какие требования учитываются при построении математической модели
Математическая модель. Основные этапы построения математической модели. Требования к математической модели. Уравнение вход-выход
Математическая модель. Основные этапы построения математической модели. Требования к математической модели. Уравнение
Модель — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Подматематическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.
Основные этапы построения математической модели ( ¡ ¡¡ хрен знает, по сути то же самое, что и этапы моделирования в целом, не знаю, зачем выносить это еще одним вопросом. )
Требования к математической модели
Требования универсальности, точности, адекватности с одной стороны и экономичности с другой противоречивы. Это обуславливает работу целого спектра моделей отличающихся теми или иными свойствами.
Задачи у моделирования могут быть разными:
Особенности построения математических моделей
Для построения математической модели необходимо:
Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:
На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.
Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.
Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.
С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.
Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1).
Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:
Запишем эти уравнения:
где С0 – крайнее правое положение ползуна С:
r – радиус кривошипа AB;
l – длина шатуна BC;
– угол поворота кривошипа;
Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:
Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.
Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.
Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.
Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.
Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.
Основы математического моделирования: требования к моделям, свойства моделей, составление моделей, примеры
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Министерство образования Красноярского края
Каратузский филиал краевое государственное бюджетное
профессиональное образовательное учреждение
«Минусинский сельскохозяйственный колледж»
по дисциплине: «Моделирование систем»
на тему: Основы математического моделирования: требования к моделям, свойства моделей, составление моделей, примеры.
Выполнил: Семыкин В.А
Введение ……………………………………………………………………3
1 Основы математического моделирования …………………..5
2 Требования, предъявляемые к математическим моделям….10
3 Примеры математического моделирования……………..……12
4 Составление математических моделей……………………..…15
5 Элементарные математические модели……………………….21
Заключение………………………………………………………..…27
Список использованной литературы……………………………………..28
Введение.
Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Эти идеи находят отражение в концепции современного школьного образования. Но решить такую задачу невозможно в рамках одного учебного предмета. Поэтому в теории и практике обучения наблюдается тенденция к интеграции учебных дисциплин (интегрированные курсы, интегрированные уроки), которая позволяет учащимся достигать межпредметных обобщений и приближаться к пониманию общей картины мира. Это особенно важно для преподавания математики, методы которой используются во многих областях знаний и человеческой деятельности.
Среди огромного числа проблем, которые волнуют всех, требуя незамедлительного решения, основополагающей становится организация и обеспечение процесса становления личности, способной адекватно ориентироваться, свободно избирать свою позицию и действовать в современном конфликтном, динамично меняющемся мире. Интеграция ориентирована на подготовку выпускника к жизни в современном обществе, к достойному выбору собственной жизненной и профессиональной позиции; способствует развитию креативности, коммуникативных способностей.
Актуальность проблемы обосновывается необходимостью изменения структуры и содержания школьных курсов в рамках профильного обучения. Сложившаяся школьная система не решает многие проблемы профильного обучения: пока нет достаточного научного обоснования определённого и готового к реализации содержания профильного обучения, не определён эталонный и просто необходимый уровень общей и пред профессиональной компетентности, достаточный для продолжения образования. Все, связанное с профильным обучением, находится сегодня в стадии становления.
В классах или образовательных учреждениях разного профиля и предметы должны иметь разное содержание. Эта идея все ещё не находит своего места в практике. В школах России появляется все больше и больше профильных классов. Профилируются и сами школы. Однако почти всюду это происходит по одному и тому же сценарию: увеличивается число часов на профильные предметы, вводятся дополнительные предметы, ради этого урезаются часы остальных, но почти никакого влияния на их содержание этот процесс не оказывает. В результате ученики математического класса и гуманитарной гимназии изучают одну и ту же математику – разница лишь в том, что в первом случае все теории доказываются и задачи решаются трудные, а во втором никакие теоремы не доказываются, некоторые не упоминаются вовсе, решаемые задачи примитивны и неинтересны.
Интеграция как средство обучения должна дать ученику те знания, которые отражают связанность отдельных частей мира как системы, научить ребёнка с первых шагов воспринимать мир как единое целое, в котором все элементы взаимосвязаны.
Цель работы:
показать пути совершенствования математической подготовки и развития навыков моделирования реальных процессов учащихся профильных классов;
отразить прикладные возможности математики.
1 Основы математического моделирования
Учителю интеграция предметов позволяет воспитывать у ребят охоту к целенаправленному преодолению трудностей на пути познания. Новые функции педагога главным образом определяются необходимостью чёткого представлять структуру учебной деятельности и свои действия на каждом этапе от возникновения замысла до полного его осуществления.
Приведём пример простейшей математической модели. Представим себе, что нужно определить площадь пола комнаты. Реальный объект – пол комнаты – заменяется абстрактной
математической моделью – прямоугольником.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передаёт всех его свойств и особенностей, а является его приближённым отражением. Однако в результате замены реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведёт себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает (воспроизводит, моделирует, описывает, имитирует) некоторые интересующие исследователя черты объекта. Моделирование как форма отражения действительности широко распространено, и достаточно полная классификация возможных видов моделирования крайне затруднительна, хотя бы в силу многозначности понятия «модель», широко используемого не только в науке и технике, но и в искусстве, и в повседневной жизни.
Классификация в любой области знаний чрезвычайно важна. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области.
Существует несколько подходов к классификации моделей. Выделим основные:
область использования;
учёт в модели временного фактора (динамики);
отрасль знаний;
способ представления моделей.
Классификация по области использования:
Классификация с учётом фактора времени и области использования:
Классификация по способу представления:
2 Требования, предъявляемые к математическим моделям
К математическим моделям предъявляются следующие основные требования:
Универсальности.
Точности.
Адекватности.
Экономичности.
Универсальность математической модели характеризует полноту отражения в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального объекта.
Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.
Адекватность математической модели – это ее способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной.
Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера.
К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:
Вычислимость, т.е. возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).
Модульность, т.е. соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).
Алгоритмизируемость, т.е. возможность разработки соответсвующих алгоритма и программы, реализующей математическую модель на ЭВМ.
Наглядность, т.е. удобное визуальное восприятие модели.
3 Примеры математического моделирования
5 Элементарные математические модели
Рассмотрим некоторые подходы к построению простейших математических моделей, иллюстрирующие применение фундаментальных законов природы.
1. Фундаментальные законы природы. Наиболее распространенный метод построения моделей состоит в применении фундаментальных законов природы к конкретной ситуации. Эти законы общепризнаны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества научно-технических достижений. Поэтому их обоснованность не вызывает сомнений, что, помимо всего прочего, обеспечивает исследователю мощную психологическую поддержку.
а) Сохранение энергии. Этот закон известен почти двести лет и занимает, пожалуй, наиболее почетное место среди великих законов природы. Полагаясь на него, эксперт по баллистике, желающий быстро определить скорость револьверной пули и не имеющий поблизости специальной лаборатории, может воспользоваться относительно простым устройством типа маятника — груза, подвешенного на легком жестком и свободно вращающемся стержне (рис. 1)
Рис. 1.
Пуля, застрявшая в грузе, сообщит системе «пуля—груз» свою кинетическую энергию, которая в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали полностью перейдет в потенциальную энергию системы. Это описывается цепочкой равенств
атомов. Здесь вторично использован закон сохранения вещества, но применительно не ко всему процессу, а к отрезку времени dt. В этом уравнении, описывающем баланс атомов, в правой части стоит знак минус (вещество убывает), а величина отвечает некоторому среднему значению числа атомов за рассматриваемое время. Перепишем его в дифференциальной форме:
Список использованной литературы
Какие требования учитываются при построении математической модели
2. Принципы построения и основные требования к математическим моделям систем
Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель.
Рассмотрим эти принципы.
Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реальной системе относительно выбранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.
Этот принцип может быть назван принципом абстрагирования от второстепенных деталей.Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный характер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной стороны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необходимо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затруднительным. Компромисс между этими двумя требованиями достигается нередко путем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением.
Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.
Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с принципом баланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклонения модели от оригинала и погрешности исходных данных, точности отдельных элементов модели, систематической погрешности моделирования и случайной погрешности при интерпретации и осреднении результатов.
Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализаций одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».Блочное строение. При соблюдении принципа блочного строения облегчается разработка сложных моделей и появляется возможность использования накопленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними. Выделение блоков производится с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы.
В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к построению моделей:
непосредственный анализ функционирования системы;
проведение ограниченного эксперимента на самой системе;
анализ исходных данных.
Математические модели (ММ) служат для описания свойств объектов в процедурах АП. Если проектная процедура включает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что процедура выполняется на основе математического моделирования.
Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта.
Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов. Чем они меньше, тем модель экономичнее.
Математический подход к моделированию имеет ряд недостатков вследствие того, что исследователь моделирует не реальный объект, а только математическое описание реального объекта. Необходимая информация в этом случае получается после постановки серии вычислительных экспериментов с математическими моделями или с помощью имитационного моделирования.
низкая адекватность математической модели реальному объекту;
проблемы, связанные с решаемостью математических моделей из-за наличия в них разрывных функций;
непригодность математических моделей для большинства объектов с переменной структурой;
приближенные методы реализаций моделей с переменными коэффициентами требуют значительных затрат и не обладают достаточной точностью решения.
В настоящее время имитационное моделирование в основном реализуется на ЦВМ. Исходное математическое описание любой динамической системы представляет собой совокупность дифференциальных, алгебраических, логических, разностных уравнений, описывающих физические процессы в отдельных функциональных элементах системы. Часто используется блочный принцип формирования моделей с применением специализированных программно-технических комплексов, построенных с учетом следующих основных требований:
диалог с вычислительной системой должен вестись на естественном профессиональном языке специалиста в конкретной предметной области. Исходным элементом для организации этого диалога должна быть базовая структурная модель звена, выполняющего определенную математическую функцию;
большая часть работ по формированию моделей и получению результатов моделирования должна выполняться вычислительной системой. Исследователь только ставит задачу и анализирует полученные результаты;
Требования к математическим моделям и их классификация
Под математической моделью (ММ) конструкции, технологического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описывающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференциальные или интегральные уравнения и т. д.
Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании математическими моделями (ММ). С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т. п.
В САПР для каждого иерархического уровня сформулированы основные положения математического моделирования — выбран и развит соответствующий математический аппарат, получены типовые ММ элементов проектируемых объектов, формализованы методы получения и анализа математических моделей систем. Сложность задач проектирования и противоречивость требований высокой точности, полноты и малой трудоемкости анализа обусловливают целесообразность компромиссного удовлетворения этих требований с помощью соответствующего выбора моделей. Это обстоятельство приводит к расширению множества используемых моделей и развитию алгоритмов адаптивного моделирования [32, 17, 27].
К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность математических моделей определяется затратами машинного времени (работы ЭВМ). Степень универсальности математических моделей зависит от возможности их использования для анализа большого числа технологических процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универсальности математических моделей противоречивы. Поэтому необходимо иметь удачное компромиссное решение.
Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности [77].
Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Пусть εj — относительная погрешность модели по j-му выходному параметру:
(12.1)
где — j-й выходной параметр, рассчитанный с помощью модели; yj — тот же выходной параметр, существующий в моделируемом объекте.
Погрешность модели εj по совокупности учитываемых выходных параметров оценивается одной из норм вектора εj=(ε1,ε2. εm).
Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. Если задаться предельной допустимой погрешностью εпред, то можно в пространстве внешних параметров выделить область, в которой выполняется условие
(12.2)
Эту область называют областью адекватности (ОА) модели. Возможно введение индивидуальных предельных значений ε пред для каждого выходного параметра и определение ОА как области, в которой одновременно выполняются все m условий вида |εj| εпредj.
Определение областей адекватности для конкретных моделей — сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Определение ОА —более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации. Для моделей унифицированных элементов расчет областей адекватности становится оправданным в связи с однократностью определения ОА и многократностью их использования при проектировании различных систем. Знание ОА позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.
В библиотеку моделей элементов наряду с алгоритмом, реализующим модель, и номинальными значениями параметров должны включаться граничные значения внешних параметров q’k и q»k, задающие область адекватности.
Универсальность. При определении ОА необходимо выбрать совокупность внешних параметров и совокупность выходных параметров уj, отражающих учитываемые в модели свойства. Типичными внешними параметрами при этом являются параметры нагрузки и внешних воздействий (электрических, механических, тепловых, радиационных и т. п.). Увеличение числа учитываемых внешних факторов расширяет применимость модели, но существенно удорожает работу по определению ОА. Выбор совокупности выходных параметров также неоднозначен, однако для большинства объектов число и перечень учитываемых свойств и соответствующих им выходных параметров сравнительно невелики, достаточно стабильны и составляют типовой набор выходных параметров. Например, для макромоделей логических элементов БИС такими выходными параметрами являются уровни выходного напряжения в состояниях логических «О» и «1», запасы помехоустойчивости, задержка распространения сигнала, рассеиваемая мощность.
Если адекватность характеризуется положением и размерами ОА, то универсальность модели определяется числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.
Экономичность. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, а именно затратами машинного времени Тм и памяти Пм. Общие затраты Тм и Пм на выполнение в САПР какой-либо проектной процедуры зависят как от особенностей выбранных моделей, так и от методов решения.
В большинстве случаев при реализации численного метода происходят многократные обращения к модели элемента, входящего в состав моделируемого объекта. Тогда удобно экономичность модели элемента характеризовать затратами машинного времени при обращении к модели, а число обращений к модели должно учитываться при оценке экономичности метода решения.
Экономичность модели по затратам памяти оценивается объемом оперативной памяти, необходимой для реализации модели.
Требования широких областей адекватности, высокой степени универсальности, с одной стороны, и высокой экономичности — с другой, являются противоречивыми. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих требований оказывается неодинаковым в различных применениях. Это обстоятельство обусловливает использование в САПР многих моделей для объектов одного и того же типа — различного рода макромоделей, многоуровневых, смешанных моделей и т. п.