений маршрута. Если цель движется, персонаж будет постепенно менять свой вектор скорости, пытаясь двигаться к новомц положению цели.
Поведения поиска включает в себя две силы: желаемую скорость (desired velocity) и управляющую силу (steering):
Управляющая сила steering это результат вычитания желаемой скорости из текущей скорости. Эта сила также толкает персонажа в сторону цели.
Описанные силы вычисляются следующим образом:
Добавление сил
После того, как просчитан вектор управляющей силы, он должен быть добавлен к вектору скорости персонажа. Добавление вектора управляющей силы к вектору скорости персонажа каждый кадр заставит персонаж плавно отклоняться от прямолинейного маршрута и направиться к цели, описывая дугу seek path (оранжевая кривая на рисунке ниже):
Добавление этих сил и вычисления конечных векторов скорости и положения:
Тут мы ограничиваем управляющую силу, чтобы гарантировать что результирующая скорость не будет превышать разрешенную. Кроме того, управляющая сила, делится на массу персонажа, это даст эффект различных скоростей движения для персонажей масса которых различается.
Кликните мышкой на холсте, чтобы цели начали двигаться:
Каждый раз, когда цель движется, векторы скорости разных персонажей изменяются соответствующим образом. Вектору скорости, однако, требуется некоторое время, чтобы измениться и начать снова указывать на цель. В результате получается плавое реалистичное движение.
Вывод: управляющие силы отлично подходят для создания реалистичных моделей движения. Основная идея заключается в том, чтобы использовать локальную информацию для расчета и примененять дополнительные силы для имитации различных моделей поведения. Даже при том, что расчет прост в реализации, он вполне в состоянии производить очень сложные результаты.
Не сложно заметить, что объект с большей массой более неповоротлив чем с меньшей.
Зачем нужна нормализация вектора?
Пытаюсь немного больше понять векторы.
Зачем нужна нормализация вектора?
Если у меня есть вектор, то N = (x, y, z)
В чем смысл или цель этого действия?
Немного математический вопрос, прошу прощения, но я действительно не совсем понимаю эту тему.
6 ответов
Основная причина внешней сортировки заключается в том, что данные могут быть больше, чем основная память, которую мы сейчас используем, и виртуальная память позаботится о замене между основной памятью и диском. Зачем же тогда нужна внешняя сортировка?
Легко видеть, что нормализованный вектор имеет длину 1. Это потому что:
Следовательно, мы можем называть нормализованные векторы единичными векторами (т. Е. векторами с единичной длиной).
Любой вектор при нормализации изменяет только свою величину, а не направление. Кроме того, каждый вектор, указывающий в одном и том же направлении, нормализуется на один и тот же вектор (поскольку величина и направление однозначно определяют вектор). Следовательно, единичные векторы чрезвычайно полезны для определения направлений.
Итак, в приведенном выше обсуждении ясно говорится, что нам нужны единичные векторы для определения других векторов, но почему вас это должно волновать?
BTW, поскольку я упомянул декартовы координаты, вот обязательный XKCD: 
Единичные векторы
Итак, что же такого особенного в единичных векторах? Единичные векторы удивительны. Другими словами, единичные векторы обладают несколькими очень полезными свойствами.
Не могу дождаться, чтобы узнать больше о фантастических свойствах единичных векторов, но шаг за шагом. Итак, как создается единичный вектор из обычного вектора?
Нормализация
Взятие любого вектора и уменьшение его величины до 1.0 при сохранении его направления называется нормализацией. Нормализация выполняется путем деления x и y (и z в 3D) компонентов вектора на его величину:
Конечно, Vector2 и Vector3 уже предоставляют метод для этого:
Точечный продукт
OK, точечное произведение является наиболее важной частью векторной математики. Без продукта dot Quake никогда бы не был создан. Это самый важный раздел учебника, поэтому убедитесь, что вы поняли его правильно. Большинство людей, пытающихся понять векторную математику, сдаются здесь, потому что, несмотря на то, насколько она проста, они не могут сделать из нее ни головы, ни хвоста. Почему? Вот почему, это потому.
Точечное произведение принимает два вектора и возвращает scalar:
Да, в значительной степени. Умножьте x из вектора a на x из вектора b. Сделайте то же самое с y и сложите их вместе. В 3D это почти то же самое:
Я знаю, это совершенно бессмысленно! Вы даже можете сделать это с помощью встроенной функции:
Именно здесь начинается отчаяние, и книги и учебные пособия показывают вам эту формулу:
Так что это ваш момент, это ваше время сиять. не СДАВАЙТЕСЬ! На этом этапе этот учебник сделает резкий поворот и сосредоточится на том, что делает продукт dot полезным. Вот почему это полезно. Мы сосредоточимся один за другим на примерах использования продукта dot с реальными приложениями. Больше никаких формул, которые не имеют никакого смысла. Формулы обретут смысл, как только вы узнаете, для чего они полезны.
Сайдинг Первое полезное и самое важное свойство продукта dot-это проверить, на какую сторону смотрит материал. Давайте представим, что у нас есть любые два вектора, a и b. Любое направление или величина (ни происхождение). Не имеет значения, что это такое, но давайте представим, что мы вычисляем точечное произведение между ними.
Операция вернет одно число с плавающей запятой (но поскольку мы находимся в векторном мире, мы называем их scalar, будем продолжать использовать этот термин с этого момента). Этот номер сообщит нам следующее:
Если число больше нуля, оба смотрят в одном направлении (угол между ними составляет 90° градусов). Если число равно нулю, векторы формируются в L (угол между ними равен 90° градусов).
Итак, давайте подумаем о реальном сценарии использования. Представьте себе, что Змея идет через лес, а затем рядом появляется враг. Как мы можем быстро определить, видел ли враг Змею? Чтобы обнаружить его, враг должен уметь видеть Змею. Скажем, тогда, что:
Змея находится в положении А. Противник находится на позиции Б. Противник стоит лицом к вектору направления F.
Итак, давайте создадим новый вектор BA, который идет от охранника (B) к змее (A), вычитая два:
В идеале, если бы охранник смотрел прямо на змею, чтобы установить зрительный контакт, он сделал бы это в том же направлении, что и вектор BA.
Если произведение точек между F и BA больше 0, то будет обнаружена Змея. Это происходит потому, что мы сможем сказать, что охранник смотрит в его сторону:
Похоже, Змея пока в безопасности.
Сайдинг с единичными векторами Итак, теперь мы знаем, что точечное произведение между двумя векторами даст нам знать, смотрят ли они в одну сторону, противоположные стороны или просто перпендикулярны друг другу.
Это работает одинаково со всеми векторами, независимо от величины, поэтому единичные векторы не являются исключением. Однако использование того же свойства с единичными векторами дает еще более интересный результат, поскольку добавляется дополнительное свойство:
Возьмем два единичных вектора. Первый из них направлен вверх, второй тоже, но мы будем вращать его полностью от вверх (0°) до вниз (180° градусов).
При построении результирующего scalar!
Ага! Теперь все это имеет смысл, это функция косинуса!
Тогда, как правило, мы можем так сказать.
Для чего это полезно? Ну, прямое получение угла, вероятно, не так полезно, но просто возможность определить угол полезна для справки. Один из примеров-демонстрация кинематического персонажа, когда персонаж движется в определенном направлении, а затем мы попадаем в объект. Как определить, что мы ударились об пол?
Путем сравнения нормали точки столкновения с ранее вычисленным углом.
Прелесть этого заключается в том, что один и тот же код работает точно так же и без изменений в 3D. Векторная математика в значительной степени dimension-amount-independent, поэтому добавление или удаление оси добавляет очень мало сложности.
Это немного похоже на вопрос, почему мы умножаем числа. Это все время всплывает.
Декартова система координат, которую мы используем, является ортонормированным базисом (состоит из векторов длины 1, которые ортогональны друг другу, базис означает, что любой вектор может быть представлен уникальной комбинацией этих векторов), когда вы хотите повернуть свой базис (что происходит в механике видеоигр, когда вы смотрите вокруг), вы используете матрицы, строки и столбцы которых являются ортонормированными векторами.
Как только вы начнете играть с матрицами в линейной алгебре, вам понадобятся ортонормированные векторы. Есть слишком много примеров, чтобы просто назвать их.
В конце концов, нам не нужны нормализованные векторы (точно так же, как нам не нужны гамбургеры, мы могли бы жить без них, но кто это сделает?), Но подобный шаблон v / |v| встречается так часто, что люди решили дать ему имя и специальную нотацию (^над вектором означает, что это нормализованный вектор) в качестве ярлыка.
Это полезно для различных целей, например, если вы берете точечное произведение вектора с единичным вектором, у вас есть длина компонента этого вектора в направлении единичного вектора.
Нормали должны использоваться только в качестве вектора направления. Они используются для вычисления освещения, для которого требуются нормализованные нормальные векторы.
Я вижу, что пост очень-очень старый, но я все еще хочу ответить на него, потому что я не видел четкого ответа, почему мы нормализуемся. Причина нормализации вектора заключается в том, чтобы найти точную величину вектора и его проекцию на другой вектор.
Пример= проекция вектора a на b равна b.cos(theta)
но в случае скалярное произведение скалярным произведением двух векторов a и B называется a.b.cos(theta)
что означает скалярное произведение-это проекция более B раз. Поэтому мы делим его на a, чтобы нормализовать, чтобы найти точную длину проекции, которая равна (b.cos(theta)). Надеюсь, все ясно.
Похожие вопросы:
В настоящее время я занимаюсь классификацией английского алфавита с использованием классификатора SVM в opencv. У меня есть следующие сомнения в том, чтобы сделать это выше Как длина вектора.