какие ученые являются создателями дифференциально интегрального исчисления
Дифференциальное и интегральное исчисление
Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.
В учебном процессе к анализу относят
При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.
Содержание
Исторический очерк
Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия. [2]
Лейбниц и его ученики
Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:
Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. [7]
и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:
Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий. [8]
,
достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придается никакого особого значения.
Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности. [10]
Эйлер
Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств. [16]
Подчеркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». [17] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счета определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.
,
в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счета так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.
Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:
,
отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу
.
Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). [20] В XIX веке с подачи Казорати [21] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно еще переписать предельный переход при помощи символа 
.
В трехтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:
Лагранж
Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций [23] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа [24] в несколько эклектической манере.
,
,
и т. д. [25]
Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.
Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах. [26]
Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. [27] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.
Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, в последствие стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точка они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привел в качестве контрпримера функцию
.
Дальнейшее развитие
В XIX веке Коши первым дал анализу твердое логическое обоснование, введя понятие последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.
В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование неудобным, и предложил определение предела через ε-δ-язык;. Тогда математики стали сомневаться в существовании множества вещественных чисел. Дедекинд ввёл вещественные числа с помощью дедекиндовых сечений. В это время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью.
Какие ученые являются создателями дифференциально интегрального исчисления
ИСТОРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Формирование интегрального и дифференциального исчисления происходило на основе операций с бесконечно малыми (инфинитезимальными) величинами в процессе развития интегральных и дифференциальных методов и установления тесных связей между ними.
Источники возникновения и средства создания этих методов возникли независимо друг от друга на разных этапах развития математики. Долгое время эти методы применялись для решения двух разных групп задач.
Евдокс (408-355 до н.э.)
Чтобы избежать бесконечности в исчислении мер древнегреческий учёный Евдокс (408-355 до н.э.) предложил метод вычерпывания. Этот метод плодотворно развивали и применяли Евклид (356-300 до н.э.), Архимед (287-212 до н.э.) и другие математики.
Метод заключался в построении двух фигур U и V, между которыми одновременно находились фигуры А и В, такие, что площадь фигуры А известна, а площадь фигуры В неизвестна. Фигуры U и V подбирались так, чтобы разница площадей U–V была сколь угодно малой. Тогда методом от противного доказывалось, что площадь фигуры А равна площади фигуры В.
Значительный вклад в развитие интегральных методов сделал Архимед. Греки и до Архимеда умели находить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей и объёмов. Для этого он усовершенствовал и виртуозно применил метод вычерпывания Евдокса.
Таким образом, уже античная математика содержала элементы интегрального исчисления, однако ещё не в строгой форме, без чёткой теоретической основы.
Метод Архимеда для вычисления площадей и объёмов несколько упростил и обобщил итальянский математик Лука Валерио (1552-1618). Но его трактат «Три книги о центре тяжести тел» (1604) не получил такой популярности, как труды немецкого учёного Иоганна Кеплера (1572-1630) и итальянского математика Бонавентуры Кавальери (1598-1647).
Иоганн Кеплер (1572-1630)
Иоганн Кеплер, используя идеи Архимеда, обращался к интуитивным приемам и совсем не обосновывал их. Чтобы вычислить площадь какой-то фигуры, он разбивал её на бесконечное множество бесконечно малых элементов одной с ней размерности. Из этих элементов образовывал новую фигуру, площадь которой уже умел вычислять.
Этот метод он применял и к объёмам тел. В частности, считая, что каждое тело вращения состоит из множества «тонких кружочков», он определил объёмы 92 таких тел. Большинство результатов Кеплера были правильные, хотя несколько ошибок он всё же сделал. Свои исследования он изложил в трудах «Новая астрономия» (1609) и «Стереометрия винных бочек» (1615).
Ещё дальше пошёл Бонавентура Кавальери. Он стал самым влиятельным представителем «геометрии неделимых». Выдвинутые им принципы и методы позволили ещё до открытия математического анализа успешно решить ряд задач аналитического характера.
Отсюда следует, что для нахождения отношения между двумя плоскими фигурами или пространственными телами достаточно найти отношения между всеми неделимыми обеих фигур или тел по какой-то регуле.
Б.Кавальери предложил много примеров успешного применения метода неделимых, как для известных тел, так и для новых (например, гиперболоида вращения). Он привёл пример парадокса, который может привести к ошибочным результатам из-за неудачного выбора неделимых сечений. Но понятного правила того, как избежать ошибок, он не дал.
В первой половине XVII века математики установили, что большое количество разнородных задач по геометрии и механике имеют общие пути решения и сводятся к квадратуре или кубатуре. Идеи, содержащие элементы определённого интегрирования, быстро распространялись среди математиков Западной Европы.
Их использовали и развивали Э. Торричелли, Паскаль, П. Ферма, Р. Декарт, Х. Гюйгенс, Д. Валлис, Н. Меркатор, И. Барроу. Однако при всей значимости результатов, интегральное исчисление как общего метода и универсального алгоритма ещё не было создано. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих конкретных задач.
Создание анализа бесконечно малых произошло во второй половине XVII века благодаря гениальным трудам Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница.
Вторая группа задач охватывает задачи на движение и другие процессы. Для определения направления движения тела в некоторой точке его траектории нужно было ввести понятие касательной. Исследования кривых (в направлении которых летят снаряды, движутся планеты) ставили задачи на максимум и минимум.
Изучение движения вообще требовало понятия мгновенной скорости. Такого типа задачи ставились с древних времён, но решались тогда геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей. Так, Архимед исследовал, как построить касательную к кривой, как найти наибольшее значение произведения и т.д.
Только в XVII в. математики обнаружили, что все эти задачи можно решать единым методом, используя бесконечно малые величины. Этот метод получил развитие в трудах Р. Декарта, П. Ферма, Д. Грегори, Д. Валлиса, И. Барроу и других учёных. Развитие метода бесконечно малых величин привело к созданию дифференциального исчисления.
Исаак Барроу (1630-1677)
Последнее открытие, предшествовавшее созданию математического анализа, сделал английский учёный Исаак Барроу (1630-1677). В своём труде «Оптические и геометрические лекции» (1669-1670) он установил связь между двумя важными задачами: вычислением площади и проведением касательной.
Применяя современные обозначения, доказанное им утверждение (теорема Барроу) можно записать так:
.
Таким образом была установлена взаимная обратимость операций дифференцирования и интегрирования. К доказательству этой зависимости И. Барроу подошёл двумя путями: кинематически и геометрически.
Теорема Барроу даёт возможность по результатам какого-либо дифференцирования или интегрирования найти результат обратной операции (т.е. установить первоначальную функцию). Используя этот результат, он решил ряд обратных задач на касательные.
С трудами И. Барроу ознакомились многие учёные, но они не поняли всеобщности и важности этой зависимости из-за громоздкой геометрической формулировки и пренебрежения аналитическими методами. Впоследствии учёные усовершенствовали формулировку и доказательство этой теоремы.
Это позволило теореме Барроу стать одной из важнейших в классическом математическом анализе. Именно она позволяет вычислять определённые интегралы (границы интегральных сумм) с помощью первоначальной функции.
Реферат по дисциплине Математика на тему: » История дифференциального исчисления «
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА
Реферат по дисциплине Математика
на тему: » История дифференциального исчисления «
Понятие дифференциальное исчисление стр. 3
Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени стр. 3
Исаак Ньютон стр. 8
Готфрид Вильгельм Лейбниц стр. 10
История применения дифференцированного исчисления стр. 12
Лейбниц и дифференциальное исчисление стр. 14
Ссылка на источники стр. 18
Возникновение дифференциального исчисления как начало науки нового времени.
В современном научном сообществе принято однозначно разделять науку на античный период и период нового времени. Но в чём же состоит отличие этих периодов? Чем принципиально отличался научный подход Платона, Аристотеля и прочих известных учёных античности от подхода крупных деятелей науки нового времени? В реальности, у разделения на два периода существует множество оснований. В рамках данной статьи мы рассмотрим одно, наиболее фундаментальное и показательное основание – возникновение дифференциального исчисления. Через предпосылки к появлению этого известнейшего метода в современной науке в трудах философов и математиков мы сможем проследить чёткую границу между античным и современным взглядом на науку, однозначно ответив на поставленные в начале статьи вопросы.
Рубеж XVI-XVII вв. в истории науки действительно был переломным моментом, когда европейская наука совершила качественный скачок. В это время был совершен переход от античной науки к науке нового времени. Ни для кого не секрет, что «локомотивами» прогресса в рассматриваемый период были такие великие учёные как Рене Декарт, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер, Бонавентура Кавальери, Исаак Ньютон. Каждый из них сказал свое новое слово в механике, математике, астрономии и прочих дисциплинах. Но не столько важны их заслуги в отдельных науках, сколько важен вклад в формирование методологии науки нового времени. Плоды трудов этих известных ученых в области методологии науки имели широкое распространение, и многие из них по сей день остаются основополагающими принципами современной науки. Но что связывает изыскания названных ранее великих умов между собой? Легче всего связь методологических достижений самых крупных деятелей науки XVI-XVII вв. можно проследить именно через историю возникновения дифференциального исчисления и «принцип непрерывности», так или иначе встречающийся в трудах Кеплера, Кавальери, Декарта, а позднее Ньютона и Лейбница. Формировавшееся изначально как прикладной метод, не имеющий отношения к науке, дифференциальное исчисление присутствовало во многих фундаментальных научных трудах в виде частных положений, базовых принципов и позднее сформировалось в полноценный научный метод. П.П. Гайденко в монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» берет за точку отсчета обособленного формирования дифференциального исчисления труд Иоганна Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» относимый к 1615 году. Как отмечалось, Кеплер не рассматривал дифференциальное исчисление как новый метод в математике; скорее как метод так называемой логистики, отвечавшей за решение прикладных задач. Кеплер не считал дифференциальное исчисление относящимся к строгой науке по причине своей неточности и малой теоретической обоснованности, что противоречило его пониманию о строгой науке. Позднее, отмечает П.П. Гайденко, Бонавентурой Кавальери была сделана попытка преобразовать технический метод, предложенный Кеплером, в полноценный научный метод в своем труде «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» 1635-го года. Однако, как отмечается в рассматриваемой монографии, нельзя считать труд Кеплера как однозначное начало дифференциального исчисления.
Говоря о развитии дифференциального исчисления нельзя обойти стороной две персоналии, внесшие, возможно, наиболее важный вклад в процесс становления этого метода: Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Математический инструментарий, созданный этими великими учеными, является основой современной математики. Ярким примером является так называемая формула Ньютона-Лейбница или основная теорема анализа, фактически являющаяся связующим звеном дифференциального и интегрального исчисления. Особенно интересным фактом в данной связи является то, что Ньютон и Лейбниц создавали аппарат дифференциального исчисления параллельно и независимо примерно в одно и то же время. Д.А. Граве в своей статье «Дифференциальное исчисление» из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона пишет: «Идеи нового исчисления уже настолько созрели и, так сказать, носились в умах, что вполне естественно, что Ньютон и Лейбниц могли сделать открытие совершенно независимо, не переговариваясь и не заимствуя друг у друга». Действительно, как уже ранее отмечалось в этой статье, плоды трудом многих ученых в течение долгого времени складывались в большую теорию, формализованную, систематизированную и развитую в итоге двумя наиболее выдающимися математиками конца XVII века. Таким образом, данный пример в истории математики является веским доказательством того, что крупные открытия в науке совершаются на основе целого ряда предшествующий изысканий.
Рассмотрим философские принципы, заложенные в теории Ньютона и Лейбница, и попробуем проследить в них наследие ученых предшественников, которое уже обсуждалось в данной статье. Готфрид Лейбниц, как и Исаак Ньютон, в своей теории проецирует выведенные им законоположения и математический аппарат на вопрос об устройстве мира, формируя, таким образом, свой философский взгляд через методологию дифференциального исчисления. Интересное суждение Б. Эрдмана, исследователя трудов Лейбница, приводится в упомянутой ранее монографии «История новоевропейской философии в её связи с наукой» П.П. Гайденко: «Согласно Эрдману, математические работы Лейбница были «пунктом кристаллизации его философии». С одной стороны, они были «решающими для всего здания его метафизики», где монады суть «гипостазированные дифференциалы», а Вселенная – «гипостазированный интеграл». С другой стороны, на почве этих работ выросли «общая наука» и «универсальная характеристика», оказавшие сильное влияние в XVIII и XIX вв. [1]. Действительно, здесь мы как важно было дифференциальное исчисление для философской модели мира, предложенной Лейбницем.
Более конкретно роль дифференциального исчисления прослеживается в так называемой теории «малых восприятий», развивающейся параллельно с его теорией «бесконечных восприятий». П.П. Гайденко приводит достаточно ёмкий пример Лейбница, который он использовал для объяснения упомянутых теорий: «Чтобы пояснить мою мысль о малых восприятиях, которых мы не можем различить в массе, я обычно пользуюсь примером шума моря. Шум этот можно услышать, лишь услышав составляющие это целое части, т.е. услышав шум каждой волны, хотя каждый из этих малых шумов воспринимается лишь неотчетливо в совокупности всех прочих шумов, хотя каждый из них небыл бы замечен, если бы издающая его волна была одна. В самом деле, если бы на нас не действовало слабое движение этой волны и если бы мы не имели какого-то восприятия каждого из этих шумов, как бы малы они ни были, то мы не имели бы восприятия шума ста тысяч волн, так как сто тысяч ничто не могут составить нечто». Это суждение, сейчас понятное каждому, однозначно показывает, всю глубину влияния метода дифференциального исчисления на понимание мира и, соответственно, на формирование новой науки как таковой, то есть полный и окончательный уход от античных постулатов.
Подводя итоги приведенных рассуждений, можно утверждать, что дифференциальное исчисление и его основные принципы – это граница между античной наукой и наукой нового времени. Ведь именно в рамках развития данного метода была совершена переоценка взглядов на математику, преобразившая не только отдельно взятую научную дисциплину, но и методологию науки в целом. Одной из самых значимых особенностей истории развития дифференциального исчисления как важнейшего научного метода было его изначальное возникновение как прикладного метода у многих известных ученых XVI-XVII вв., большинство из которых тем или иным образом продолжали идеи Николая Кузанского, изложенные еще в XV веке. Такое начало позволило сформировать огромный пласт знаний и суждений, что привело к оформлению дифференциального исчисления как полноценного, а впоследствии и важнейшего, научного математического метода познания мира.
ИСААК НЬЮТОН
(1643-1727) 
Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).
В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. Выход книги был крупным событием в истории естествознания. В ней все величественное здание механики строится на основании аксиом движения, которые теперь известны под названием законов Ньютона.
Многие математические труды Ньютона так и не были своевременно опубликованы. Первые его сравнительно подробные публикации относятся к 1704 г. Это работы «Перечисление кривых третьего порядка», где описаны свойства этих кривых, и «Рассуждения о квадратуре круга», посвященные дифференциальному и интегральному исчислениям.
В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.
Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646-1716) 
Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воплощена в жизнь в нашем веке).
Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700 г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремился рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии ).
Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.
Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.