какие ресурсы используются для оценки сложности алгоритма

Оценка сложности алгоритмов

Введение

Для любого программиста важно знать основы теории алгоритмов, так как именно эта наука изучает общие характеристики алгоритмов и формальные модели их представления. Ещё с уроков информатики нас учат составлять блок-схемы, что, в последствии, помогает при написании более сложных задач, чем в школе. Также не секрет, что практически всегда существует несколько способов решения той или иной задачи: одни предполагают затратить много времени, другие ресурсов, а третьи помогают лишь приближённо найти решение.

Всегда следует искать оптимум в соответствии с поставленной задачей, в частности, при разработке алгоритмов решения класса задач.
Важно также оценивать, как будет вести себя алгоритм при начальных значениях разного объёма и количества, какие ресурсы ему потребуются и сколько времени уйдёт на вывод конечного результата.
Этим занимается раздел теории алгоритмов – теория асимптотического анализа алгоритмов.

Предлагаю в этой статье описать основные критерии оценки и привести пример оценки простейшего алгоритма. На Хабрахабре уже есть статья про методы оценки алгоритмов, но она ориентирована, в основном, на учащихся лицеев. Данную публикацию можно считать углублением той статьи.

Определения

Основным показателем сложности алгоритма является время, необходимое для решения задачи и объём требуемой памяти.
Также при анализе сложности для класса задач определяется некоторое число, характеризующее некоторый объём данных – размер входа.
Итак, можем сделать вывод, что сложность алгоритма – функция размера входа.
Сложность алгоритма может быть различной при одном и том же размере входа, но различных входных данных.

Существуют понятия сложности в худшем, среднем или лучшем случае. Обычно, оценивают сложность в худшем случае.

Временная сложность в худшем случае – функция размера входа, равная максимальному количеству операций, выполненных в ходе работы алгоритма при решении задачи данного размера.
Ёмкостная сложность в худшем случае – функция размера входа, равная максимальному количеству ячеек памяти, к которым было обращение при решении задач данного размера.

Порядок роста сложности алгоритмов

Порядок роста сложности (или аксиоматическая сложность) описывает приблизительное поведение функции сложности алгоритма при большом размере входа. Из этого следует, что при оценке временной сложности нет необходимости рассматривать элементарные операции, достаточно рассматривать шаги алгоритма.

Шаг алгоритма – совокупность последовательно-расположенных элементарных операций, время выполнения которых не зависит от размера входа, то есть ограничена сверху некоторой константой.

Виды асимптотических оценок

O – оценка для худшего случая

Рассмотрим сложность f(n) > 0, функцию того же порядка g(n) > 0, размер входа n > 0.
Если f(n) = O(g(n)) и существуют константы c > 0, n₀ > 0, то
0 n₀.

Функция g(n) в данном случае асимптотически-точная оценка f(n). Если f(n) – функция сложности алгоритма, то порядок сложности определяется как f(n) – O(g(n)).

Данное выражение определяет класс функций, которые растут не быстрее, чем g(n) с точностью до константного множителя.

Примеры асимптотических функций

Ω – оценка для лучшего случая

Критерии оценки сложности алгоритмов

Равномерный весовой критерий (РВК) предполагает, что каждый шаг алгоритма выполняется за одну единицу времени, а ячейка памяти за одну единицу объёма (с точностью до константы).
Логарифмический весовой критерий (ЛВК) учитывает размер операнда, который обрабатывается той или иной операцией и значения, хранимого в ячейке памяти.

Временная сложность при ЛВК определяется значением l(O_p), где O_p – величина операнда.
Ёмкостная сложность при ЛВК определяется значением l(M), где M – величина ячейки памяти.

Пример оценки сложности при вычислении факториала

Необходимо проанализировать сложность алгоритма вычисление факториала. Для этого напишем на псевдокоде языка С данную задачу:

Временная сложность при равномерном весовом критерии

Достаточно просто определить, что размер входа данной задачи – n.
Количество шагов – (n — 1).

Таким образом, временная сложность при РВК равна O(n).

Временная сложность при логарифмическом весовом критерии

В данном пункте следует выделить операции, которые необходимо оценить. Во-первых, это операции сравнения. Во-вторых, операции изменения переменных (сложение, умножение). Операции присваивания не учитываются, так как предполагается, что она происходят мгновенно.

Итак, в данной задаче выделяется три операции:

Источник

Оценка сложности алгоритмов, или Что такое О(log n)

Авторизуйтесь

Оценка сложности алгоритмов, или Что такое О(log n)

Наверняка вы не раз сталкивались с обозначениями вроде O(log n) или слышали фразы типа «логарифмическая вычислительная сложность» в адрес каких-либо алгоритмов. И если вы хотите стать хорошим программистом, но так и не понимаете, что это значит, — данная статья для вас.

Оценка сложности

Сложность алгоритмов обычно оценивают по времени выполнения или по используемой памяти. В обоих случаях сложность зависит от размеров входных данных: массив из 100 элементов будет обработан быстрее, чем аналогичный из 1000. При этом точное время мало кого интересует: оно зависит от процессора, типа данных, языка программирования и множества других параметров. Важна лишь асимптотическая сложность, т. е. сложность при стремлении размера входных данных к бесконечности.

Примеры

O(n) — линейная сложность

Такой сложностью обладает, например, алгоритм поиска наибольшего элемента в не отсортированном массиве. Нам придётся пройтись по всем n элементам массива, чтобы понять, какой из них максимальный.

O(log n) — логарифмическая сложность

Простейший пример — бинарный поиск. Если массив отсортирован, мы можем проверить, есть ли в нём какое-то конкретное значение, методом деления пополам. Проверим средний элемент, если он больше искомого, то отбросим вторую половину массива — там его точно нет. Если же меньше, то наоборот — отбросим начальную половину. И так будем продолжать делить пополам, в итоге проверим log n элементов.

O(n 2 ) — квадратичная сложность

Старт 4 ноября, 9 месяцев, Онлайн, Беcплатно

Бывают и другие оценки по сложности, но все они основаны на том же принципе.

Аналогично проводят оценку и по памяти, когда это важно. Однако алгоритмы могут использовать значительно больше памяти при увеличении размера входных данных, чем другие, но зато работать быстрее. И наоборот. Это помогает выбирать оптимальные пути решения задач исходя из текущих условий и требований.

Наглядно

Время выполнения алгоритма с определённой сложностью в зависимости от размера входных данных при скорости 10 6 операций в секунду:

Тут можно посмотреть сложность основных алгоритмов сортировки и работы с данными.

Если хочется подробнее и сложнее, заглядывайте в нашу статью из серии «Алгоритмы и структуры данных для начинающих».

Хинт для программистов: если зарегистрируетесь на соревнования Huawei Cup, то бесплатно получите доступ к онлайн-школе для участников. Можно прокачаться по разным навыкам и выиграть призы в самом соревновании.

Перейти к регистрации

Источник

Сложность алгоритмов. Big O. Основы.

Развитие технологий привело к тому, что память перестала быть критическим ресурсом. Поэтому когда говорят об анализе сложности алгоритма, обычно подразумевают то, насколько быстро он работает.

Но ведь время выполнения алгоритма зависит от того, на каком устройстве его запустить. Один и тот же алгоритм запущенный на разных устройствах выполняется за разное время.

Big O показывает верхнюю границу зависимости между входными параметрами функции и количеством операций, которые выполнит процессор.

Распространённые сложности алгоритмов

Здесь рассмотрены именно распространённые виды, так как рассмотреть все варианты врядли возможно. Всё зависит от алгоритма, который вы оцениваете. Всегда может появится какая-то дополнительная переменная (не константа), которую необходимо будет учесть в функции Big O.

Означает, что вычислительная сложность алгоритма не зависит от входных данных. Однако, это не значит, что алгоритм выполняется за одну операцию или требует очень мало времени. Это означает, что время не зависит от входных данных.

Пример № 1.

У нас есть массив из 5 чисел и нам надо получить первый элемент.

Насколько возрастет количество операций при увеличении размера входных параметров?
Нинасколько. Даже если массив будет состоять из 100, 1000 или 10 000 элементов нам всеравно потребуется одна операция.

Пример № 2.

Сложение двух чисел. Функция всегда выполняет константное количество операций.

Пример № 3.

Размер массива. Опять же, функция всегда выполняет константной количество операций.

Означает, что сложность алгоритма линейно растёт с увеличением входных данных. Другими словами, удвоение размера входных данных удвоит и необходимое время для выполнения алгоритма.

Такие алгоритмы легко узнать по наличию цикла по каждому элементу массива.

Пример № 3.

Означает, что сложность алгоритма растёт логарифмически с увеличением входных данных. Другими словами это такой алгоритм, где на каждой итерации берётся половина элементов.

К алгоритмам с такой сложностью относятся алгоритмы типа “Разделяй и Властвуй” (Divide and Conquer), например бинарный поиск.

Означает, что удвоение размера входных данных увеличит время выполнения чуть более, чем вдвое.

Примеры алгоритмов с такой сложностью: Сортировка слиянием или множеством n элементов.

Означает, что удвоение размера входных данных увеличивает время выполнения в 4 раза. Например, при увеличении данных в 10 раз, количество операций (и время выполнения) увеличится примерно в 100 раз. Если алгоритм имеет квадратичную сложность, то это повод пересмотреть необходимость использования данного алгоритма. Но иногда этого не избежать.

Такие алгоритмы легко узнать по вложенным циклам.

Пример № 1.

В функции есть цикл в цикле, каждый из них проходит массив длиной n, следовательно сложность будет: O(n * n) = O(n 2 )

Зачем изучать Big O

Шпаргалка

Небольшие подсказки, которые помогут определить сложность алгоритма.

Полезные ссылки

Источник

Анализ сложности алгоритмов. Примеры

Алгоритм — это точное предписание, однозначно определяющее вычислительный процесс, ведущий от варьируемых начальных данных к искомому результату [1].

При разработке алгоритмов очень важно иметь возможность оценить ресурсы, необходимые для проведения вычислений, результатом оценки является функция сложности (трудоемкости). Оцениваемым ресурсом чаще всего является процессорное время (вычислительная сложность) и память (сложность алгоритма по памяти). Оценка позволяет предсказать время выполнения и сравнивать эффективность алгоритмов.

Содержание:

Модель RAM (Random Access Machine)

Каждое вычислительное устройство имеет свои особенности, которые могут влиять на длительность вычисления. Обычно при разработке алгоритма не берутся во внимание такие детали, как размер кэша процессора или тип многозадачности, реализуемый операционной системой. Анализ алгоритмов проводят на модели абстрактного вычислителя, называемого машиной с произвольным доступом к памяти (RAM).

Модель состоит из памяти и процессора, которые работают следующим образом:

Несмотря на то, что такая модель далека от реального компьютера, она замечательно подходит для анализа алгоритмов. После того, как алгоритм будет реализован для конкретной ЭВМ, вы можете заняться профилированием и низкоуровневой оптимизацией, но это будет уже оптимизация кода, а не алгоритма.

Подсчет операций. Классы входных данных

Одним из способов оценки трудоемкости (\(T_n\)) является подсчет количества выполняемых операций. Рассмотрим в качестве примера алгоритм поиска минимального элемента массива.

При выполнении этого алгоритма будет выполнена:

Точное количество операций будет зависеть от обрабатываемых данных, поэтому имеет смысл говорить о наилучшем, наихудшем и среднем случаях. При этом худшему случаю всегда уделяется особое внимание, в том числе потому, что «плохие» данные могут быть намеренно поданы на вход злоумышленником.

Понятие среднего случая используется для оценки поведения алгоритма с расчетом на то, что наборы данных равновероятны. Однако, такая оценка достаточно сложна:

Асимптотические обозначения

Подсчет количества операций позволяет сравнить эффективность алгоритмов. Однако, аналогичный результат можно получить более простым путем. Анализ проводят с расчетом на достаточно большой объем обрабатываемых данных (\( n \to \infty \)), поэтому ключевое значение имеет скорость роста функции сложности, а не точное количество операций.

При анализе скорости роста игнорируются постоянные члены и множители в выражении, т.е. функции \(f_x = 10 \cdot x^2 + 20 \) и \( g_x = x^2\) эквивалентны с точки зрения скорости роста. Незначащие члены лишь добавляют «волнистости», которая затрудняет анализ.

В оценке алгоритмов используются специальные асимптотические обозначения, задающие следующие классы функций:

Запись \(f_n = \mathcal(g_n)\) означает принадлежность функции f классу \(\mathcal(g)\), т.е. функция f ограничена сверху функцией g для достаточно больших значений аргумента. \(\exists n_0 > 0, c > 0 : \forall n > n_0, f_n \leq c \cdot g_n\).

Ограниченность функции g снизу функцией f записывается следующим образом: \(g_n =\Omega(f_n)\). Нотации \(\Omega\) и \(\mathcal\) взаимозаменяемы: \(f_n = \mathcal(g_n) \Leftrightarrow g_n =\Omega(f_n)\).

Асимптотические обозначения «О большое» и «Омега большое»

Если функции f и g имеют одинаковую скорость роста (\(f_n = \Theta(g_n)\)), то существуют положительные константы \(c_1\) и \(c_2\) такие, что \(\exists n_0 > 0 : \forall n > n_0, f_n \leq c_1 \cdot g_n, f_n \geq c_2 \cdot g_n\). При этом \(f_n = \Theta(g_n) \Leftrightarrow g_n = \Theta(f_n)\).

Асимптотическое обозначение «Тета большое»

Примеры анализа алгоритмов

Алгоритм поиска минимального элемента массива, приведенный выше, выполнит N итераций цикла. Трудоемкость каждой итерации не зависит от количества элементов массива, поэтому имеет сложность \(T^ = \mathcal(1)\). В связи с этим, верхняя оценка всего алгоритма \(T^_n = \mathcal(n) \cdot \mathcal(1) = \mathcal(n \cdot 1) = \mathcal(n)\). Аналогично вычисляется нижняя оценка сложности, а в силу того, что она совпадает с верхней — можно утверждать \(T^_n = \Theta(n) \).

Алгоритм пузырьковой сортировки (bubble sort) использует два вложенных цикла. Во внутреннем последовательно сравниваются пары элементов и если оказывается, что элементы стоят в неправильном порядке — выполняется перестановка. Внешний цикл выполняется до тех пор, пока в массиве найдется хоть одна пара элементов, нарушающих требуемый порядок [2].

Трудоемкость функции swap не зависит от количества элементов в массиве, поэтому оценивается как \(T^ = \Theta(1) \). В результате выполнения внутреннего цикла, наибольший элемент смещается в конец массива неупорядоченной части, поэтому через N таких вызовов массив в любом случае окажется отсортирован. Если же массив отсортирован, то внутренний цикл будет выполнен лишь один раз.

В алгоритме сортировки выбором массив мысленно разделяется на упорядоченную и необработанную части. На каждом шаге из неупорядоченной части массива выбирается минимальный элемент и добавляется в отсортированную часть [2].

Для поиска наименьшего элемента неупорядоченной части массива используется функция indMin, принимающая массив, размер массива и номер позиции, начиная с которой нужно производить поиск. Анализ сложности этой функции можно выполнить аналогично тому, как это сделано для функции min — количество операций линейно зависит от количества обрабатываемых элементов: \( T^_ = \Theta(n — i)\).

У сортировки выбором нет ветвлений, которые могут внести различия в оценку наилучшего и наихудшего случаев, ее трудоемкость: \(T^_n = \Theta(\sum\limits_^ (T^_ + T^)) =\Theta(\sum\limits_^ (n-i)) = \Theta(\frac <2>\cdot n) = \Theta(n^2) \).

Математический аппарат анализа алгоритмов

Выше были рассмотрены асимптотические обозначения, используемые при анализе скорости роста. Они позволяют существенно упростить задачу отбросив значительную часть выражения. Однако, в математическом анализе имеется целый ворох таких приемов.

Формулы суммирования

В примерах, рассмотренных выше, мы уже сталкивались с нетривиальными формулами суммирования. Чтобы дать оценку суммы можно использовать ряд известных тождеств:

Первые из этих тождеств достаточно просты, их можно вывести используя метод математической индукции. Если под знаком суммы стоит более сложная формула, как в двух последних тождествах — суммирование можно заменить интегрированием (взять интеграл функции гораздо проще, ведь для этого существует широкий спектр приемов).

Суммирование и интегрирование

Известно, что интеграл можно понимать как площадь фигуры, размещенной под графиком функции. Существует ряд методов аппроксимации (приближенного вычисления) интеграла, к ним относится, в частности, метод прямоугольников. Площадь под графиком делится на множество прямоугольников и приближенно вычисляется как сумма их площадей. Следовательно, возможен переход от интеграла к сумме и наоборот.

аппроксимация интеграла левыми прямоугольниками

аппроксимация интеграла правыми прямоугольниками

На рисунках приведен пример аппроксимации функции \(f_x = \log x\) левыми и правыми прямоугольниками. Очевидно, они дадут верхнюю и нижнюю оценку площади под графиком:

В частности, такой метод позволяет оценить алгоритмы, имеющие логарифмическую сложность (две последние формулы суммирования).

Сравнение сложности алгоритмов. Пределы

Сложность алгоритмов определяется для больших объемов обрабатываемых данных, т.е. при \(n\to\infty\). В связи с этим, при сравнении трудоемкости двух алгоритмов можно рассмотреть предел отношения функций их сложности: \(\lim\limits_ \frac \). В зависимости от значения предела возможно сделать вывод относительно скоростей роста функций:

Если функции достаточно сложны, то такой прием значительно упрощает задачу, т.к. вместо предела отношения функций можно анализировать предел отношения их производных (согласно правилу Лопиталя): \(\lim\limits_ \frac = \lim\limits_ \frac \). Правило Лопиталя можно использовать если функции обладают следующими свойствами:

Допустим, требуется сравнить эффективность двух алгоритмов с оценками сложности \(\mathcal(a^n)\) и \(\mathcal(n^b)\), где a и b — константы. Известно, что \((c^x)’ =c^x \cdot ln(c)\), но \((x^c)’ = c \cdot x^ \). Применим правило Лопиталя к пределу отношения наших функций b раз, получим: \(\lim\limits_ \frac <\mathcal(a^n)><\mathcal(n^b)> = \lim\limits_ \frac <\mathcal(a^n * ln^b (a))><\mathcal(b!)> = \infty\). Значит функция \(a^n\) имеет более высокую скорость роста. Без использования пределов и правила Лопиталя такой вывод может казаться не очевидным.

Логарифмы и сложность алгоритмов. Пример

По определению \(\log_a = b \Leftrightarrow x = a^b\). Необходимо знать, что \(x \to \infty \Rightarrow \log_a \to \infty\), однако, логарифм — это очень медленно растущая функция. Существует ряд формул, позволяющих упрощать выражения с логарифмами:

При анализе алгоритмов обычно встречаются логарифмы по основанию 2, однако основание не играет большой роли, поэтому зачастую не указывается. Последняя формула позволяет заменить основание логарифма, домножив его на константу, но константы отбрасываются при асимптотическом анализе.

Логарифмической сложностью обладают алгоритмы, для которых не требуется обрабатывать все исходные данные, они используют принцип «разделяй и властвуй». На каждом шаге часть данных (обычно половина) отбрасывается. Примером может быть функция поиска элемента в отсортированном массиве (двоичного поиска):

Очевидно, что на каждом шаге алгоритма количество рассматриваемых элементов сокращается в 2 раза. Количество элементов, среди которых может находиться искомый, на k-том шаге определяется формулой \(\frac<2^k>\). В худшем случае поиск будет продолжаться пока в массиве не останется один элемент, т.е. чтобы определить количество итераций для верхней оценки, достаточно решить уравнение \(1 = \frac <2^k>\Rightarrow 2^i = n \Rightarrow i = \log_2 n\). Следовательно, алгоритм имеет логарифмическую сложность: \(T^_n = \mathcal(\log n)\).

Результаты анализа. Замечания. Литература

Оценка сложности — замечательный способ не только сравнения алгоритмов, но и прогнозирования времени их работы. Никакие тесты производительности не дадут такой информации, т.к. зависят от особенностей конкретного компьютера и обрабатывают конкретные данные (не обязательно худший случай).

Анализ алгоритмов позволяет определить минимально возможную трудоемкость, например:

Нередко на собеседованиях просят разработать алгоритм с лучшей оценкой, чем возможно. Сами задачи при этом сводятся к какому-либо стандартному алгоритму. Человек, не знакомый с асимптотическим анализом начнет писать код, но требуется лишь обосновать невозможность существования такого алгоритма.

Источник

Информатика. 10 класс (Повышенный уровень)

§ 23. Понятие правильности и сложности алгоритма

23.1. Сложность алгоритма

Основным показателем сложности (трудоемкости) алгоритма является время, необходимое для решения задачи, и объем требуемой памяти. Существуют понятия сложности в худшем и среднем случае. Обычно оценивают сложность в худшем случае.

Временная сложность в худшем случае — функция от размера входа, равная максимальному количеству операций, выполненных в ходе работы алгоритма при решении задачи данного размера.

Емкостная сложность в худшем случае — функция от размера входа, равная максимальному количеству памяти, к которому было обращение при решении задач данного размера.

При анализе сложности для класса задач определяется некоторое число, характеризующее объем данных, которое требуется для представления входных данных задачи. Это величина называется размер входа. Можно сделать вывод, что сложность алгоритма — функция размера входа. Размер входа может зависеть как от числа входных данных, так и от величины входных данных (пример 23.1).

Одним из упрощенных видов анализа, используемых на практике, является асимптотический анализ алгоритмов. Целью асимптотического анализа является сравнение затрат времени и других ресурсов различных алгоритмов, предназначенных для решения одной и той же задачи, при больших объемах входных данных.

Используемая в асимптотическом анализе оценка функции трудоемкости, называемая сложностью алгоритма, позволяет определить, как быстро растет трудоемкость алгоритма с увеличением объема данных.

В асимптотическом анализе алгоритмов используются обозначения, принятые в математическом асимптотическом анализе.

Чтобы определить сверху трудоемкость алгоритма, используется обозначение O, читается «о большое» (пример 23.2).

Иногда при анализе алгоритма приходится учитывать не только максимальное, но и минимальное количество операций, необходимое для решения задачи. В этом случае используется обозначение , читается «омега».

Существует ряд важных практических причин для анализа алгоритмов. Одной из них является необходимость получения оценок или границ для объема памяти, или времени работы, которое потребуется алгоритму для успешной обработки конкретных данных. Машинное время и память — относительно дефицитные (и дорогие) ресурсы, на которые часто одновременно претендуют многие пользователи. Всегда следует избегать прогонов программы, отвергаемых системой из-за нехватки запрошенного времени. Теоретический анализ способен выявить узкие места в программах.

Иногда невозможно составить четкое мнение об относительной эффективности двух алгоритмов. Один может в среднем лучше работать, к примеру, на случайных входных данных, в то время как другой лучше работает на каких-то специальных входных данных.

Этот критерий основан на времени работы в худшем случае, но аналогичный критерий может быть также определен для среднего времени работы.

При разработке алгоритма необходимо стремиться к тому, чтобы рост функции f(n) для алгоритма был как можно медленнее на той области, на которой требуется получить решение. Однако здесь могут возникать определенные трудности.

Пример 23.1. Оценка сложности поисковых алгоритмов.

Линейный поиск

Нахождение информации в неотсортированной структуре данных, например в массиве, требует применения последовательного поиска. Последовательный поиск в среднем случае выполнит проверку n/2 элементов, а в худшем — элементов. При этом предполагается, что сравнение двух чисел выполняется за 1 операцию.

Бинарный поиск

Этот метод поиска значительно эффективнее, чем последовательный поиск, но требует, чтобы данные были предварительно упорядочены (отсортированы). В худшем случае выполняется не более log₂n, в связи с чем метод еще называется логарифмическим поиском.

Другими словами, скорость роста функции f при достаточно больших n не выше скорости роста функции g.

Оценка сложности алгоритмов сортировки.

Для метода сортировки обменом оценка трудоемкости составляет — O(n 2 ). Это означает, что количество операций при сортировке элементов не превосходит величину C · n 2 при некотором значении коэффициента C, который не зависит от n.

Для быстрой сортировки оценка трудоемкости составляет в среднем — O(nlog₂n). Это означает, что количество операций при сортировке элементов не превосходит величину C · nlog ₂ n при некотором значении коэффициента C, который не зависит от n. Оценка в худшем случае такая же, как для сортировки обменом.

Пусть — размер входных данных. Оценка сложности алгоритма

f(n) = (g(n)),

если при g > 0 и n > 0 существуют такие положительные c, n₀, что

Другими словами, скорость роста функции f при достаточно больших не ниже скорости роста функции g.

Пример 23.3. Возможные оценки качества алгоритма.

Константный алгоритм — O(1)

Порядок роста O(1) означает, что вычислительная сложность алгоритма не зависит от размера входных данных. Единица в формуле не значит, что алгоритм выполняется за одну операцию или требует очень мало времени. Важно то, что это время не зависит от входных данных.

Линейный алгоритм — O(n)

Порядок роста O(n) означает, что сложность алгоритма линейно растет с увеличением входного массива. Если линейный алгоритм обрабатывает один элемент пять миллисекунд, то мы можем ожидать, что тысячу элементов он обработает за пять секунд. Например, линейный поиск.

Логарифмический алгоритм — O(logn)

Порядок роста O(logn) означает, что время выполнения алгоритма растет логарифмически с увеличением размера входного массива. При анализе алгоритмов по умолчанию используется логарифм по основанию 2. Большинство алгоритмов, работающих по принципу «деления пополам», имеют логарифмическую сложность. Например, бинарный поиск.

Линейно-логарифмический алгоритм — O (nlogn)

Квадратичный алгоритм — O(n 2 )

Время работы алгоритма с порядком роста O ( n 2 ) зависит от квадрата размера входных данных. Например, если массив из тысячи элементов потребует 1 000 000 операций, то массив из миллиона элементов потребует 1 000 000 000 000 операций. Если одна операция требует миллисекунду для выполнения, квадратичный алгоритм будет обрабатывать миллион элементов 32 года. Например, сортировка обменом.

Полиномиальный алгоритм — O ( n k )

О полиномиальной сложности (порядка k) говорят тогда, когда время работы алгоритма растет не быстрее, чем полином k-й степени от n.

Экспоненциальный алгоритм — O(2 n ), O(e n ), O(n n ) и др.

Источник

• ← антхилл в мобайл легенд что
• Разбираемся с понятием развал схождения в автомобильном мире →

Вам также понравится

какие самые жаркие месяцы в австралии

04.06.202206.06.2022 admin 0

Что такое каркасное наращивание ресниц

04.06.202209.06.2022 admin 0

какие факторы способствовали появлению движения декабристов

04.06.202208.06.2022 admin 0

Добавить комментарий Отменить ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Комментарий *

Имя *

Email *

Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев.