какие уравнения называются показательными

Показательные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам! И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера!

Показательные уравнения — коротко о главном

Показательное уравнение:

1\) называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней:

Подходы к решению:

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2 -1\) является число \( x=-6\).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).

Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\( \begin & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end \)

Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle <<2>^<4>>=16\).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024=<<2>^<10>>\), тогда моя задачка запишется в виде:

\( \displaystyle <<2>^>=<<2>^<10>>\), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

1\) называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: \( \displaystyle <<1000>^>=100,a=1000,b=100\).

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,

И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.

Тренировка на простых примерах

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).

Но ничего страшного, ведь \( 81=<<3>^<4>>\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени», которое гласит:

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:

поэтому уравнение \( <<2>^>=1\)

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( <<2>^>\), но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА.

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( <^<(x)>>>0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( <<2>^>=-0.000001\)?

А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( <^>=b,

Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac<<<3>^<2x+1>><<3>^<2(x+2)>>><<<3>^<3x>>>=<<3>^<5>>.\)

Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:

При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.

Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( <<4>^<(3x+1)>>\) и \( <<625>^<(x/2)>>\) в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot <<64>^><<25>^>\)

Что же нам это дало? А вот что:

Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?

Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:

Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

Источник

Виды показательных уравнений и способы их решения

Показательные уравнения

Представим, что имеется некое выражение:

Далее попробуем вычислить значение числа 5, возведенного в степень 3:

Заметим на другом примере, что 8 является третьей степенью, в которую возвели число 2:

После тренировки можно рассмотреть простую задачу. Представим, что число 2 умножают само на себя какое-то количество раз. Обозначим его за х. В итоге получается 16. Определим х:

2 = 22 · 2 = 42 · 2 · 2 = 82 · 2 · 2 · 2 = 16

Получается, что при умножении числа 2 само на себя 4 раза дает в результате 16. Исходя из понятия степени, это утверждение можно записать таким образом:

В том случае, когда требуется определить степень, в которую возводят 2, чтобы получить, например, 1024, метод последовательного умножения не является эффективным, как и при работе с дробями. Целесообразно выразить действия в краткой записи:

можно записать уравнение:

Получилось показательное уравнение в самом простом виде:

Разберем еще пример:

Данные числа можно выразить с помощью степени одного и того же числа:

Преобразуем начальное выражение:

Простейшее показательное уравнение представляет собой уравнение вида:

В процессе изучения темы решения показательных уравнений полезно оперировать свойствами степеней:

Виды показательных уравнений, способы их решения

Классификация показательных уравнений:

Существует несколько основных подходов к решению показательных уравнений:

Вынесение общего множителя за скобки и группировка слагаемых

С подобным методом решения приходилось встречаться в процессе прохождения темы многочленов. Предположим, что имеется некое выражение:

Выполним группировку слагаемых, исходя из того, что выражения 1 и 3 являются разностью квадратов, а выражения 2 и 4 обладают общим множителем в виде числа 3:

После преобразований начальное выражение примет вид:

Вынесем общий множитель:

Руководствуясь данной системой можно решать стандартные показательные уравнения. Рассмотрим пример:

Вычислим выражение, заключенное в скобки:

Решим следующий пример:

Заметим, что в данном случае общее основание отсутствует. Попробуем перенести в разные стороны числа 4 и 5:

Далее следует вынести за скобки общий множитель:

Так как в левой части имеется выражение:

Решение показательных уравнений не всегда нужно расписывать детально. Можно ограничиться краткой записью. Например, решим уравнение:

Приведение к одинаковому основанию

В большинстве заданий встречаются уравнения, записанные в виде:

В таком случае решение заключается в трансформации b в некую степень числа а. Сложность заключается в поиске общего множителя для данных чисел. В процессе потребуется воспользоваться правилом.

Когда основания одинаковые, а показатели степени — нет, умножение чисел предполагает сложение их степеней, а деление чисел сопровождается вычитанием их степеней.

В качестве примера можно рассмотреть уравнение:

Известно, что 64 и 8 обладают общим множителем, роль которого играет число 2.

В следующем задании необходимо выполнить преобразования для каждой составляющей показательного уравнения:

Определим общее основание:

Приведение к одинаковой степени

Ранее рассмотренный метод не всегда подходит для решения показательных уравнений, имеющих неодинаковые основания. В некоторых случаях целесообразно выполнять преобразования показателей степени. Данная методика применима в задачах, содержащих операции умножения или деления.

Разберем этот метод решения на конкретном примере:

Заметим, что слева и справа отсутствуют общие множители, что мешает их приведению к общему основанию. Попробуем выполнить арифметические преобразования для показателей степени:

Закрепим алгоритм действий на другом примере:

В данном случае необходимо привести все части выражения к одинаковым показателям степени. В первую очередь следует выполнить преобразования справа, руководствуясь свойством степенных функций:

Выделение устойчивого выражения

Перед этим были рассмотрены способы решения показательных уравнений, которые заключаются в разложении многочленов на множители. В результате получались аналогичные основания или была выделена переменная для дальнейшей замены. При вынесении определенного множителя за скобку или замене переменной с целью упростить выражение выполняется действие, представляющее собой выделение устойчивого выражения.

Устойчивым выражением является некий многочлен с переменной, который скрыт во всех показательных функциях уравнения. Такой многочлен допустимо выносить за скобки, либо обозначить в виде новой переменной для упрощения уравнения.

Смысл заключается в том, что устойчивое выражение содержится практически в каждом сложном уравнении. Трудности могут возникнуть при правильном определении данного выражения.

В связи с тем, что единица является результатом возведения любого числа в нулевую степень, запишем:

Потренироваться можно еще на одном примере:

Выполним преобразования слева, чтобы получилась одинаковая степень:

Замена переменной

Данный способ позволяет решать сложные показательные уравнения. Смысл методики заключается во введении такой замены переменной, при которой исходное выражение трансформируется в более простое. При этом данная возможность не всегда является очевидной. В конце решения необходимо выполнить обратную замену.

Разберем несложный пример, чтобы проиллюстрировать способ замены переменной:

4 x = 2 2 x = ( 2 x ) 2

Теперь очевидно, что требуется следующая замена:

В результате исходное выражение примет вид:

На следующем шаге необходимо выполнить обратную замену с учетом только положительных корней:

Простая замена поможет решить и такую задачу:

В данном случае рекомендуется сначала преобразовать уравнение:

Далее можно перейти к очевидной замене t = 3 x :

Слева получится выражение:

Справа увидим следующее:

Полученное выражение следует отнять из оставшегося:

В частном осталось:

В итоге многочлен разложен таким образом:

Рассмотрим второе уравнение:

Его решениями являются:

В таком случае начальное выражение примет вид:

В результате получаются три корня:

В связи с тем, что последний корень является отрицательным числом, его следует исключить. Выполнив обратную замену, получим два решения:

Решим пример, когда замена не столь очевидна, как в предыдущих уравнениях:

Здесь основания отличаются лишь знаком. Результат умножения данных оснований является разностью квадратов, равной единице:

Решениями данного уравнения являются:

Подробные примеры с решением

3 2 x + 1 9 x + 2 27 x = 243

В данном случае целесообразно привести к меньшему основанию:

Преобразование начального уравнения:

3 2 x + 1 3 2 ( x + 2 ) 3 3 x = 3 5

При умножении чисел, обладающих одинаковыми основаниями, следует суммировать степени. В случае деления аналогичных чисел основания вычитаются. Тогда:

После перехода от показательного уравнения к линейному можно найти корни:

Найти корни уравнения:

4 3 x + 1 625 x 2 = 6400

Заметим, что здесь не получится преобразовать выражения слева, чтобы получить степень одинакового числа. Поэтому запишем числа, как произведения степеней, отличающиеся основаниями, но имеющие аналогичные показатели:

4 3 x + 1 = 4 · 4 3 x = 4 · 64 x 625 x 2 = 25 2 · x 2 = 25 x

Перемножим числа, которые имеют разные основания и аналогичные показатели. При этом определяют произведение только оснований, а показатель оставляют без изменений:

4 · 64 x 25 x = 6400

4 · ( 64 · 25 ) x = 6400

Требуется вычислить корни уравнения:

Выполним перенос слагаемого, которое имеет знак минуса, в правую часть:

Перепишем выражение через степени 3:

После суммирования степеней в левой части получим равносильное уравнение:

Перенесем отрицательное слагаемое вправо:

Заметим, что в левой части образовалась «неправильная» степень у числа 2. Выполним преобразования:

Так как в левой части неодинаковые основания, но аналогичные степени, можно выполнить умножение:

Воспользуемся свойством степени:

Сумма накоплений составляет 1 млн руб. У собственника есть желание приумножить эту сумму и получить 1.5 млн руб. Банковское предложение заключается в 12% годовых при ежемесячной капитализации процентов. Требуется определить период вклада в месяцах для набора желаемой суммы.

Составим показательное уравнение. Для этого введем параметры:

Sn — сумма, имеющаяся изначально;

Sk — сумма, которая получится в итоге;

i — проценты по ставке;

S k = S n 1 + i 100 x

Ответ: чтобы получить 1.5 млн руб., требуется вложить 1 млн в банк на срок в 41 месяц.

Радиоактивный изотоп в процессе распада теряет массу, согласно закономерности:

где m 0 (мг) является исходной массой изотопа,

t (мин.) определяет время, прошедшее от начального момента,

(мин.) представляет собой период полураспада.

Вначале изотоп весит m 0 = 50 мг. Период полураспада составляет T = 5

мин. Нужно определить время в минутах, которое потребуется, чтобы масса изотопа составила 12,5 мг.

Выполним подстановку всех характеристик из условия задачи в формулу, описывающую закономерность распада:

Разделим выражение на 50, получим:

Получим в левой части:

В результате можно записать равносильное уравнение:

Источник

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Источник