Что такое одз логарифма

04.06.202213.06.2022 admin 0 Comments

Что такое одз логарифма

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы освоили решение самых простых логарифмических уравнений. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет. Однако, даже в самых примитивных логарифмических уравнениях нас может ожидать сюрприз не из приятных. С этим сюрпризом надо разобраться.

Главная проблема в решении логарифмических уравнений.

Уравнения предыдущего урока мы решали легко и правильно. А вот, например, уравнение:

так уже не решим. Хотя, по внешнему виду, это уравнение ничем не отличается от успешно решаемых элементарных.

Итак, пусть нам на ЕГЭ попалось такое задание:

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнения:

Потенцируем, т.е. убираем логарифмы (это можно!):

Получили обычное квадратное уравнение. Приводим к стандартному виду:

Вроде всё честно. Но сделаем самую надёжную проверку. Подставим результаты в исходное уравнение. Сначала х₁= 3, получим

Правильный ответ был 3. Три, а не два.

Бездушный компьютер не засчитает нам это задание, да.

Так в чём же дело?! Раскрою эту страшную тайну. Всё дело в ОДЗ.

ОДЗ в логарифмических уравнениях.

Кто забыл (или не знает), что такое ОДЗ, прогуляйтесь вот по этой ссылочке: ОДЗ. Область Допустимых Значений. Там немного, не волнуйтесь.) Описана общая идея ОДЗ в применении к дробным уравнениям. Это всяко знать надо. Без понятия ОДЗ решение (даже абсолютно правильное!) любого уравнения превращается в лотерею. То ли выиграете, то ли нет.

В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.

И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем. Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так.

Как записывать ОДЗ?

Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем, и именно исходный! Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени из выражения с иксом и логарифмы с иксами.

Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся. Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё.

На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример:

Обратите внимание! Мы ничего не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё подлогарифменное выражение. Для каждого логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.

Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда?

Что делать с ОДЗ?

Вариант первый, универсальный:

Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ.

Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем! Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ:

Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх!

Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?)

А если с решением систем неравенств, того. не очень? Как быть?! Как быть, как быть. Научиться! Но если уж совсем прижало. Ладно, только для вас! Способ-лайт.)

Вариант второй, только для нехитрых уравнений.

Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так:

А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.

Просто считаем, получаем:

Считаем и получаем:

Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно неравенство системы.

Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему?

Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал. Т.е. бесконечный набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все значения. Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да.

Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых логарифмических уравнений.

Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове:

Подведём итоги в практических советах.

3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ.

4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы.

Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз! Я не шучу.

Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:

Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да. )

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Действия с логарифмами. Постигаем азы!

На прошлом занятии мы познакомились с понятием логарифма и порешали несколько несложных примеров на определение и смысл логарифма. Для начального знакомства.)

Теперь настал черёд более тесного знакомства с логарифмами и, соответственно, решения более серьёзных примеров. Начнём мы с ограничений в логарифмах.

Ограничения в логарифмах.

Как и у любого математического понятия, у логарифма тоже есть свои свойства и фишки. Именно о них мы сейчас и будем разговаривать. И в первую очередь это ограничения в логарифмах. До сих пор мы с вами знали лишь два жёстких ограничения в математике:

— нельзя делить на ноль;

— нельзя извлекать корень чётной степени из отрицательного числа.

С этого момента к этим двум добавляются дополнительные ограничения в логарифмах.

Для начала запишем определение логарифма в самом общем виде. Через буквы.

Напоминаю, что это равенство означает всего лишь решение показательного уравнения

А теперь подумаем, любым ли числом может быть a? Пусть, к примеру, a = 1. Тогда получается забавная штука: единица в любой степени равна единице… И каким бы ни было число c, числа a и b останутся единичками. Та же самая история и с нулём. Не подходят эти числа в качестве основания…

Отрицательные числа — очень вредные и капризные. В одну степень их можно возводить, а в другую — нельзя. Вот и поступили математики с ними, как со всеми капризными — вовсе исключили из рассмотрения.

В результате у нас получилось такое ограничение на основание:

a > 0, a ≠ 1.

А каким может быть число b? Давайте подумаем: если заведомо положительное основание a возвести любую степень c, то какое число мы в итоге получим? Верно, положительное число и получим!

Отсюда ещё одно ограничение на аргумент логарифма:

b > 0.

Вот и все ограничения. Число c (значение логарифма) может быть совершенно любым.

Конечно, при решении безобидных числовых примеров на логарифмы эти ограничения практически никак не сказываются. Зато когда столкнётесь с логарифмическими уравнениями и неравенствами, вы про эти ограничения ещё не раз вспомните! А если не вспомните, то я вам напомню. И буду напоминать при каждом удобном случае.) Ибо эти ограничения очень (!) важны при решении уравнений и неравенств. Про ОДЗ помните? Вот, то-то и оно…

Свойства логарифмов.

Итак, с ограничениями на логарифмы разобрались. Пора переходить на следующий уровень и знакомиться со свойствами логарифмов. Вот они:

Здесь всюду b>0 и c>0, а также a>0, a≠1.

Вот такой вот джентльменский набор. Ни много ни мало.) Теперь кратенько пробежимся по каждому из этих свойств. Чтобы ясно было, откуда ноги растут, как говорится.)

Начнём с первого свойства:

Из самого определения логарифма мы с вами знаем, что, если число а (основание) возвести в степень c (показатель), то получим число b:

А теперь подумаем, чему же равно у нас число c? Да вот же оно:

Подставим это выражение в предыдущее равенство и получим как раз то, что нам и требуется:

Следующая группа формул (2-3):

Думаю, тут комментарии излишни. Всё прямо из определения логарифма следует.) И даже примеры разбирались. В предыдущем материале. Кому всё-таки непонятно, применяем старый добрый способ — словесную расшифровку. Проверено, помогает.)

Переходим к следующей группе формул (4-5):

Коротко эти формулы называются логарифм произведения и логарифм частного (дроби).

А вот с их доказательствами вопрос похитрее будет.) Эти два свойства проистекают из обычного умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Как именно? Мы с седьмого класса помним, что при перемножении двух степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются, а при делении — вычитаются:

Для доказательства, например, четвёртой формулы (логарифм произведения) придётся ввести вспомогательные обозначения:

До конца доказывать эти две формулы я не буду. Как продолжить доказательство? Подставьте выражения для m и n в формулу умножения степеней и воспользуйтесь основным логарифмическим тождеством (формула №1). Попробуйте! Очень полезно.)

Кстати, прошу обратить внимание: данные формулы справедливы только при одинаковых основаниях! Если основания разные, то, скорее всего, преобразования более мудрёные…

Идём дальше. Следующая группа формул (6-7) — это формулы, позволяющие избавляться от степеней в аргументе или в основании логарифма:

Смысл их тоже прост. Если аргумент логарифма возводится в степень, то показатель степени n можно вынести наружу и приписать перед логарифмом. То же самое происходит и тогда, когда в степень возводится основание логарифма, только показатель степени переворачивается. Эти две полезные формулы избавляют нас от степеней в аргументе/основании. Если это мешает, конечно. Это понятно.)

Осталась последняя формула №8:

Это — так называемая формула перехода к новому основанию. Самая трудная для запоминания формула. Поэтому народ частенько и ленится её запоминать… А вы запомните. Не сочтите за труд.) Когда она применяется? А когда основания логарифмов — разные.) Скажем, в примере куча логарифмов по основанию 3 и затесался один логарифм по основанию 7. Его и менять надо. На тройку.) Мы с этой формулой крепко подружимся. И примеры тоже порешаем.) В соответствующем уроке.

Вот такой вот перечень формул и свойств. Их вполне достаточно, чтобы уверенно решать примеры на логарифмы любого уровня сложности. Эти формулы нужно не просто помнить, но и уметь применять. Причём в обоих направлениях — как слева направо, так и справа налево.

Ещё не помешало бы знать, что такое десятичный логарифм и что такое натуральный логарифм.

Десятичный логарифм — это просто логарифм по основанию 10:

В написании десятичного логарифма всего лишь пропадает буковка «о».

Натуральный логарифм (хотя чего уж в нём такого натурального) — это логарифм по основанию e. Иррациональному числу «e».

Что это за загадочное число, узнаете и поймёте, когда поступите в институт. В курсе матанализа.) В школьной математике это число практически не встречается, зато в высшей — сплошь и рядом.)

Обозначается натуральный логарифм вот так:

Логарифмы по этим основаниям хотя и имеют своё особое написание, но ни по определению, ни по свойствам ничем не отличаются от обычных логарифмов, скажем, по основанию два. Или три. И решаются точно так же.

Итак, будем считать, что необходимая теоретическая база подготовлена. Переходим к практике.)

Начальный уровень. Немного формул. Немного дробей. Немного степеней.

— впрямую используем определение логарифма,

— впрямую используем самые простые свойства логарифмов.

Мыслей здесь особых не нужно. Главное — память и внимательность. Итак, читаем, смотрим, вникаем.

Пример 1

Решение примера вытекает непосредственно из определения и смысла логарифма. В какой степени 1/3 даёт 1/27? В кубе, конечно. То есть, в третьей степени.

Пример 2

Всё то же самое, только дроби десятичные. Ну и что? Опять напрямую пользуемся определением логарифма: в какой степени 0,3 даст 0,09? В квадрате, разумеется! Или во второй степени.)

И ещё один примерчик на дроби:

Пример 3

А вот тут некоторые могут и зависнуть. Почему? Потому что связь между 0,5 и 1/128 визуально просматривается плохо. Что делать?

Что-что… Да к обычным дробям перейти! Вот вам и первый практический совет:

Если в одном примере смешались в кучу разные типы дробей, то переходим к обыкновенным дробям.

Этот приём, между прочим, работает не только в логарифмах, но и в других смежных темах — в показательных выражениях, в корнях.

В нашем примере 0,5 = 5/10 = 1/2. Ну и как? Связь между 1/2 и 1/128 легче углядеть? Естественно! 1/128 — это 1/2 в седьмой степени.

Что? Забыли, что 128 — это 2 в седьмой степени? Срочно повторить степени!

Пример 4

Прямое применение формулы разности логарифмов:

И как вам? Оба логарифма по отдельности ровно не считаются, зато через формулу разности — отлично!

Пример 5

А вот здесь складывать по формуле нельзя: основания разные — тройка и двойка. А формула — штука жёсткая. Раз требуются одинаковые основания, значит, так и надо.

Но тут ничего хитрого нет: оба логарифма считаются ровно.

Не каждый, правда, догадается, что 243 — это 3 в пятой степени, а 32 — это 2 в пятой… Но тут дело уже не в логарифмах, дело в степенях!

Вот вам и второй практический совет.

Степени популярных чисел надо знать. В лицо!

Конечно, возвести двойку в седьмую степень или тройку в пятую может каждый. Не в уме, так хотя бы на черновике. Но это умение слабо помогает в работе с логарифмами, да. А вот сообразить, какое число и в какой степени скрывается за числом 128 или 243 — это уже совсем другое дело. Почувствуйте разницу, что называется!

Поскольку умение распознавать степени в лицо пригодится не только на этом уровне, но и на следующих, вот вам небольшое задание:

Определить, какими степенями и каких чисел являются числа:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Ответы (вразброс, естественно):

А теперь я настоятельно рекомендую взять любой учебник по школьной математике и порешать оттуда простейшие примеры на логарифмы. Порешали? Хоть что-то получилось? Тогда будем считать, что начальный уровень вы прошли. Переходим на следующий уровень.

Почти все формулы. Почти все степени. Поиск «братьев по степени».

На этом уровне применяем почти все формулы работы с логарифмами. Кроме последней формулы перехода к новому основанию. А также закрепляем наши навыки работы со степенями.

Поехали расширять наши возможности!

Пример 6

Вот тут прямое применение определения логарифма не годится: из четвёрки 128 простым возведением в степень никак не сделаешь. И формулы логарифмов непонятно как употреблять… Не беспокойтесь, сейчас всё получится.) При маленьком условии, что вы узнали в лицо число 128. Да! Это 2 в седьмой степени! Так и запишем:

Вот и одна из формул (третья снизу) приходит на помощь. Та, где показатель степени ставится множителем перед логарифмом:

Вот и выносим семёрку за наш логарифм. Пишем:

Вот и ещё одна формулка в дело просится!) Вторая снизу, где в степень возводится основание логарифма. Только в этом случае при вынесении показателя наружу его надо перевернуть: 1/n.

Вот так вот! А если бы мы не узнали в числе 128 степень двойки, то так и застряли бы на этом, в общем-то несложном примере…

А теперь мы вплотную подошли к одному весьма и весьма полезному приёму в работе с логарифмическими и показательными выражениями. Приём этот называется «поиск братьев». Братьев по степени. И по разуму тоже.) Суть этого полезного приёма заключается в тщательном осмотре примера и распознавании одного и того же числа в разных степенях.

И зачем всё это нужно — распознавать степени и родственников? А затем, что примеры от этого проще становятся! И формулы свойств логарифмов сразу высвечиваются.) Особенно важно получить в примере одинаковые основания у логарифмов, ибо чем больше одинаковых значков в примере и меньше разных, тем лучше. И не нужно здесь применять формулу перехода к новому основанию: зачем же из пушки по воробьям палить.?)

Следующий пример на братьев (или сестёр):

Пример 7

В примере стоит сумма логарифмов, но основания логарифмов разные — тройка и девятка. Стало быть, применять напролом формулу суммы логарифмов нельзя. Но! Первый логарифм уже считается ровно, получится просто тройка:

А со вторым логарифмом что? Из девятки 27 возведением в целую степень не получишь! Но зато 9 и 27 — родня! По тройке.) Самое время вспомнить, что:

Что ж, поработаем отдельно со вторым логарифмом. Перейдём в основании от девятки к тройке. Поможет нам такое преобразование или нет — неизвестно. Но что-то делать всё-таки надо, правда? Итак, преобразовываем второй логарифм по второй (снизу) формуле — выносим степень из основания за логарифм:

Осталось лишь сложить 3 (первый логарифм) и 3/2 (второй логарифм)

Так, с близкой роднёй разобрались. Идём дальше. Иногда пример может не соответствовать в точности формуле, а может быть лишь похожим на одну из формул. И наша задача — сначала преобразовать пример под ту или иную формулу. Как, например, этот:

Пример 8

Напоминаю, что запись lg означает просто логарифм по основанию 10. И всё.)

Итак, основания логарифмов уже одинаковые — десятка. Ну прям напрашивается формула суммы логарифмов! А н-е-ет, не катит! Двойка во втором слагаемом всё портит. Коэффициент, понимаешь.) А формула применима только к чистым логарифмам, безо всяких коэффициентов. Но горевать рано! Мы эту двойку сейчас ликвидируем. Безопасно для примера.) Мы её внутрь логарифма загоним. Как? Всё по той же формуле логарифма от степени:

Здесь как раз тот случай, когда формулу надо применять справа налево. Ни в одной другой теме школьной математики нельзя вот так красиво избавляться от мешающих коэффициентов, а в логарифмах — пожалуйста! Итак, избавляемся от двойки перед вторым логарифмом:

Вот так. Осталось лишь сложить два логарифма по формуле логарифма произведения (опять же в применении справа налево). Вот и складываем:

lg4 + lg25 = lg(4́·25) = lg100 = 2

Напоминаю, что десятичные логарифмы формулу ничуть не портят, ибо они по своим свойствам ничем не отличаются от обычных!

Вот вам и третий практический совет.

Любую степень можно записать множителем перед логарифмом. И наоборот — любой числовой коэффициент можно спрятать внутрь логарифма. Если он мешает, конечно.

Ну что, вот и состоялась наше более близкое знакомство с логарифмами! Осталось теперь с ними крепко подружиться. На следующем уровне и в следующем уроке.)

Традиционные примеры для самостоятельного решения.

Источник